TOAN CAO CAP a1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN TẬP BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 GIẢNG VIÊN: ThS NGUYỄN BẢO VIỆT Đà Nẵng, năm 2013 Đại học Duy Tân Khoa KHTN Mục lục Mục lục HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1.1 HÀM SỐ VÀ CÁC MƠ HÌNH 1.1.1 Các cách biểu diễn hàm số 1.1.1.1 Khái niệm hàm số biến 1.1.1.2 Một số phương pháp biểu diễn hàm số 1.1.1.3 Hàm số xác định nhiều công thức 1.1.1.4 Tính đối xứng 1.1.1.5 Sự tăng giảm hàm số 1.1.2 Một số mơ hình tốn học thường gặp 1.1.2.1 Mơ hình tuyến tính 1.1.2.2 Hàm đa thức 1.1.2.3 Hàm lũy thừa 1.1.2.4 Hàm hữu tỉ 1.1.2.5 Hàm đại số 1.1.2.6 Hàm lượng giác 1.1.3 Xây dựng hàm dựa hàm có 1.1.3.1 Phép biến đổi hàm 1.1.3.2 Các phép toán hàm 1.1.3.3 Hàm hợp 1.1.4 Hàm mũ 1.1.5 Hàm ngược hàm Logarit, hàm lượng giác ngược 1.1.5.1 Hàm ngược 1.1.5.2 Hàm logarit 1.1.5.3 Hàm lượng giác ngược 1.1.6 Đường cong cho phương trình tham số 1.1.6.1 Phương trình tham số đường cong 1.1.6.2 Ví dụ 1.2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN 1.2.1 Giới hạn hàm số 1.2.1.1 Định nghĩa 1.2.1.2 Tính chất quy tắc tính giới hạn 1.2.1.3 Giới hạn bên Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 7 10 12 13 15 15 16 17 17 18 18 19 19 20 22 23 24 25 25 29 30 31 31 31 33 33 33 33 35 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân 1.2.1.4 Giới hạn vô cùng, giới hạn đến vô 39 Sự liên tục hàm số 43 BÀI TẬP 48 1.2.2 1.3 Khoa KHTN ĐẠO HÀM- ỨNG DỤNG 2.1 ĐẠO HÀM 53 2.1.1 Một số toán mở đầu 53 2.1.1.1 Bài toán tiếp tuyến 53 2.1.1.2 Bài toán vận tốc 55 Định nghĩa đạo hàm 56 2.1.2.1 Đạo hàm hàm số điểm 56 2.1.2.2 Đạo hàm hàm số 57 2.1.2.3 Một số ký hiệu khác đạo hàm: 58 Đạo hàm hàm đa thức, lượng giác, hàm mũ 61 2.1.3.1 Đạo hàm hàm đa thức 61 2.1.3.2 Đạo hàm hàm lượng giác 62 2.1.3.3 Đạo hàm hàm mũ 62 2.1.4 Các quy tắc tính đạo hàm 63 2.1.5 Quy tắc tính đạo hàm hàm hợp 65 2.1.6 Công thức vi phân 68 2.1.6.1 Định nghĩa 68 2.1.6.2 Các quy tắc tính vi phân 68 2.1.7 Đạo hàm hàm ẩn 69 2.1.8 Đạo hàm hàm ngược 71 2.1.8.1 Đạo hàm hàm lượng giác ngược 71 2.1.8.2 Đạo hàm hàm số Logarit 71 Đạo hàm cấp cao 73 2.1.10 Cực trị hàm số 74 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 81 2.2.1 Phương trình tiếp tuyến 81 2.2.2 Xấp xỉ tuyến tính 82 2.2.3 Xấp xỉ nghiệm phương trình 83 2.2.4 Quan hệ đại lượng biến thiên 87 2.2.5 Bài toán tối ưu 89 2.2.5.1 Các bước để giải toán tối ưu 90 2.2.5.2 Ứng dụng kinh tế thương mại 92 Dạng vô định quy tắc L’Hospital 93 2.1.2 2.1.3 2.1.9 2.2 2.2.6 2.2.7 2.3 52 ∞ 0, ∞ 2.2.6.1 Dạng vô định quy tắc L’Hospital 93 2.2.6.2 Các dạng vô định khác 95 Lược đồ vẽ đồ thị hàm số 98 BÀI TẬP 103 Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 3.1 TÍCH PHÂN 3.1.1 Nguyên hàm số tính chất 3.1.1.1 Định nghĩa nguyên hàm 3.1.1.2 Tính chất 3.1.2 Một số phương pháp tính tích phân bất định 3.1.2.1 Phương pháp đổi biến 3.1.2.2 Phương pháp tích phân phân 3.1.2.3 Tích phân số hàm số thường gặp 3.1.3 Bài tốn tính diện tích miền thang cong 3.1.4 Định nghĩa tích phân xác định 3.1.4.1 Định nghĩa 3.1.4.2 Một số tính