Tr n S Tùng WWW.MATHVN.COM PH NG TRÌNH L NG GIÁC www.mathvn.com TRONG THI I H C 2002-2010 Baøi ( H 2002A) Tìm nghi m thu c kho ng (0; 2p ) c a ph HD: ng trình: ỉ cos3 x + sin x ỗ sin x + ÷ = cos2 x + + sin x ø è ì é p p ï x ¹ - 12 + mp êx = i u ki n: í PT Û cos x = cos x + Û cos x = Û ê p p ùx ờx = + np ợ 12 ng trình: sin x - cos2 x = sin x - cos2 x é p êx = k HD: PT Û cos x.sin x.sin x = Û sin x.sin x = Û ê êx = k p êë Bài ( H 2002D) Tìm x thu c đo n [0; 14] nghi m ph ng trình: cos3 x - cos x + cos x - = p 3p 5p 7p HD: PT Û cos2 x (cos x - 2) = Û cos x = Û x = ; x = ;x = ;x = 2 2 sin x + cos x + Baøi ( H 2002A–db1) Cho ph ng trình: = a (a tham s ) sin x - cos x + 1 Gi i ph ng trình a = Tìm a đ ph ng trình có nghi m p HD: 1) x = - + kp 2) - £ a £ ( a v PT b c đ i v i sinx cosx) æ xư Bài ( H 2002A–db2) Gi i ph ng trình: tan x + cos x - cos2 x = sin x ỗ + tan x.tan ữ ố 2ø x ìcos x ¹ HD: x = k2p Chú ý: i u ki n: í + tan x.tan = cos x ¹ cos x ỵ Bài ( H 2002B) Gi i ph Baøi ( H 2002B–db1) Gi i ph HD: sin x + cos4 x 1 = cot x 5sin x 8sin x p i u ki n: sin2x ¹ PT Û cos2 x - cos2 x + = Û x = ± + kp Baøi ( H 2002D–db1) Gi i ph HD: ( - sin2 x ) sin 3x cos4 x p 2p 5p 2p i u ki n: cosx ¹ PT Û sin x = Û x = + k ;x= +k 18 18 Baøi ( H 2002B–db2) Gi i ph HD: ng trình: tan x + = ng trình: ng trình: cos2 x = sin x ìcos x ¹ i u ki n: í ỵsin x > Trang WWW.MATHVN.COM DeThiMau.vn www.MATHVN.com Tr n S Tùng p 3p 5p 7p + k 2p ; x = + k 2p ; x = + k 2p ; x = + k 2p 8 8 Baøi ( H 2002D–db2) Xác đ nh m đ ph ng trình: PT Û x = ( sin x + cos4 x ) + cos x + sin x - m = (*) é pù có nh t m t nghi m thu c đo n ê 0; ú ë 2û 10 HD: - £ m £ -2 é pù t t = sin2x (*) có nghi m thu c ê 0; ú Û f (t ) = 3t - 2t = m + có nghi m tỴ[0;1] ë 2û cos2 x Bài 10 ( H 2003A) Gi i ph ng trình: cot x - = + sin x - sin x + tan x HD: i u ki n: sin x ¹ 0, cos x ¹ 0, tan x ¹ p + kp Baøi 11 ( H 2003B) Gi i ph ng trình: cot x - tan x + sin x = sin x p ìsin x ¹ HD: i u ki n: í PT Û cos2 x - cos x - = Û x = ± + kp ợcos x PT (cos x - sin x )(1 - sin x.cos x + sin x ) = Û x = ỉx pư x ng trỡnh: sin ỗ - ữ tan x - cos2 = è2 4ø HD: i u ki n: cos x ¹ é x = p + k 2p PT Û (1 - sin x )(1 + cos x )(sin x + cos x ) = Û ê p ê x = - + kp ë Baøi 12 ( H 2003D) Gi i ph Baøi 13 ( H 2003A–db1) Gi i ph HD: ng trình: cos x + cos x ( tan x - 1) = i u ki n: cosx ¹ p + k 2p Baøi 14 ( H 2003A–db2) Gi i ph ng trình: - tan x ( tan x + sin x ) + cos x = p HD: i u ki n: cosx ¹ PT Û (1 + cos2 x )(3 cos2 x - sin x ) = Û x = ± + kp Baøi 15 ( H 2003B–db1) Gi i ph ng trình: cos x - cos x + cos x + = p p HD: PT Û cos2 x (-2 cos4 x + cos2 x - 3) = Û x = + k , x = kp ( - ) cos x - sin2 ổỗ x - p ửữ ố ứ = Baøi 16 ( H 2003B–db2) Gi i ph ng trình: cos x - 1 p HD: i u ki n: cos x ¹ PT Û - cos x + sin x = Û x = + (2k + 1)p ( cos x cos x - 1) Baøi 17 ( H 2003D–db1) Gi i ph ng trình: = 2(1 + sin x ) sin x + cos x ỉ pư HD: i u ki n: sin ỗ x + ữ ¹ è 4ø WWW.MATHVN.COM Trang PT Û (1 + cos x )(2 cos2 x - cos x + 2) = Û x = (2k + 1)p , x = ± DeThiMau.vn Tr n S Tùng WWW.MATHVN.COM p + kp , x = p + k 2p 2 cos x ng trình: cot x = tan x + sin x PT Û (1 + sin x )2 (1 + cos x ) = Û x = Baøi 18 ( H 2003D–db2) Gi i ph HD: i u ki n: sin2x ¹ PT Û cos2 x - cos2 x - = Û x = ± Baøi 19 ( H 2004B) Gi i ph p + kp ng trình: 5sin x - = 3(1 - sin x ) tan x é p x = + k 2p ê HD: i u ki n: cos x ¹ PT Û sin x + 3sin x - = Û ê p êx = + k 2p ë Baøi 20 ( H 2004D) Gi i ph ng trình: (2 cos x - 1)(2 sin x + cos x ) = sin x - sin x é p ê x = ± + k 2p HD: PT Û (2 cos x - 1)(sin x + cos x ) = Û ê ê x = - p + kp ë Baøi 21 ( H 2004A–db1) Gi i ph ng trình: ( sin3 x + cos3 x ) = cos x + 3sin x HD: Baøi 22 ( H 2004A–db2) Gi i ph ng trình: - sin x + - cos x = HD: Baøi 23 ( H 2004B–db1) Gi i ph HD: Baøi 24 ( H 2004B–db2) Gi i ph HD: Baøi 25 ( H 2004D–db1) Gi i ph HD: Baøi 26 ( H 2004D–db2) Gi i ph ỉ pư 1 ng trình: 2 cos ç x + ÷ + = è ø sin x cos x ng trình: sin x.sin x = cos3 x.cos x ng trình: sin x.cos x + sin x.cos x = sin x.cos x ng trình: sin x + sin x = 3(cos x + cos2 x ) HD: ng trình: cos2 x.cos x - cos2 x = p PT Û cos2 x + cos x - = Û x = k H 2005B) Gi i ph ng trình: + sin x + cos x + sin x + cos x = é p ê x = - + kp PT Û (sin x + cos x )(2 cos x + 1) = Û ê ê x = ± 2p + k 2p ë ỉ pư ỉ pư H 2005D) Gi i ph ng trình: cos4 x + sin x + cos ỗ x - ữ sin ỗ x - ữ - = è 4ø è 4ø p PT Û sin 2 x + sin x - = Û x = + kp H 2005A–db1) Tìm nghi m kho ng (0; p ) c a ph ng trình: ỉ x 3p sin - cos x = + cos2 ỗ x ữ ố ứ Baứi 27 ( H 2005A) Gi i ph HD: Baøi 28 ( HD: Baøi 29 ( HD: Baøi 30 ( Trang WWW.MATHVN.COM DeThiMau.vn www.MATHVN.com Tr n S Tùng ỉ pư 5p 17p 5p HD: PT