THÔNG TIN TÀI LIỆU
SỞ GD&ĐT KONTUM —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu (4,0 điểm) x Giải phương trình: Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): x m 1 x m3 m 1 có hai x2 x x2 x 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: P x13 x23 x1 x2 x1 x2 Câu (1,5 điểm) x x y xy xy y ( x, y ) Giải hệ phương trình: x y xy (2 x 1) Câu (1,5 điểm) Cho x, y hai số thực dương thoả mãn điều kiện x x y y 2012 Tìm giá trị nhỏ P x y Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P điểm đối xứng O qua đường thẳng BC, CA, AB; H trực tâm tam giác ABC L trọng tâm tam giác MNP Chứng minh OA OB OC OH ba điểm O, H, L thẳng hàng Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho MAB MBC MCD MDA Chứng minh đẳng thức sau: AB BC CD DA2 , AC.BD.sin số đo góc hai đường thẳng AC BD Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm 13 M 1; 5 , N ; , P ; (M, N, P không trùng với đỉnh tam giác ABC) Tìm 2 2 2 cot tọa độ đỉnh A, B, C biết đường thẳng AB qua điểm Q 1; 1 điểm A có hồnh độ dương —Hết— Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT KONTUM ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 2,0 điểm 2 1 1 Ta có x x x , x x x nên phương trình xác định 2 2 với x Phương trình cho tương đương với x2 x x2 x 2 x x2 x x2 x4 x2 x4 x2 x2 1 x 1 x 2 2 x x 1 1 2x x x x x 1 x x Vậy pt có nghiệm x x 2,0 điểm Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 x 0,5 0,5 0,5 m 2 ' 2 m m m 2 m 2 m x1 x2 m 2 m 1 0,5 0,5 Theo định lí Viet ta có x1 x2 m 1 , x1 x2 m3 m 1 suy P x1 x2 x1 x2 m 1 8m3 m 1 16m 40m 3 0,5 Bảng biến thiên m -2 0 16 0,5 P -144 -24 Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 m , Pmin 144 m 2 1,5 điểm 2 x x3 y xy xy y ( x y ) xy ( x y ) xy Ta có 2 x y xy (2 x 1) x y xy a x y Đặt Hệ trở thành: b xy a ab b (*) a b DeThiMau.vn 0,5 0,25 0,25 a a 2a a (a a 2) Hệ (*) 2 b a b a 0,25 Từ tìm (a; b) (0; 1); (1; 0); (2; 3) x2 y x y * Với (a; b) (0; 1) ta có hệ xy 0,25 x2 y ( x; y ) (0; 1);(1;0);(1;0) * Với (a; b) (1; 0) ta có hệ xy 0,25 * Với (a; b) (2; 3) ta có hệ 3 x y 2 y y x 1; y x x xy x 2x ( x 1)( x x 3) 0,25 Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y ) (1; 1);(0; 1);(1; 0);(1; 0);(1; 3) 1,5 điểm Đặt t x x dễ thấy t x Từ giả thiết ta có y y Từ (1) (2) suy x y Do x y t 1 (1) 2t 0,25 2012 20122 t Từ suy y (2) t 2.2012.t t 20122 t 2011 2012 t 2t 2.2012.t 2.2012 t 2011 2011 Vậy giá trị nhỏ P , x y 2012 2012 0,25 2011 2012 2011 2011 t 2012 2.2012 t 2.2012 2012 Đẳng thức xảy t 2012 Từ (1) (2) suy x y 0,25 0,5 2011 2012 0,25 1,0 điểm A P N H O 0,5 B C K M D DeThiMau.vn Kẻ đường kính AD, tứ giác BHCD hình bình hành nên trung điểm K BC cũng trung HD, điểm của tam giác AHD có OH là đường trung bình nên 2OK AH OB OC OH OA OA OB OC OH Ta có OB OC 2OK OM đẳng thức tương tự ta được: OM ON OP OA OB OC 2OH 3OL 2OH suy O, H, L thẳng hàng 1,0 điểm AB MA2 MB AC.BD.sin ; cot S MAB Trước hết ta có kết sau: S ABCD 0,5 0,5 Tương tự ta được: AB MA2 MB BC MB MC CD MC MD cot S MAB S MBC S MCD DA2 MD MA2 AB BC CD DA2 S MDA S MAB S MBC S MCD S MDA 0,5 AB BC CD DA2 AB BC CD DA2 S ABCD AC.BD.sin 1,0 điểm A N P K I C B 0,25 M Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn qua điểm M, N, P nên ta lập phương trình là: x y x 29 suy tâm K đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tọa độ K ; Do AB KP nên AB có vtpt nAB KP 2; 1 Suy phương trình AB : x 1 1 y 1 x y Do tọa độ A, B nghiệm hệ 2 x y y 2x x 1, y phương trình x 4, y 5 2 x y x 29 x 3x Suy A 1;5 , B 4; 5 Do AC KN nên AC có vtpt nAC KN 2;1 Suy pt AC : x 1 y x y Khi tọa độ A, C nghiệm hệ phương trình: 2 x y y 2 x x 1, y Từ suy C 4; 1 2 x 4, y 1 x y x 29 x 5x Vậy A 1;5 , B 4; 5 , C 4; 1 DeThiMau.vn 0,25 0,5 ... ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo... có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu... x1 x2 x1 x2 m 1 8m3 m 1 16m 40m 3 0,5 Bảng biến thi? ?n m -2 0 16 0,5 P -144 -24 Từ bảng biến thi? ?n ta được: Pmax 16 m , Pmin 144 m 2 1,5 điểm 2 x x3 y
Ngày đăng: 01/04/2022, 09:56
Xem thêm:
