Đang tải... (xem toàn văn)
Thực tế là đối với một số bài toán thì không chỉ có một lời giải duy nhất mà còn có nhiều lời giải khác nữa, nhưng ở đây chúng tôi chọn lời giải bằng các bất đẳng thức trên, vì chúng tôi[r]
(1)Lop12.net (2) Lop12.net (3) Chuyên đề Bất đẳng thức đại Võ Quốc Bá Cẩn-Phạm Thị Hằng Lop12.net (4) ii Lop12.net (5) Mục lục Lời nói đầu v Tìm tòi số kỹ thuật giải toán 1.1 Đại lượng (a b)(b c)(c a) 1.2 Những kiểu lời giải đặc biệt AM-GM 1.3 Kỹ thuật pqr 1.3.1 Lời nói đầu 1.3.2 Những đẳng thức cần nhớ 1.3.3 Bất đẳng thức Schur 1.3.4 Đại lượng (a b)2 (b c)2 (c a)2 1.3.5 Làm mạnh 1.3.6 pqr hoán vị 1.4 The CYH techniques 1.4.1 Lời nói đầu 1.4.2 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz và Holder 1.4.3 Một số kỹ thuật cần chú ý 1.5 The Hyberbolic functional technique 1.5.1 Lời nói đầu 1.5.2 Một số ví dụ mở đầu 1.5.3 Đặt vấn đề 1.5.4 Giải vấn đề 1.5.5 Một số mở rộng 1.6 Các dạng tổng bình phương 1.7 Hàm lồi, hàm bậc 1.8 Quy nạp Sáng tạo bất đẳng thức 1 12 22 22 23 23 28 42 55 70 70 70 72 143 143 143 146 152 164 179 186 196 201 A Một số bất đẳng thức thông dụng 343 A.1 Bất đẳng thức trung bình cộng-trung bình nhân-trung bình điều hòa (AM-GM-HM) 343 iii Lop12.net (6) iv MỤC LỤC A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 Bất Bất Bất Bất Bất đẳng đẳng đẳng đẳng đẳng thức thức thức thức thức AM-GM suy rộng trung bình lũy thừa trung bình lũy thừa suy rộng Bernoulli Cauchy Schwarz A.7 Bất đẳng thức Holder A.8 Bất đẳng thức Minkowski A.9 Bất đẳng thức Chebyshev A.10 Khai triển Abel A.11 Bất đẳng thức Maclaurin A.12 Bất đẳng thức Schur A.13 Hàm lồi, hàm lõm A.14 Bất đẳng thức Jensen A.15 Tổng, tích hoán vị-đối xứng Lop12.net 343 343 344 344 344 344 345 345 345 345 346 346 346 346 (7) Lời nói đầu Bất đẳng thức là vấn đề hay và khó chương trình toán phổ thông nó có mặt trên hầu khắp các lĩnh vực toán học và nó đòi hòi chúng ta phải có vốn kiến thức tương đối vững vàng trên tất các lĩnh vực Mỗi người chúng ta, đặc biệt là các bạn yêu toán, dù ít dù nhiều thì đã đau đầu trước bất đẳng thức khó và đã có cảm giác tự hào phấn khích mà mình chứng minh bất đẳng thức đó Nhằm “kích hoạt” niềm say mê bất đẳng thức các bạn, chúng tôi thực sách “Chuyên đề bất đẳng thức đại” Sách gồm chương Chương I chúng tôi xin giới thiệu đến các bạn kỹ thuật (xin gọi là kỹ thuật) mà chúng tôi tìm tòi tích lũy suốt thời gian học tập mình Do tất các kỹ thuật mà chúng tôi đề cập đây có liên hệ khăng khít với (cái này bổ trợ cái và ngược lại) nên chúng tôi xin phép trình bày theo kiểu bài chuyên đề nhỏ, chuyên đề là kỹ thuật Tuy nhiên, lĩnh vực bất đẳng thức phát triển (phát triển toán học sơ cấp nay), cho nên chúng tôi không thể đề cập hết các kỹ thuật (phương pháp) được, các kỹ thuật (phương pháp) đã xuất các sách, chúng tôi không nhắc lại đây, các bạn có thể tìm đọc chúng dựa vào các tài liệu mà chúng tôi