Chuyên đề : bất đẳng thức đại số Dạng 1: dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức Chú ý c¸c tÝnh chÊt sau: a b 2 ; A B2 C2 ; A B2 C2 , ( 0) ; Tích số không âm số không âm ; Các đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách hạng tử để đưa dạng đẳng thức Bài : Chứng minh Bất ®¼ng thøc sau: a b2 a b a) b) a b3 a b c) a b 2ab d) a b c2 a b c c) a b b ab bc ca e) a b c2 d e2 a b c d e Bài : Chứng minh BĐT sau: f) a b ab a b a2 b c2 ab ac 2bc d) a 5b 4ab 2a 6b a) a b c2 2ab 2ac 2bc b) c) a 2b 2ab 2a 4b e) x y z 2x xy x x Bµi : Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh BĐT sau: a) ab bc ca a b c2 ab bc ca b) abc a b c b c a c a b c) a b b 2c2 c2a a b c4 d) a b c b c a c a b 4abc a b3 c3 2 e) a b a b b 2c b c c2a c a f) a b3 c3 abc a b c2 b a c2 c a b a b3 c3 2abc Bµi : Chøng minh: x 1 x 3 x x 10 víi mäi sè thùc x Bµi : Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x xy y 3x 3y 1998 Bµi : Cho abc=2 vµ a 72 CMR: Bµi : CMR: a2 b c2 ab bc ca b) Víi a b th× a) NÕu a b th× a b a ab a b b3 b2 ab c) NÕu x 1, y th× x y y x xy 1 1 1 1 d) NÕu x y z CM: y x z x z x z y x z f) Cho a > CMR: a a 3a e) NÕu a b c2 th× : ab bc ca Bµi : Cho a, b, c số thực đoạn [0 ; 1] CMR: a b c2 a b b 2c c2a DeThiMau.vn Bµi : CMR: NÕu ab+ bc+ ca =1 th× a b c2 bình phương số thực ( a, b, c số thực) Bài 10 : Tìm số a, b, c, d biÕt r»ng : a b c d ab bc cd d a b c Bài 11 : Cho số dương a, b, c CMR: bc ac ab Bài 12 : Cho số thực a, b, c, m, n, p tháa m·n ®iỊu kiƯn : ap 2bn cm vµ ac b CMR: mp n ac bc Bài 13 : Cho số dương thỏa mÃn: a> b c ab CMR: a c2 b2 c2 a b Dạng 2: dùng bđt: a 2, a ; 2, a.b a b a Bµi 14 : Chứng minh BĐT sau: (với a, b, c số dương) 1 1 a) a b b) a b c a b a b c bc ac ab c) a b c a b c 9abc d) abc a b c a b2 c2 abc a b c e) f) bc ac ab bc ac ab 4 g) ; a 2b c 2a b c a b 2c a b c a b2 c2 a b c a b c 1 h) i) b c a bc ac ab a b c b c a Bài 15 : Tìm giá trị nhỏ cđa c¸c biĨu thøc sau: 4x 1 x , x x 2x a) P b) Q , x 2 x2 x c) T a a a a 1 x2 Bµi 16 : Tìm giá trị lớn biểu thức: U x x2 1 DeThiMau.vn Dïng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn biểu thức & hàm số Bài 17 : Tìm GTNN : a) f x, y x y 1 x 1 y 2 4y 4x 6xy c) f x, y x y2 b) f x, y x y x 2xy 4x 2 Bµi 18 : T×m GTLN cđa : a) f x 4x x b) f x x 315 x 3x 4xy c) f x, y x y2 Bài 19 : Tìm GTNN : x 4x a) f x x 0 x x c) f x x 1 x x Bài 20 : Tìm GTLN cña : b) f x d) f x tgx cot gx (x lµ gãc nhän) a) f x 2x 1 5x c) f x x3 x 0 x2 b) f x 1 x 1 x x x 2 d) f x x2 x2 e) f x a x a x x a Bài 21 : Tìm GTLN, GTNN cña : a) f x x x 1 x c) f x 3sin x 4cos x 0o x 180o b) f x 3x x 3x Bµi 22 : Cho x y 2, x 0, y H·y t×m : a) GTNN cđa : A 1 x y b) GTLN cña : B x y xy c) GTLN cña : C xy Bµi 23 : Cho xy= , (x>0, y>0) H·y t×m GTNN cđa : a) A x y b) B x y c) C x 1 4y 3 d) D x y x y y x Bµi 24 : Cho sè thùc dương a b Tìm GTNN : a x b x , x b a) y b) y ax , x x x b c) y ax d) y x x x , x a xa e) y x x x x DeThiMau.vn ... b, c CMR: bc ac ab Bài 12 : Cho số thực a, b, c, m, n, p tháa m·n ®iỊu kiƯn : ap 2bn cm vµ ac b CMR: mp n ac bc Bài 13 : Cho số dương thỏa mÃn: a> b c ab CMR: a ... Tìm giá trị lớn biểu thức: U x x2 1 DeThiMau.vn Dïng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn biểu thức & hàm số Bài 17 : Tìm GTNN : a) f x, y x y 1 x 1 y 2 4y 4x... a Bài 15 : Tìm giá trị nhỏ cđa c¸c biĨu thøc sau: 4x 1 x , x x 2x a) P b) Q , x 2 x2 x c) T a a a a 1 x2 Bµi 16 : Tìm giá trị lớn biểu thức: U x