chất 3.1.5 Định lý phép tính tích phân 3.1.5.1 Định lý Newton-Leibnitz 3.1.5.2 Một số phương pháp tính tích phân xác định 3.1.6 Xấp xỉ tích phân xác định 3.1.6.1 Quy tắc trung điểm 3.1.6.2 Quy tắc hình thang 3.1.6.3 Biên độ sai số 3.1.6.4 Quy tắc Simpson 3.1.7 Tích phân suy rộng 3.1.7.1 Tích phân suy rộng loại 3.1.7.2 Một số tiêu chuẩn hội tụ tích phân suy rộng loại 3.1.7.3 Tích phân suy rộng loại 3.1.7.4 Một số tiêu chuẩn xét hội tụ tích phân suy rộng loại 3.2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 3.2.1 Bài tốn tính diện tích hình phẳng 3.2.2 Bài tốn tính thể tích vật thể trịn xoay 3.2.3 Tính độ dài đường cong 3.2.4 Bài tốn tính xác suất biến ngẫu nhiên liên tục đoạn 3.2.5 Hàm mật độ 3.3 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1 Mơ hình phương trình vi phân 4.1.1 Mơ hình gia tăng dân số 4.1.2 Mơ hình chuyển động lắc 4.1.3 Phương trình vi phân 4.2 Trường có hướng 4.3 Phương pháp Euler (Phương pháp số) 4.4 Phương trình tách biến 4.5 Ứng dụng phương trình tách biến Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 lò xo 115 116 116 116 117 119 119 121 123 129 132 132 134 137 137 138 142 143 144 145 147 148 148 151 152 154 155 155 158 160 161 162 163 169 170 170 170 171 171 171 173 173 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân 4.6 4.7 4.8 Khoa KHTN 4.5.1 Quỹ đạo trực giao 4.5.2 Bài toán hỗn hợp Bài toán quy luật suy tàn giải mơ hình 4.6.1 Hàm mũ phát triển suy thoái 4.6.2 Phương trình Logistic Phương trình tuyến tính BÀI TẬP phương trình vi phân 173 174 175 175 175 176 176 DÃY VÔ HẠN VÀ CHUỖI 178 5.1 Dãy số 179 5.1.1 Khái niệm dãy số 179 5.1.2 Khái niệm hội tụ - Phân kỳ dãy số 180 5.1.3 Dãy tăng, giảm bị chặn 181 5.1.4 Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn để xác định tính hội tụ giới hạn 182 5.2 Chuỗi số 182 5.2.1 Khái niệm chuỗi số - Chuỗi hội tụ, chuỗi phân kỳ 182 5.2.2 Tính chất chuỗi số - Tiêu chuẩn phân kỳ 183 5.3 Các chuỗi đặc biệt tiêu chuẩn hội tụ 184 5.3.1 Chuỗi số dương tiêu chuẩn tích phân 184 5.3.2 Chuỗi số dương tiêu chuẩn so sánh 185 5.3.3 Tính gần tổng chuỗi 186 5.3.4 Chuỗi đan dấu - Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi đan dấu 187 5.3.5 Tính gần ước lượng sai số chuỗi luân phiên 188 5.3.6 Chuỗi hội tụ tuyệt đối - Tiêu chuẩn D’Alembert - Tiêu chuẩn Cauchy 188 5.4 Chuỗi lũy thừa 190 5.4.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa 190 5.4.2 Bán kính hội tụ , miền hội tụ 191 5.5 Biểu diễn hàm tổng chuỗi lũy thừa 192 5.5.1 Biểu diễn hàm tổng chuỗi lũy thừa 192 5.5.2 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 193 5.5.3 Đạo hàm tích phân chuỗi lũy thừa 194 5.6 Một số ứng dụng chuỗi lũy thừa 194 5.6.1 Đa thức Taylor tính gần giá trị 194 5.6.2 Xấp xỉ tích phân phức tạp tích phân hàm khơng có ngun hàm.195 5.6.3 Ứng dụng vào tìm số giới hạn phức tạp 196 5.7 BÀI TẬP 196 Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Chương HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN A MỤC TIÊU Trong chương này, sinh viên cần nắm số vấn đề mặt lý thuyết kỹ giải tập sau: • Xây dựng hàm số từ vấn đề