cos ỗ x + ÷ = cos(p - x ) Û x = ;x= ;x= è 6ø 18 18 ỉ pư Bài 31 ( H 2005A–db2) Gi i ph ng trình: 2 cos3 ỗ x - ữ - cos x - sin x = è 4ø HD: PT Û cos3 x + sin3 x + cos2 x.sin x + cos x.sin x - cos x - sin x = Xét tr ng h p: ìcos x = p a) N u cos x = PT Û í Û x = + kp ỵsin x - sin x = b) N u cos x ¹ ta chia v c a PT cho cos3 x p ìcos x ¹ Khi đó: PT Û í Û x = + kp ỵtan x = p p V y: PT có nghi m: x = + kp ho c x = + kp ng trình : sin x.cos2 x + cos2 x ( tan x - 1) + sin3 x = é p x = + k 2p ê HD: i u ki n: cos x ¹ PT Û sin x + sin x - = Û ê ê x = p + k 2p ë ỉp cos2 x - Bài 33 ( H 2005Bdb2) Gi i ph ng trỡnh : tan ỗ + x ÷ - tan2 x = è2 ø cos2 x Baøi 32 ( H 2005B–db1) Gi i ph HD: Baøi 34 ( HD: Baøi 35 ( HD: p + kp ỉ 3p sin x H 2005Ddb1) Gi i ph ng trỡnh: tan ỗ - xữ+ =2 è ø + cos x é p ê x = + k 2p i u ki n: sin x ¹ PT Û sin x = Û ê ê x = 5p + k 2p ë H 2005D–db2) Gi i ph ng trình: sin x + cos x + 3sin x - cos x - = é p ê x = + k 2p é ê êsin x = ê x = 5p + k 2p PT Û (2 sin x - 1)(sin x - cos x - 1) = Û ê Û ê êsin æ x - p = p ỗ ữ 4ứ x = + k 2p ëê è ê ë x = p + k 2p i u ki n: cos x ¹ PT Û tan3 x = -1 Û x = - Baøi 36 ( H 2006A) Gi i ph ng trình: ( cos6 x + sin x ) - sin x.cos x - sin x =0 p PT Û 3sin 2 x + sin x - = Û x = + kp 5p i chi u u ki n, k t lu n PT có nghi m: x = + 2mp ỉ xư Bài 37 ( H 2006B) Gi i ph ng trỡnh: cot x + sin x ỗ + tan x.tan ÷ = è 2ø HD: i u ki n: sin x ¹ Trang WWW.MATHVN.COM DeThiMau.vn Tr n S Tùng WWW.MATHVN.COM x ¹ é p x = + kp ê cos x sin x 12 PT Û + = Û sin x = Û ê p sin x cos x êx = + kp ë 12 Baøi 38 ( H 2006D) Gi i ph ng trình: cos3 x + cos x - cos x - = é x = kp HD: PT Û sin x (2 cos x + 1) = Û ê 2p + k 2p êx = ± ë HD: i u ki n: sin x ¹ 0, cos x ¹ 0, cos Bài 39 ( H 2006A–db1) Gi i ph HD: PT Û cos x = i u ki n: 2+3 æ pử sin ỗ x - ữ + sin x + = è 6ø é x = kp cos x + sin x + ) = Û ê 7p + k 2p êx = ë ng trình: ( sin2 x - 1) tan2 x + ( cos2 x - 1) = p p cos x ¹ PT Û cos2 x ( tan 2 x - ) = Û x = ± + k Baøi 41 ( H 2006B–db1) Gi i ph HD: cos3 x.cos3 x - sin x.sin3 x = p p Û x =± +k 16 Baøi 40 ( H 2006A–db2) Gi i ph HD: PT Û sin x ( ng trình: Bài 42 ( H 2006B–db2) Gi i ph ng trình: ng trình: cos x + (1 + cos x )(sin x - cos x ) = é p ê x = + kp ê p HD: PT Û (sin x - cos x )(cos x - sin x + 1) = Û ê x = + k 2p ê êë x = p + k 2p cos3 x + sin3 x + sin