đặt phần tài liệu tham khảo Về các kỹ thuật mà chúng tôi giới thiệu sách, hầu hết chúng là kỹ thuật mạnh và dùng để giải bài toán khó (đến khó) nên đôi (việc giải các bài toán khó) thì có thể gặp phải tính toán, biến đổi phức tạp, đây là điều không thể tránh khỏi Nhưng các bạn hãy yên tâm, vì các bài toán xuất các kỳ thi học giỏi (quốc gia, olypimpic 30/4, chí thi toán quốc tế) thường là bài đơn giản, bình thường nên việc sử dụng các kỹ thuật này nhẹ nhàng và đơn giản Chẳng hạn bài toán thi IMO 2006 sau Bài toán 0.1 Tìm số nhỏ cho bất đẳng thức sau đúng với các số thực a; b; c ab(a2 b2 ) + bc(b2 c2 ) + ca(c2 a2 ) k(a2 + b2 + c2 )2 : Lời giải đáp án là lời giải dài và phức tạp (sử dụng bất đẳng thức AMGM), đòi hỏi người làm phải “rất khéo léo”, với lời giải kỹ thuật “đánh v Lop12.net (8) vi LỜI NÓI ĐẦU giá các bất đẳng thức hoán vị”, chúng ta nhận lời giải ngắn gọn 1/3 so với lời giải gốc ban đầu Chương II sách là tuyển tập bài toán mà chúng tôi (theo quan niệm thân) là hay và khó Chúng tôi chủ yếu tuyển chọn bài bất đẳng thức chứa bài “không mẫu mực” vì chúng ta không thể dùng biến đổi thông thường để giải chúng và thì thúc đẩy chúng ta sáng tạo Trong chương này, phần lớn chúng tôi giải cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz-Holder (CYH techniques) và bất đẳng thức Schur (bậc 3, bậc 4) Thực tế là số bài toán thì không có lời giải mà còn có nhiều lời giải khác nữa, đây chúng tôi chọn lời giải các bất đẳng thức trên, vì chúng tôi muốn các bạn “hòa nhập” vào quan điểm chúng tôi là “Cái đơn giản là cái mạnh nhất!” Trong chương này, có số bài toán khó, lời giải mà chúng tôi tìm phức tạp, chúng tôi mong các bạn suy nghĩ chúng và tìm lời giải đơn giản Chúng tôi thực sách này với mong muốn cung cấp thêm cho các bạn thêm nguồn bài tập (khó) bất đẳng thức để có thể luyện tập thêm kĩ giải toán mình Mặc dù đã cố gắng không có điều gì là tuyệt đối cả, nên khó tránh khỏi thiếu sót, sai lầm Mong các bạn thông cảm và góp ý cho chúng tôi để có thể sách có thể chỉnh sửa và hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Xin gửi tặng sách này đến người gái tôi yêu quý nhất, bạn Phạm Thị Hằng, học sinh chuyên toán K34, trường THPT Chuyên Phan Bội Châu, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An Võ Quốc Bá Cẩn SV lớp YY0647A1, trường ĐHYD Cần Thơ Số nhà C65 khu dân cư Phú An, phường Phú Thứ, quận Cái Răng, Cần Thơ E-mail: can_hang2007@yahoo.com Lop12.net (9) Chương Tìm tòi số kỹ thuật giải toán 1.1 Đại lượng (a b)(b c)(c a) Với bất đẳng thức hoán vị vòng quanh, việc xử lý chúng khó các bất đẳng thức đối xứng nhiều Tuy nhiên, điểm đáng chú ý các dạng bất đẳng thức này, chúng ta có thể biến đổi chúng thành dạng "bán đối xứng" sau Đặt f (a; b; c) chính là biểu thức hoán vị vòng quanh đề bài, ta có thể viết lại f (a; b; c) sau 1 f (a; b; c) = [f (a; b; c) + f (c; b; a)] + [f (a; b; c) f (c; b; a)] 2 Khi đó, có điểm đáng chú ý là f (a; b; c) + f (c; b; a) là biểu thức đối xứng theo a; b; c và f (a; b; c) f (c; b; a), ta có thể tách đại lượng khá đặc biệt là (a b)(b c)(c a): Từ đó, việc đánh giá bài toán trở nên đơn giản nhiều Sau đây là vài ví dụ Ví dụ 1.1 Cho các số dương a; b; c: Chứng minh ab bc ca + + 3a2 + b2 3b + c2 3c + a2 : (Dương Đức Lâm) Lời giải Bất đẳng thức tương đương với X (a cyc b)(3a b) 3a2 + b2 Lop12.net (10) CHƯƠNG TÌM TÒI MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN , X (a b) cyc , X (a cyc X a2 b2 a2 + b2 cyc a+b a2 + b2 2(3a b) 3a2 + b2 b) (3a2 2ab + 3b2 ) (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) Y a2 b2 a2 + b2 cyc Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có X (a cyc b) (3a2 2ab + 3b2 ) (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) Nên ta cần chứng minh v uY u (a 3t cyc v uY u (a 3t cyc b) (3a2 2ab + 3b2 ) (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) b) (3a2 2ab + 3b2 ) (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) Y a2 b2 a2 + b2 cyc b) (3a2 2ab + 3b2 ) Y (a2 b2 )3 (a2 + b2 )(3a2 + b2 ) (a2 + b2 )3 cyc cyc Y Y , 27 (3a2 2ab + 3b2 )(a2 + b2 )2 (a b)(a + b)3 (3a2 + b2 ) Y (a , 27 cyc cyc Bất đẳng thức này chứng minh ta chứng minh bất đẳng thức sau với x; y > 3(3x2 2xy + 3y )(x2 + y )2 jx yj (x + y)3 (3x2 + y ) Theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có x2 + y (x + y)2 Nên ta cần chứng minh 3(3x2 2xy + 3y )(x2 + y ) x2 y (3x2 + y ) Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng x2 + y x2 y2 và 3(3x2 2xy + 3y ) 2(3x2 + y ) = 3x2 Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy và a = b = c: Lop12.net 6xy + 7y = 3(x y)2 + 4y 0: (11) 1.1 ĐẠI LƯỢNG (A B)(B C)(C A) Ví dụ 1.2 Cho a; b; c là độ dài ba cạnh tam giác nhọn Chứng minh a2 b3 c3 a3 + + 2 +b b +c c + a2 a2 b2 c2 + + : a+b b+c c+a (Võ Quốc Bá Cẩn) Lời giải Trước hết, ta hãy chú ý X b3 cyc a3 a2 + b2 X (b = a)(a2 + ab + b2 ) X (a = a2 + b2 cyc cyc P X ab(b b) + cyc a)(a2 + c2 )(b2 + c2 ) ab(b a2 a) + b2 ) cyc = (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) ! ! P 2 P P a b ab(b a) + abc c3 (a cyc = cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) (a b)(b c)(c a) P a2 b2 + abc cyc = X a2 X b2 = (a a+b cyc P ! a cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) cyc b) cyc b) = Từ đó, ta có thể viết lại bất đẳng thức sau X a3 + b3 cyc , X cyc a2 + b2 X a2 + b2 cyc ab(a b)2 (a + b)(a2 + b2 ) X b3 a+b (a cyc b)(b a2 c)(c a3 X a2 b2 + + b2 a+b cyc a) P 2 a b + abc cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) P cyc ! a Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có X cyc ab(a b)2 (a + b)(a2 + b2 ) s 33 a2 b2 c2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a + b)(b + c)(c + a)(a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) Lop12.net (12) CHƯƠNG TÌM TÒI MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Ta cần chứng minh s 33 a2 b2 c2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a + b)(b + c)(c + a)(a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) (a b)(b c)(c P a) a2 b2 + abc cyc ! a cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) , P 27a2 b2 c2 (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a + b)(b + c)(c + a)(a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) (a 3 b) (b c) (c a) P 2 a b + abc cyc P a cyc (a2 + b2 )3 (b2 + c2 )3 (c2 + a2 )3 !3 ,27a2 b2 c2 (a2 + b2 )2 (b2 + c2 )2 (c2 + a2 )2 (a b )(b 2 2 c )(c a ) X X 2 a b + abc cyc cyc !3 a Do a; b; c là độ dài cạnh tam giác nhọn nên ta dễ dàng chứng minh a2 b2 c2 (a2 b2 )(b2 c2 )(c2 Ngoài ra, ta có 2 2 X (a + b )(b + c )(c + a ) = a cyc X cyc ! a ! a2 ) X 2 a b cyc X cyc ! 2 a b a2 b2 c2 ! v !3 u X 8u t3 2 a b cyc v P 13 u 0P 2 a b + abc a u u t @ cyc cyc A 2 2 2 2 2 ) (a + b ) (b + c ) (c + a ) 27 X cyc 2 a b + abc X cyc !3 a Nhân tương ứng vế với vế các bất đẳng thức này, ta thu bất đẳng thức trên Đẳng thức xảy và a = b = c a = b; c = và các hoán vị Lop12.net (13) 1.1 ĐẠI LƯỢNG (A B)(B C)(C A) Ví dụ 1.3 Cho các số không âm a; b; c; không có số nào cùng 0: Chứng minh p 3(a2 + b2 + c2 ) b3 c3 a3 + + : 2 2 a +b b +c c +a (Võ Quốc Bá Cẩn) Lời giải Viết lại bất đẳng thức sau s X X a3 + b3 a+b a2 + b2 a cyc cyc , X (a cyc (a b)(b P cyc c)(c cyc X b3 cyc (a b)2 r P P a2 + a cyc P a) cyc a2 b2 + abc P a nên ta cần chứng minh b)2 (a + b) 2(a2 + b2 ) X (a cyc , X (a b)2 P + a (a b)(b c)(c a) P a2 b2 + abc cyc b)2 cyc a+b+c a+b a2 + b2 b)(b c)(c a) P 2 a b + abc cyc b)2 P ! a cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) (a a cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) cyc X ! P cyc 2(a , ! a cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) a3 + b2 a2 cyc X (a cyc cyc a+ cyc + r P Do a2 X b)2 (a + b) 2(a2 + b2 ) X 2ab + ac + bc a2 + b2 2(a b)(b c)(c a) P cyc ! a P a2 b2 + abc cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) Lop12.net P cyc ! a (14) CHƯƠNG TÌM TÒI MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có X b)2 2ab + ac + bc a2 + b2 (a b)2 (b (a cyc s 33 c)2 (c a)2 (2ab + ac + bc)(2bc + ab + ac)(2ac + bc + ba) (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) Ta phải chứng minh s 33 (a 2(a b)2 (b c)2 (c b)(b a)2 (2ab + ac + bc)(2bc + ab + ac)(2ac + bc + ba) (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) ! ! P P 2 P a) a a b + abc a c)(c cyc cyc cyc (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) " #" # Y Y 2 , 27 (2ab + ac + bc) (a + b ) cyc " cyc Y (a cyc # b) X cyc !3 a X cyc Y (a2 + b2 )2 cyc 64 81 X X !2 a2 cyc X cyc !3 a !3 ab cyc và a b + abc cyc Vì Y (2ab + ac + bc) 2 X a2 b2 cyc !2 nên ta cần chứng minh 16 X cyc !3 ab X cyc " a !2 Y (a cyc X cyc # b) 2 a b !2 X cyc Lop12.net !3 a X cyc 2 a b + abc X cyc !3 a (15) 1.1 ĐẠI LƯỢNG (A Bây giờ, chú ý !2 X 2 a b X cyc X = B)(B a b cyc X = A !2 ab cyc 2 !2 2 a b C)(C X X a b + abc 2 a b + 2abc X a + 12abc X a2 b2 !2 " cyc cyc a !3 a cyc ! X cyc ! X 2 cyc cyc abc A) X 2 a b + abc cyc X !3 a cyc đó A=5 X a2 b2 cyc !2 cyc ! X cyc ! a X + 3a2 b2 c2 cyc !2 a Ta còn phải chứng minh X ! ab cyc X a cyc # Y (a b) cyc X cyc !3 a Chuẩn hóa cho a + b + c = 1: Đặt q = ab + bc + ca; r = abc thì ta có p (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a b)(b c)(c a) p = q 4q + 2(9q 2)r 27r2 Ta phải chứng minh Nếu 9q 2q(1 thì p 2q)2 Do 2q)2 2(1 Nếu 9q p q2 2q)2 2q(1 thì p q2 4q q2 4q + 2(9q p + 2(9q 4q = 2)r 4q + 2(9q 27r2 2)r p 27r2 4q = r 2 (1 27 r (1 27 Lop12.net 2)r 27r2 h q 2(1 2q)2 + [2(1 3q)3 3q)3 p 4q 4q)2 + 1] (27r 27 i 9q + 2)2 (16) CHƯƠNG TÌM TÒI MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN )2q(1 2q)2 p q2 2q(1 2q)2 2q(1 2q)2 4q + 2(9q 2)r 27r2 r p (1 3q)3 = 2q(1 2q)2 (1 3q) 3(1 3q) 27 46 (1 3q) = (9q 2)(81q 63q + 13) + > 0: 729 729 Bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xảy và a = b = c: Ví dụ 1.4 Cho các số dương a; b; c thỏa mãn giác Xác định số k nhỏ cho a b c + + 2 b+c c+a a + b2 k 1 a; b; c là độ dài cạnh tam c a b + + b c a a b c + 2+ 2 b c a : (Võ Quốc Bá Cẩn) Lời giải Cho a = b = c, đó bất đẳng thức trở thành a+1 9k a a = 3(a + 1) ,k 3(a + 1) Cho a ! +1, ta k Ta chứng minh đây chính là giá trị mà ta cần tìm, tức là a b c a b c a b c + + + + + 2+ b + c2 c + a2 a + b2 b c a b2 c a X b X a X a2 X a + + , b bc cyc a b + c2 cyc cyc cyc Do P cyc a b+c2 P cyc a c2 nên ta cần chứng minh X a2 cyc , b3 + X a X b + bc cyc a2 cyc X a2 cyc b3 + X a bc cyc X a c2 cyc X b a2 cyc Đặt x = a1 ; y = 1b ; z = 1c , đó x; y; z là độ dài cạnh tam giác Bất đẳng thức trở thành X y X yz X x2 + 2 x x y cyc cyc cyc Lop12.net (17) 1.1 ĐẠI LƯỢNG (A , X B)(B 2y x y3 +y x2 cyc , X cyc , X (x + A) X yz cyc x x+2 x cyc 2(x X x2 X y2 cyc y)(y y cyc z)(z x) P ! x cyc xyz 2(x y) (2y + zx) 2x2 y cyc X y z + x2 2xy y)2 (x C)(C y)(y z)(z x) P x cyc xyz Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có X (x 2 y) (2y + zx) 2x2 y cyc rQ (x 33 y)2 cyc Q (2x2 + yz) cyc 2xyz Ta cần chứng minh rQ (x 33 y)2 cyc Q (2x2 + yz) cyc 2(x y)(y x) P x cyc 2xyz Y , 27 (2x2 + yz) z)(z xyz 64(x y)(y z)(z x) cyc X cyc !3 x Để chứng minh bất đẳng thức này, trước hết ta chứng minh Y (2x2 + yz) cyc X cyc !3 x X cyc xy ! Do tính nhất, ta có thể chuẩn hóa cho x+y+z = Đặt q = xy+yz+zx; r = xyz, đó ta có 31 q 14 và Y (2x2 + yz) = 27r2 + 2(1 9q)r + 4q cyc Bất đẳng thức trở thành 243r2 + 18(1 9q)r + 36q Lop12.net q (18) 10 CHƯƠNG TÌM TÒI MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN 5q 1 , 18 Đây là hàm lõm theo r và với chú ý r 243r2 + 18(1 9q)r + 36q q 5q 18 243 = (16q ta có 1)(1 + (1 8q)(5q 3q)2 1) + 36q q Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh ! ! X X x xy 64(x y)(y z)(z