thực tế • Khái niệm mơ hình tốn học cách giải tốn thực tế qua mơ hình tốn học • Phương pháp vẽ đồ thị từ hàm số đồ thị có • Điều kiện tồn hàm ngược, phương pháp tìm hàm ngược vận dụng tìm hàm ngược dạng hàm số • Khái niệm đường cong tham số phương pháp vẽ đồ thị đường cong tham số • Khái niệm giới hạn hàm số, phân biệt giới hạn bên, điều kiện tồn giới hạn • Sử dụng định nghĩa, tính chất để tìm giới hạn số hàm số Đại học Duy Tân Khoa KHTN • Định nghĩa hàm số liên tục, vận dụng quy tắc tính giới hạn để xét tính liên tục hàm số B NỘI DUNG 1.1 1.1.1 1.1.1.1 HÀM SỐ VÀ CÁC MÔ HÌNH Các cách biểu diễn hàm số Khái niệm hàm số biến Trong thực tế, giá trị đại lượng phụ thuộc giá trị đại lượng Chẳng hạn (a) Diện tích hình trịn phụ thuộc vào bán kính đường trịn, tính công thức A = πr2 Với số dương r có giá trị diện tích A A gọi hàm theo r (b) Số dân giới P phụ thuộc vào thời gian t Ứng với thời điểm t, số dân giới ước tính P (t) P hàm theo t (c) Lượng khí thải khơng khí thị phụ thuộc số ôtô lưu hành đô thị Một cách đơn giản, hàm bao gồm hai tập hợp quy tắc tương ứng phần tử tập hợp với phần tử tập hợp Một hàm f quy tắc đặt tương ứng với phần tử thuộc tập hợp A với phần tử f (x) thuộc tập hợp B Chúng ta xét hàm tập A B tập số thực Tập A gọi miền xác định hàm f Số f (x) giá trị hàm f x Miền giá trị f tập tất giá trị f (x) x biến thiên miền xác định Một số tùy ý miền xác định f gọi biến độc lập, số miền giá trị f gọi biến phụ thuộc Có thể hình dung hàm số "cái máy " nhận phần tử tập A biến thành phần tử tập B theo quy tắc hàm Các hàm số lập trình sẵn máy tính ví dụ hàm số Ví dụ, phím bậc hai √ √ máy tính bạn hàm Bạn bấm phím (hoặc x ) nhập vào x Nếu x < x khơng thuộc tập xác định hàm số nên máy tính báo lỗi Nếu x ≥ 0, giá trị xấp xỉ bậc hai x xuất hình Một phương pháp khác để mô tả hàm số sơ đồ mũi tên hình Mỗi mũi tên liên kết phần tử A với phần tử B Mũi tên x tương ứng với f (x), a tương ứng với f (a) Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN Một phương pháp để hình dung hàm số đồ thị Nếu f hàm số với tập xác định A đồ thị tập hợp {(x, f (x))|x ∈ A} Ví dụ 1.1 Đồ thị hàm số f thể hình sau (a) Tìm giá trị f (0) f (2) (b) Tìm tập xác định tập giá trị f giải (a) Từ hình trên, ta thấy điểm (0, 1) nằm đồ thị f , giá trị f f (0) = Khi x = 2, đồ thị nằm trục hoành chiếu vào trục tung giá trị đơn vị, ta biết f (2) = (b) Ta thấy f xác định ≤ x ≤ 7, tập xác định f đoạn [0, 7] Tập giá trị f {y| − ≤ y ≤ 4} = [−2, 4] Ví dụ 1.2 Vẽ đồ thị hàm số f , tìm tập xác định tập giá trị hàm sau b) g(x) = x2 a) f (x) = 2x − giải Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN a) Phương trình đồ thị y = 2x − 1, ta nhận hệ số góc đường thẳng tung độ góc Điều giúp ta vẽ đồ thị f hình Biểu thức 2x − xác định với số thực, tập xác định tập hợp tất số thực, kí hiệu R Từ đồ thị ta thấy tập giá trị R b) Vì g(2) = 22 = g(−1) = (−1)2 = 1, ta vẽ điểm (2, 4) (−1, 1), với vài điểm khác đồ thị, từ ta vẽ đồ thị Phương trình đồ thị y = x2 , biểu diễn parabol Tập xác định g R, tập giá trị g bao gồm tất giá trị g(x), tất số biểu thức x2 , x2 ≥ 0, ∀x số dương y bình phương x Do tập giá trị g {y|y ≥ 0} = [0, +∞) Điều minh hoạ hình sau Ví dụ 1.3 Cho f (x) = 2x2 − 5x + h = Tính f (a + h) − f (a) h giải Trước hết ta tính f (a + h) cách thay x a + h biểu thức f (x) Ta có f (a + h) = = 2(a + h)2 − 5(a + h) + 2(a2 + 2ah + h2 ) − 5(a + h) + = 2a2 + 4ah + 2h2 − 5a − 5h + Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN ∞ ln n hội tụ hay phân kỳ n=1 n Ví dụ 5.26 Xác định chuỗi ∞ Ví dụ 5.27 Xác định giá trị tham số p cho chuỗi hội tụ p n n=1 Chú ý: Khi dùng tiêu chuẩn tích phân, khơng thiết phải xét [1, +∞), chuỗi có ∞ ∞ ta sử dụng dạng an xét [n0 , +∞) Chẵng hạn việc kiểm tra chuỗi n=n0 n=4 (n − 3) Chú ý: Khi dùng tiêu chuẩn tích phân, khơng thiết phải xét [1, +∞), chuỗi có dạng ∞ ∞ an xét [n0 , +∞) Chẵng hạn việc kiểm tra chuỗi ta sử dụng tích n=n0 n=4 (n − 3) +∞ dx (x − 3)2 phân 5.3.2 Chuỗi số dương tiêu chuẩn so sánh ∞ Định lý 5.7 (Tiêu chuẩn so sánh.) Cho hai chuỗi số dương ∞ an n=1 bn thỏa mãn n=1 an ≤ bn , ∀n ∈ N Khi đó: ∞ ∞ bn hội tụ i) Nếu n=1 an hội tụ n=1 ∞ ∞ an phân kỳ ii) Nếu n=1 bn phân kỳ n=1 ∞ Tuy nhiên, việc sử dụng tiêu chuẩn so sánh cần biết vài chuỗi bn với n=1 mục đích việc so sánh Hầu hết sử dụng chuỗi sau: ∞ i) p- chuỗi: hội tụ p > phân kỳ p ≤ p n=1 n ∞ ii) Chuỗi cấp số nhân arn hội tụ |r| < phân kỳ |r| ≥ n=1 Ví dụ 5.28 Khảo sát hội tụ, phân kỳ chuỗi số ∞ n=1 2n2 + 4n + ∞ Định lý 5.8 (Tiêu chuẩn so sánh giới hạn.) Cho hai chuỗi số dương n=1 mãn lim n→∞ ∞ an bn thỏa n=1 an = c c ∈ R+ Khi đó, hai chuỗi hội tụ phân kỳ bn Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 185 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN Ví dụ 5.29 Kiểm tra xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ? ∞ 2n n=1 −1 ∞ ∞ an Hệ 5.3 (Tiêu chuẩn tương đương.) Cho hai chuỗi số dương n=1 bn Nếu n=1 an =c n→∞ bn lim với c số hữu hạn hai chuỗi hội tụ phân kỳ Ví dụ 5.30 Kiểm tra tính hội tụ chuỗi ∞ 2n n=1 5.3.3 −1 Tính gần tổng chuỗi ∞ Ta gọi Rn = s − sn = an+1 + an+2 + · · · phần dư thứ n chuỗi an Khi ấy, quan sát n=1 hai hình vẽ sau: Chúng ta thu ∞ Rn = an+1 + an+2 + · · · ≤ f (x)dx n ∞ Rn = an+1 + an+2 + · · · ≥ f (x)dx n+1 +) Dự đoán phần dư cho tiêu chuẩn tích phân: ∞ Giả sử f (n) = an f hàm liên tục, dương, giảm với x ≥ n chuỗi an n=1 hội tụ Khi ta có ∞ ∞ f (x)dx ≤ Rn ≤ n n+1 Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 f (x)dx 186 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN Do đó, ta có ∞ ∞ f (x)dx ≤ s ≤ sn + sn + f (x)dx n n+1 ∞ Ví dụ 5.31 Hãy ước lượng tổng chuỗi Giải Theo ta có với n = 10 n n=1 ∞ ∞ dx ≤ s ≤ s10 + x3 s10 + 11 Ta biết dx x3 10 ∞ 1 dx = x 2n n nên s10 + Với s10 = 1 ≤ s ≤ s10 + 2.(11)2 2.