x = é p ê x = - + kp HD: PT Û (cos x + sin x )(1 - cos x )(sin x + 1) = Û êê x = k 2p p ê x = - + k 2p êë Baøi 43 ( H 2006D–db1) Gi i ph ng trình: sin3 x + sin x + 3sin x + cos x = é p x = - + k 2p ê HD: PT Û (sin x + 1)(-2 cos2 x + cos x + 2) = Û ê ê x = ± p + k 2p ë Baøi 44 ( H 2006D–db2) Gi i ph Baøi 45 ( H 2007A) Gi i ph ng trình: ng trình: (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = + sin x é p ê x = - + kp ê p HD: PT Û (sin x + cos x )(1 - sin x )(1 - cos x ) = Û ê x = + k 2p ê êë x = k 2p Trang WWW.MATHVN.COM DeThiMau.vn www.MATHVN.com Tr n S Tùng sin 2 x + sin x - = sin x é p p êx = + k ê p 2p HD: PT Û cos x ( sin x - 1) = ) Û ê x = + k ê 18 ê 5p 2p êë x = 18 + k Baøi 46 ( H 2007B) Gi i ph ng trình: Bài 47 ( HD: Bài 48 ( HD: Bài 49 ( ỉ x xư H 2007D) Gi i ph ng trỡnh: ỗ sin + cos ữ + cos x = è 2ø é p x = + k 2p ê ỉ p PT Û + sin x + cos x = cos ỗ x - ữ = Û ê è 6ø ê x = - p + k 2p ë 1 H 2007A–db1) Gi i ph ng trình: sin x + sin x = cot x sin x sin x p p i u ki n sin x ¹ PT Û cos2 x ( cos2 x + cos x + 1) = Û x = + k H 2007A–db2) Gi i ph ng trình: cos2 x + sin x cos x + = 3(sin x + cos x ) ỉ ỉ pư pư 2p HD: PT cos2 ỗ x - ữ - cos ỗ x - ữ = x = + kp è 6ø è 6ø ỉ 5x p ỉx pư 3x Bài 50 ( H 2007Bdb1) Gi i ph ng trỡnh: sin ỗ - ữ - cos ỗ - ữ = cos è 4ø è2 4ø HD: Baøi 51 ( HD: Baøi 52 ( é p 2p êx = + k ê ỉ 3x ỉ pư p PT cos ỗ cos ỗ x + ữ + ÷ = Û ê x = + k 2p è 4ø ê è ø êë x = p + k 2p sin x cos2 x H 2007B–db2) Gi i ph ng trình: + = tan x - cot x cos x sin x p i u ki n: sin x ¹ PT Û cos x = - cos x Û x = ± + k2p ỉ p H 2007D–db1) Gi i ph ng trình: 2 sin ỗ x - ữ cos x = 12 ø è ỉ p p 5p p p HD: PT sin ỗ x - ữ = cos = sin Û x = + kp hay x = + kp 12 ø 12 12 è Bài 53 ( H 2007D–db2) Gi i ph ng trình: (1 – tan x )(1 + sin x) = + tan x é p i u ki n: cos x ¹ PT Û (cos x + sin x )(cos x - 1) = Û ê x = - + kp ê x = kp ë ỉ 7p 1 Bài 54 ( H 2008A) Gi i ph ng trình: + = sin ỗ - xữ sin x ố ứ ổ 3p sin ỗ x ữ ố ø HD: Trang WWW.MATHVN.COM DeThiMau.vn Tr n S Tùng HD: WWW.MATHVN.COM ỉ 3p i u ki n: sin x 0, sin ỗ x ữạ0 ố ứ é p ê x = - + kp ê æ ö p PT Û (sin x + cos x ) ỗ + 2 ữ = ê x = - + kp è sin x cos x ø ê ê 5p êë x = + kp sin3 x - cos3 x = sin x cos2 x - sin x cos x p p p HD: PT cos2 x ( sin x + cos x ) = Û x = + k ; x = - + kp Baøi 56 ( H 2008D) Gi i ph ng trình: sin