x) cyc cyc Đặt x = m + n; y = n + p; z = p + m (m; n; p > 0), bất đẳng thức này tương đương với ! ! X X X m m +3 mn 32(m n)(n p)(m p) cyc cyc cyc Từ đây, giả sử p = minfm; n; pg, và đặt m = p + u; n = p + v (u; v X m = 3p + u + v u + v 0), ta có cyc X m2 + cyc X mn = 12p2 + 8(u + v)p + u2 + 3uv + v u2 + 3uv + v cyc (m n)(n p)(m p) = uv(u v) Nên ta cần chứng minh 3(u + v)(u2 + 3uv + v ) , 3u3 , 3u u 32uv(u 20u2 v + 44uv + 3v 10 v + v) 32 uv + 3v 3 0: hiển nhiên đúng Vậy ta có đpcm Ví dụ 1.5 Cho các số không âm a; b; c; không có số nào đồng thời 0: Chứng minh (a b)(13a + 5b) (b + a2 + b2 c)(13b + 5c) (c + b2 + c2 a)(13c + 5a) c2 + a2 0: (Võ Quốc Bá Cẩn) Đây chính là bất đẳng thức Schur bậc Lop12.net (19) 1.1 ĐẠI LƯỢNG (A B)(B C)(C A) 11 Lời giải Bất đẳng thức tương đương với X 4(a b)2 + 9(a2 a2 + b2 cyc ,4 ,4 X (a cyc a2 X (a b)2 a2 + b2 cyc b) + b2 b2 ) X b2 cyc a2 a2 + b2 9(a b )(b2 c2 )(c2 a2 ) (a + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) Theo bất đẳng thức AM-GM, X (a cyc b)2 a + b2 s 12 (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) Ta cần chứng minh s (a b)2 (b c)2 (c a)2 43 (a + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) 3(a2 b2 )(b2 c2 )(c2 a2 ) (a2 + b2 )(b2 + c2 )(c2 + a2 ) Bất đẳng thức này là hệ bất đẳng thức sau với x > y 4(x2 + y )2 Nếu x 6y thì x4 Nếu x , x4 3(x2 y )(x + y)2 6x3 y + 8x2 y + 6xy + 7y 6x3 y + 8x2 y + 6xy + 7y = x3 (x 0 6y) + 8x2 y + 6xy + 7y 3y)2 + xy (6y 0: 6y; ta có x4 6x3 y + 8x2 y + 6xy + 7y = x2 (x x) + 7y Vậy ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b = c: Ví dụ 1.6 Cho các số không âm a; b; c; không có số nào đồng thời 0: Chứng minh ab bc ca : + + 2 2 a + 4b b + 4c c + 4a Ví dụ 1.7 Cho các số không âm a; b; c; không có số nào đồng thời 0: Chứng minh (a b)(3a b) (b c)(3b c) (c a)(3c a) + + 3a2 + 2ab + 3b2 3b + 2bc + 3c2 3c + 2ca + 3a2 0: (Thomas Mildorf) Lop12.net (20) 12 1.2 CHƯƠNG TÌM TÒI MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN Những kiểu lời giải đặc biệt AM-GM Ví dụ 1.8 Cho các số không âm a; b; c thỏa a + b + c = 3: Chứng minh r r r a3 b3 c3 + + : 2 2 2 a + 3b b + 3c c + 3a (Phan Thành Việt) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có r X X a3 a2 p = a2 + 3b2 4a(a + b + c) 3(a2 + 3b2 ) cyc cyc X cyc = X cyc a2 4a(a + b + c) + 3(a2 + 3b2 ) a2 7a2 + 9b2 + 4ab + 4ca Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz thì !" # X X a2 2 (c + 2a) (7a + 9b + 4ab + 4ca) 7a2 + 9b2 + 4ab + 4ca cyc cyc " #2 !2 X X X a(c + 2a) = a + ab cyc cyc cyc Nên ta cần chứng minh X a2 + cyc , X cyc a4 + X cyc X !2 X ab a2 b2 + cyc (c + 2a)2 (7a2 + 9b2 + 4ab + 4ca) cyc X a3 b cyc X ab3 cyc Giả sử a = fa; b; cg ; đặt b = a + x; c = a + y (x; y thành 6(x2 xy + y )a2 + (4x3 + 9x2 y Ta có 4x3 + 9x2 y 2abc X a 0) thì bất đẳng thức trở 9xy + 4y )a + x4 + 3x3 y + x2 y 9xy + 4y = 4x3 + y(2x Lop12.net cyc y)2 + y 3xy + y 0 (21)