(10)2 1 + + · · · + ≈ 1, 197532 10 ta có 1, 201664 ≤ s ≤ 1, 202532 Nếu xấp xỉ s trung điểm đoạn sai số lớn độ dài nửa đoạn Vậy ∞ n=1 5.3.4 ≈ 1, 2021 n3 với sai số < 0, 0005 Chuỗi đan dấu - Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi đan dấu Định nghĩa 5.7 Chuỗi đan dấu chuỗi mà hạng tử nhận giá trị dương âm luân phiên Ví dụ 5.32 Các chuỗi sau chuỗi đan dấu: 1 1 1 − + − + − + = 5 − + − + − + − = ∞ n=1 (−1)n−1 n ∞ (−1)n n=1 n n+1 ∞ Định lý 5.9 (Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi đan dấu) Nếu chuỗi đan dấu (−1)n−1 un , un > n=1 0, ∀n thỏa mãn hai điều kiện sau: Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 187 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN i) an+1 < un , ∀n, ii) lim an = n→∞ chuỗi hội tụ Hình sau cho ta thấy rõ định lý trên: Ví dụ 5.33 Chuỗi điều hòa sau chuỗi hội tụ 1 1 − + − + = ∞ n=1 Ví dụ 5.34 Chuỗi (−1)n−1 3n hội tụ hay phân kỳ 4n − n=1 Ví dụ 5.35 Chuỗi (−1)n+1 n2 hội tụ hay phân kỳ n3 + n=1 (−1)n−1 n ∞ ∞ 5.3.5 Tính gần ước lượng sai số chuỗi luân phiên ∞ Định lý 5.10 Nếu s = (−1)n−1 an tổng chuỗi đan dấu thỏa mãn hai điều kiện sau: n=1 i) an+1 < an , ∀n, ii) lim an = n→∞ ta có |Rn | = |s − sn | ≤ an+1 5.3.6 Chuỗi hội tụ tuyệt đối - Tiêu chuẩn D’Alembert - Tiêu chuẩn Cauchy Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 188 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN ∞ an , ta có chuỗi số dương Định nghĩa 5.8 Với chuỗi n=1 ∞ |an | = |a1 | + |a2 | + |a3 | + n=1 ∞ ∞ |an | hội tụ an gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi dương Chuỗi số n=1 n=1 (−1)n−1 chuỗi hội tụ tuyệt đối n2 n=1 ∞ Ví dụ 5.36 Chuỗi số (−1)n−1 hội tụ không hội tụ tuyệt đối n n=1 ∞ Ví dụ 5.37 Chuỗi đan dấu ∞ an hội tụ tuyệt đối hội tụ Định lý 5.11 Nếu chuỗi n=1 Ví dụ 5.38 Xét xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ ∞ n=1 sin n cos cos cos = + + + n2 ∞ Định lý 5.12 (Tiêu chuẩn theo tỷ số) Cho chuỗi an n=1 an+1 | = L < chuỗi hội tụ tuyệt đối (và hội tụ) n→∞ an an+1 an+1 ii) Nếu lim | | = L > lim | | = ∞ chuỗi phân kỳ n→∞ an n→∞ an i) Nếu lim | iii) Nếu L = khơng có kết luận hội tụ hay phân kỳ chuỗi số ∞ Chú ý: Trong (iii) khơng có kết luận hội tụ hay phân kỳ chuỗi an n=1 có số chuỗi xãy trường hợp hội tụ có số chuỗi xãy trường hợp ∞ ∞ phân kỳ Chẳng hạn, chuỗi phân kỳ chuỗi hội tụ n=1 n n=1 n Ví dụ 5.39 Xét hội tụ chuỗi sau ∞ n=1 Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 (−1)n n3 3n 189 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN Ví dụ 5.40 Xét hội tụ chuỗi sau ∞ n=1 nn n! ∞ Định lý 5.13 (Tiêu chuẩn theo thức) Cho chuỗi an n=1 i) Nếu lim n |an | = L < chuỗi hội tụ tuyệt đối (và hội tụ) ii) Nếu lim n |an | = L > lim n→∞ n→∞ n n→∞ |an | = ∞ chuỗi phân kỳ iii) Nếu L = khơng có kết luận hội tụ hay phân kỳ chuỗi số ∞ Chú ý: Trong (iii) khơng có kết luận hội tụ hay phân kỳ chuỗi an n=1 có số chuỗi xãy trường hợp hội tụ có số chuỗi xãy trường hợp phân kỳ Ví dụ 5.41 Xét hội tụ chuỗi số ∞ n=1 2n + n+3 n n2 + 2n2 + n Ví dụ 5.42 Xét hội tụ chuỗi số ∞ n=1 5.4 5.4.1 Chuỗi lũy thừa Khái niệm chuỗi lũy thừa Định nghĩa 5.9 Chuỗi lũy thừa chuỗi có dạng ∞ cn xn = c0 + c1 x + · · · + cn xn + · · · n=0 đó, x biến số, ck số gọi hệ số chuỗi Chuỗi lũy thừa hội tụ số giá trị x phân kỳ số giá trị khác Tổng chuỗi lũy thừa hàm f (x) = c0 + c1 x + · · · + cn xn + · · · Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 190 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN có miền xác định tập hợp tất giá trị x cho chuỗi hội tụ Chẳng hạn, chuỗi sau chuỗi lũy thừa ∞ xn = + x + · · · + xn + · · · n=0 Tổng quát hơn, chuỗi sau gọi chuỗi lũy thừa ∞ cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + · · · + cn (x − a)n + · · · n=0 gọi chuỗi lũy thừa theo x − a, hay gọi chuỗi lũy thừa tâm a hay chuỗi lũy thừa a ∞ Ví dụ 5.43 Với giá trị x chuỗi n!xn hội tụ n=0 ∞ Ví dụ 5.44 Với giá trị x chuỗi n=1 5.4.2 (x−3)n n hội tụ Bán kính hội tụ , miền hội tụ ∞ Định lý 5.14 Cho chuỗi lũy thừa cn (x − a)n Khi xảy ba trường hợp sau: n=0 i) Chuỗi hội tụ x = a ii) Chuỗi hội tụ với x ∈ R iii) Tồn số dương R cho chuỗi hội tụ |x − a| < R phân kỳ |x − a| > R Định nghĩa 5.10 Số R định lý gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa Miền hội tụ chuỗi lũy thừa tập bao gồm tất giá trị x cho chuỗi hội tụ Như vậy, định lý trên, có R = cho trường hợp i) R = ∞ cho trường hợp ii) Ngồi ra, với trường hợp i) ta có miền hội tụ {a}, với trường hợp ii) ta có miền hội tụ R, với trường hợp iii), miền hội tụ chuỗi lũy thừa bốn khoảng sau: (a − R, a + R), [a − R, a + R), (a − R, a + R], ∞ Cách tìm bán kính hội tụ chuỗi hàm lũy thừa [a − R, a + R] cn xn n=0 Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 191 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân • Tìm lim | n→∞ Khoa KHTN cn+1 | = L lim n→∞ cn n • Bán kính hội tụ chuỗi R = ∞ Đối với chuỗi tổng quát |cn | = L L cn (x − a)n , ta đặt X = x − a để đưa dạng n=0 ∞ cn X n n=0 (x + 3)n n2n n=1 ∞ Ví dụ 5.45 Tìm miền hội tụ chuỗi n(x + 2)n 3n+1 n=1 ∞ √ Ví dụ 5.47 Tìm miền hội tụ chuỗi nxn ∞ Ví dụ 5.46 Tìm miền hội tụ chuỗi n=1 5.5 Biểu diễn hàm tổng chuỗi lũy thừa 5.5.1 Biểu diễn hàm tổng chuỗi lũy thừa Với hàm số f (x) = sau trường hợp |x| < ta có biểu diễn theo chuỗi lũy thừa 1−x = + x + x2 + x3 + = 1−x ∞ xn n=1 Vấn đề đặt với hàm hàm biểu diễn theo chuỗi lũy thừa Ví dụ 5.48 Biểu diễn hàm f (x) = x2 +1 thành chuỗi lũy thừa Ví dụ 5.49 Tìm chuỗi lũy thừa biểu diễn cho hàm f (x) = ∞ Định lý 5.15 Nếu chuỗi lũy thừa x+2 cn (x − a)n có bán kính hội tụ R > hàm f xác định n=0 ∞ cn (x − a)n f (x) = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a) + · · · = n=0 khả vi (và hiển nhiên liên tục) khoảng (a − R, a + R) i) f (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + · · · = ∞ ncn (x − a)n−1 n=1 ii) f (x)dx = C + c0 (x − a) + c1 (x − a)2 (x − a)3 + c2 + ··· = C + ∞ cn n=0 (x − a)n+1 n+1 Bán kính hội tụ chuỗi i) ii) R Ví dụ 5.50 Biểu diễn chuỗi lũy thừa Tìm bán kính hội tụ chuỗi (1 − x)2 Ví dụ 5.51 Biểu diễn ln(1 − x) chuỗi lũy thừa Tìm bán kính hội tụ chuỗi Ví dụ 5.52 Tìm chuỗi lũy thừa biểu diễn cho hàm f (x) = tan−1 x Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 192 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân 5.5.2 Khoa KHTN Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin Định lý 5.16 Nếu f (x) cho chuỗi lũy thừa a ∞ cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + · · · + cn (x − a)n + · · · , |x − a| < R n=0 Khi đó, hệ số xác định cn = f n (a) n! Bằng cách thay hệ số định lý ta có biểu diễn hàm f sau: ∞ f (x) = n=0 f n (a) f (a) f (a) f (n) (a) (x − a)n = f (a) + (x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n n! 1! 2! n! Định nghĩa 5.11 Chuỗi có dạng gọi chuỗi Taylor hàm f a Trong trường hợp a = chuỗi Taylor gọi chuỗi Maclaurin Định lý 5.17 Nếu f (x) khả vi đến cấp n + lân cận x0 ∞ f (x) = k=0 f (k) (x0 ) (x − x0 ) + Rn+1 (α) k! (∗) với α ∈ (x, x0 ) α ∈ (x0 , x) Đặc biệt, x0 = (∗) trở thành công thức Maclaurin f (x) = f (0) + f (0) f (0) f (0) f (n) (0) n x+ x + x + ··· + x + Rn+1 (α) 1! 2! 3! n! với α ∈ (x, 0) α ∈ (0, x) Theo cơng thức Maclaurin, ta có = + x + x2 + · · · + xn + · · · = 1−x ∞ xn (∗∗) n=0 chuỗi hội tụ |x| < 1 dạng chuỗi lũy thừa − x2 Giải Từ (∗∗), thay x x2 ta Ví dụ 5.53 Biểu diễn hàm = + x2 + x4 + x6 + · · · + x2n + · · · = − x2 Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 193 ∞ x2n n=0 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN Ví dụ 5.54 Biểu diễn hàm dạng chuỗi lũy thừa x+2 −x ta Giải Từ (∗∗), thay x ∞ ∞ 1 1 x n (−1)n xn 1 = (− ) = = = x x+2 21+ − −x 2 2n+1 n=0 n=0 2 5.5.3 Đạo hàm tích phân chuỗi lũy thừa ∞ Tổng chuỗi hàm lũy thừa hàm f (x) = cn (x − a)n có miền xác định hàm n=0 khoảng hội tụ chuỗi Ta cần biết lấy đạo hàm tích phân hàm Định lý sau cho ta biết lấy đạo hàm tích phân hàm f (x) cách đạo hàm tích phân số hạng chuỗi 5.6 5.6.1 Một số ứng dụng chuỗi lũy thừa Đa thức Taylor tính gần giá trị Giả sử f (x) tổng chuỗi Taylor a sau ∞ f (x) = n=0 f (n) (a) (x − a)n n! Khi ta có đa thức Taylor bậc n f a n Tn (x) = i=0 = f (a) + f (i) (a) (x − a)i i! f (a) f (a) f (n) (a) (x − a) + (x − a)2 + · · · + (x − a)n 1! 2! n! Khi có Tn (x) → f (x) n → ∞ có biểu thức xấp xỉ: f (x) ≈ Tn (x) Để đánh giá độ xác phép xấp xỉ trên, thường dùng bất đẳng thức sau đây: |Rn (x)| ≤ M |x − a|n+1 (n + 1)! fn+1 (x) ≤ M Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 194 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN Ví dụ 5.55 Tính số e với độ xác 0, 00001 Ta có x2 x3 xn ex ≈ + x + + + ··· + 2! 3! n! Suy 1 e = e1 ≈ + x + + + · · · + 2! 3! n! Với x ∈ [0, 1], ta có |f (n+1) (x)| = ex ≤ e, dấu = xảy x = ⇒ |Rn (x)| < | ⇒ |Rn (1)| < e e xn+1 | = |x|n+1 < |x|n+1 (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! Để tính số e với độ xác 0,00001, ta cần xác định n nhỏ cho (n + 1)! < 0, 00001 (n + 1)! ⇔ < ⇔ (n + 1)! > 3.105 ≈ 300.000 (n + 1)! 10 mà 8! = 40.320 < 105 , 9! > 105 nên ta chọn n + = hay n = Vậy độ xác 0, 00001 = 105 , ta có 1 1 1 e ≈ + + + + + + + + = 2, 718278 ≈ 2, 71828 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 5.6.2 Xấp xỉ tích phân phức tạp tích phân hàm khơng có ngun hàm Hàm f (x) = e−x khơng có ngun hàm hàm sơ cấp nên ta khơng thể lấy tích phân theo kỹ thuật thơng thường Trong ví dụ sau, ta sử dụng ý tưởng Newton việc lấy tích phân hàm e−x dx chuỗi vơ hạn Ví dụ 5.56 a) Biểu diễn e−x dx xác với sai số nhỏ 0,001 b) Tính Giải a) Khai triển Maclaurin ta có ∞ x e = n=0 xn n! Thay x −x2 vào biểu thức trên, ta có ∞ −x2 e = n=0 (−x2 )n = n! ∞ (−1)n n=0 x2n x2 x4 x6 =1− + − + ··· n! 1! 2! 3! Tiếp theo ta lấy tích phân hạng tử e−x dx = =C +x− Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 (1 − x2 x4 x6 + − + · · · )dx 1! 