Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 10a năm học 20112012 đề thi môn: toán dành cho học sinh thpt không chuyên thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề55490

SỞ GD&ĐT KONTUM —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu (4,0 điểm) x฀  Giải phương trình: Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): x   m  1 x  m3   m  1  có hai x2  x   x2  x   2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: P  x13  x23  x1 x2  x1  x2   Câu (1,5 điểm)  x  x y  xy  xy  y  ( x, y  ฀ ) Giải hệ phương trình:   x  y  xy (2 x  1)  Câu (1,5 điểm)  Cho x, y hai số thực dương thoả mãn điều kiện x   x  y    y  2012 Tìm giá trị nhỏ P  x  y Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P điểm đối xứng O qua đường thẳng BC, CA, AB; H trực tâm tam giác ABC L trọng tâm tam     giác MNP Chứng minh OA  OB  OC  OH ba điểm O, H, L thẳng hàng Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho ฀ ฀ ฀ ฀ MAB  MBC  MCD  MDA   Chứng minh đẳng thức sau: AB  BC  CD  DA2 , AC.BD.sin   số đo góc hai đường thẳng AC BD Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm    13  M 1; 5  , N  ;  , P   ;  (M, N, P không trùng với đỉnh tam giác ABC) Tìm 2 2  2 cot   tọa độ đỉnh A, B, C biết đường thẳng AB qua điểm Q  1; 1 điểm A có hồnh độ dương —Hết— Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT KONTUM ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 2,0 điểm 2 1 1   Ta có x  x    x    , x  x    x    nên phương trình xác định 2 2   với x  ฀ Phương trình cho tương đương với x2  x   x2  x   2    x  x2  x    x2   x4  x2    x4  x2    x2 1  x  1  x     2 2 x  x 1  1 2x  x  x  x    x 1  x    x  Vậy pt có nghiệm x  x  2,0 điểm Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2   x 0,5 0,5  0,5 m  2  '   2  m  m m         2  m    2  m   x1  x2  m  2  m  1    0,5  0,5 Theo định lí Viet ta có x1  x2   m  1 , x1 x2  m3   m  1 suy P   x1  x2   x1 x2   m  1  8m3   m  1  16m  40m 3 0,5 Bảng biến thiên m -2 0 16 0,5 P -144 -24 Từ bảng biến thiên ta được: Pmax  16 m  , Pmin  144 m  2 1,5 điểm 2  x  x3 y  xy  xy  y  ( x  y )  xy ( x  y )  xy  Ta có   2  x  y  xy (2 x  1)   x  y   xy  a  x  y Đặt  Hệ trở thành: b xy   a  ab  b  (*)  a b    DeThiMau.vn 0,5 0,25 0,25 a  a  2a  a (a  a  2)  Hệ (*)    2 b   a b   a 0,25 Từ tìm (a; b)  (0; 1); (1; 0); (2;  3)  x2  y   x  y  * Với (a; b)  (0; 1) ta có hệ  xy   0,25  x2  y   ( x; y )  (0; 1);(1;0);(1;0) * Với (a; b)  (1; 0) ta có hệ   xy  0,25 * Với (a; b)  (2; 3) ta có hệ 3    x  y  2 y   y      x  1; y  x x    xy  x  2x   ( x  1)( x  x  3)    0,25 Kết luận: Hệ có nghiệm ( x; y )  (1; 1);(0;  1);(1; 0);(1; 0);(1; 3) 1,5 điểm Đặt t  x   x dễ thấy t  x  Từ giả thiết ta có y   y  Từ (1) (2) suy x  y  Do x  y  t 1 (1) 2t 0,25 2012 20122  t Từ suy y  (2) t 2.2012.t t  20122  t 2011  2012    t   2t 2.2012.t 2.2012  t  2011 2011 Vậy giá trị nhỏ P , x  y  2012 2012 0,25 2011 2012 2011 2011 t  2012  2.2012 t 2.2012 2012 Đẳng thức xảy t  2012 Từ (1) (2) suy x  y  0,25 0,5 2011 2012 0,25 1,0 điểm A P N H O 0,5 B C K M D DeThiMau.vn Kẻ đường kính AD, tứ giác BHCD hình bình hành nên trung điểm K BC cũng trung HD,  điểm của   tam giác AHD có OH là đường trung bình nên 2OK  AH  OB  OC  OH  OA  OA  OB  OC  OH     Ta có OB  OC  2OK  OM đẳng thức tương tự ta được:        OM  ON  OP  OA  OB  OC  2OH    3OL  2OH suy O, H, L thẳng hàng 1,0 điểm   AB  MA2  MB AC.BD.sin  ; cot   S MAB Trước hết ta có kết sau: S ABCD  0,5 0,5 Tương tự ta được: AB  MA2  MB BC  MB  MC CD  MC  MD cot     S MAB S MBC S MCD  DA2  MD  MA2 AB  BC  CD  DA2  S MDA  S MAB  S MBC  S MCD  S MDA  0,5 AB  BC  CD  DA2 AB  BC  CD  DA2  S ABCD AC.BD.sin  1,0 điểm  A N P K I C B 0,25 M Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn qua điểm M, N, P nên ta lập phương trình là: x  y  x  29  suy tâm K đường tròn ngoại   tiếp tam giác ABC có tọa độ K   ;      Do AB  KP nên AB có vtpt nAB  KP    2; 1 Suy phương trình AB :  x  1  1 y  1   x  y   Do tọa độ A, B nghiệm hệ 2 x  y    y  2x   x  1, y  phương trình      x  4, y  5 2   x  y  x  29   x  3x     Suy A 1;5  , B  4; 5  Do AC  KN nên AC có vtpt nAC  KN   2;1 Suy pt AC :  x  1  y    x  y   Khi tọa độ A, C nghiệm hệ phương trình: 2 x  y    y  2 x   x  1, y  Từ suy C  4; 1    2  x  4, y  1  x  y  x  29   x  5x   Vậy A 1;5  , B  4; 5  , C  4; 1 DeThiMau.vn 0,25 0,5 ... ——————— KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ——————————— I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo... có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Với hình học thí sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu... x1  x2   x1 x2   m  1  8m3   m  1  16m  40m 3 0,5 Bảng biến thi? ?n m -2 0 16 0,5 P -144 -24 Từ bảng biến thi? ?n ta được: Pmax  16 m  , Pmin  144 m  2 1,5 điểm 2  x  x3 y