2! 3! x3 x5 x7 x2n+1 + − + · · · + (−1)n + ··· 3.1! 5.2! 7.3! (2n + 1).n! 195 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN Chuỗi hội tụ với x ∈ R b) e−x dx = x − x5 x7 x2n+1 x3 + − + · · · + (−1)n + ··· 3.1! 5.2! 7.3! (2n + 1).n! 0 1 1 1 1 + − + − ··· ≈ − + − + ≈ 0, 7475 10 42 216 10 42 216 Định lý ước lượng chuỗi đan dấu sai số tương ứng xấp xỉ =1− 1 = < 0, 001 11.5! 1320 5.6.3 Ứng dụng vào tìm số giới hạn phức tạp Một ứng dụng khác chuỗi Taylor minh họa ví dụ sau: ex − − x x→0 x2 Giải Sử dụng chuỗi Maclaurin với chuỗi ex ta có Ví dụ 5.57 Tính lim lim ex x→0 −1−x = lim x→0 x2 (1 + x x2 x3 + + + ···) − − x 1! 2! 3! x2 x2 x3 x4 + + + ··· 3! 4! = lim 2! x→0 x2 x x2 = lim + + + ··· = x→0 2! 3! 4! 5.7 BÀI TẬP Bài 5.1 Viết phần tử dãy số sau 3(−1)n n! 4.an = {2.4.6 · (2n)} n+1 3n + 3.a1 = 1, an+1 = 2an − 2.an = 1.an = Bài 5.2 Xác định dãy sau hội tụ hay phân kỳ Nếu hội tụ tìm giới hạn n3 + n2 9n+1 3.an = 10n n sin n 5.an = + n2 cos2 n g)an = 2n + n3 + 2n3 ln n 4.an = √ n 1.an = 2.an = 6.an = cos(n/2) h)an = + n n Bài 5.3 Một dãy xác đinh truy hồi theo phương trình a1 = 1, an+1 = − an Chứng minh an dãy tăng an < với n Kết luận an hội tụ tìm giới hạn Bài giảng: Tốn Cao Cấp A1 196 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN Bài 5.4 Xác định chuỗi hội tụ tuyệt đối n2 n=1 ∞ (−1)n+1 5n−1 n+2 n=1 (n + 1) ∞ ∞ −3 n=1 n ∞ (−9)n n! n=1 Bài 5.5 Tìm tổng chuỗi hàm sau x2n−1 với |x| < n=1 2n − x2n−1 với|x| < 2n − n=1 n ∞ x (−1)n+1 n n=1 ∞ ∞ ∞ n(n + 1)xn−1 với |x| < n=1 (−1)2n−1 Bài 5.6 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau (x + 2)n n4n n=1 ∞ (2)n (x − 3)n √ n+3 n=1 (−1)n xn n n=1 n ∞ 2n (x − 2)n n=1 (n + 2)! ∞ ∞ Bài 5.7 Biểu diễn hàm sau dạng chuỗi lũy thừa x+1 x f (x) = 4x + 1 − x3 x2 f (x) = a − x3 f (x) = f (x) = C HÌNH THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY - HỌC Giảng viên gởi giảng cho sinh viên đọc trước, giảng viên thực giảng lớp phương pháp thuyết trình, vấn đáp giao tập cho sinh viên luyện tập nhà, giới thiệu số tài liệu tham khảo D TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp Tập I, II, III, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh James Stewart, Calculus, Metric International Version James Stewart, Calculus, Early Transcendentals, Sixth Edition Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 197 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt GIẢNG VIÊN BIÊN SOẠN NGUYỄN BẢO VIỆT XÉT DUYỆT CỦA TỔ BỘ MÔN Đà Nẵng, ngày tháng năm KẾT QUẢ KIỂM TRA CỦA PHÒNG THANH TRA Đà Nẵng, ngày tháng năm ... 200 C nhiệt độ độ cao km 100 C Hãy biểu diễn hàm nhiệt độ T C theo độ cao h (km), giả sử mơ hình tuyến tính (b) Vẽ đồ thị hàm phần (a) Hệ số góc diễn tả điều gì? (c) Nhiệt độ độ cao 2,5 km bao nhiêu?... 20 Bài giảng: Toán Cao Cấp A1 16 Biên soạn: ThS Nguyễn Bảo Việt Đại học Duy Tân Khoa KHTN (b) Đồ thị vẽ hình sau Hệ số góc −10, diễn tả tốc độ thay đổi nhiệt độ theo chiều cao (c) Khi h = 2,... số) 4.4 Phương trình tách biến 4.5 Ứng dụng phương trình tách biến Bài giảng: Tốn Cao Cấp A1 lò xo