x (1 + cos x ) + sin x = + cos x Baøi 55 ( H 2008B) Gi i ph ng trình: 2p p + k 2p ; x = + kp Baøi 57 ( H 2008A–db1) Tìm nghi m kho ng (0; p ) c a ph ng trình: ỉ x 3p sin - cos x = + cos2 ỗ x ữ ố ứ ổ pö HD: PT Û -2 cos x = cos x - sin x cos ỗ x + ÷ = cos (p - x ) 6ø è HD: PT Û (2 cos x + 1)(sin x - 1) = Û x = ± 5p 2p 7p +k hay x = + h2p 18 5p 17p 5p Do x Ỵ (0;p ) nên ch ch n x = ; x= ; x= 18 18 ỉ pư Bài 58 ( H 2008A–db2) Gi i ph ng trỡnh: 2 cos3 ỗ x - ÷ - cos x - sin x = è 4ø Û x= HD: PT Û cos3 x + sin3 x + cos2 x.sin x + cos x.sin x - cos x - sin x = Xét tr ng h p: ìcos x = p a) N u cos x = PT Û í Û x = + kp ỵsin x - sin x = b) N u cos x ¹ ta chia v c a PT cho cos3 x p ìcos x ¹ Khi đó: PT Û í Û x = + kp ỵtan x = V y: PT có nghi m: x = p p + kp ho c x = + kp ng trình: sin x cos2 x + cos2 x ( tan x - 1) + sin3 x = p HD: i u ki n: cos x ¹ Û x ¹ + kp p 5p PT Û sin x + sin x - = Û x = + k 2p ; x = + k 2p 6 ỉp cos2 x - Bài 60 ( H 2008Bdb2) Gi i ph ng trỡnh: tan ỗ + x ÷ - tan2 x = è2 ø cos2 x Baøi 59 ( H 2008B–db1) Gi i ph HD: i u ki n: cos x ¹ PT Û tan3 x = -1 Û x = - p + kp Trang WWW.MATHVN.COM DeThiMau.vn www.MATHVN.com Tr n S Tùng ỉ 3p sin x tan ç - x÷+ = è ø + cos x é p ê x = + k 2p i u ki n: sin x ¹ PT Û (cos x + 1)(2 sin x - 1) = Û ê ê x = 5p + k 2p ë H 2008D–db2) Gi i ph ng trình: sin x + cos x + 3sin x - cos x - = é êsin x = PT Û (2 sin x - 1)(sin x - cos x - 1) = Û ê êsin ỉ x - p = ÷ ờở ỗố 4ứ p 5p p x = + k 2p ; x = + k 2p ; x = + k 2p ; x = p + k 2p 6 (1 - sin x ) cos x H 2009A) Gi i ph ng trình: = (1 + sin x )(1 - sin x ) Baøi 61 ( H 2008D–db1) Gi i ph HD: Baøi 62 ( HD: Baøi 63 ( HD: ng trình: i u ki n: sin x ¹ 1, sin x ¹ - ỉ ỉ pư pö PT Û cos x - sin x = sin x + cos x Û cos ç x + ÷ = cos ç x - ÷ è 3ø è 6ø p 2p Û x =- +k 18 sin x + cos x.sin x + cos3 x = ( cos x + sin3 x ) é p ê x = - + k 2p ỉ pư HD: PT Û sin x + cos3 x = cos x cos ỗ x - ữ = cos x Û ê è 6ø ê x = p + k 2p ë 42 Baøi 64 ( H 2009B) Gi i ph ng trình: cos x - sin x cos x - sin x = é p p ê x = 18 + k ỉp HD: PT Û cos x - sin x = sin x sin ỗ - x ÷ = sin x Û ê 2 è3 ø êx = - p + k p ë ỉ pư (1 + sin x + cos2 x )sin ỗ x + ữ ố ứ = cos x Baøi 66 ( H 2010A) Gi i ph ng trình: + tan x HD: i u ki n: cos x ¹ 0; + tan x ¹ Baøi 65 ( H 2009D) Gi i ph ng trình: p 7p + k 2p ; x = + k 2p 6 H 2010B) Gi i ph ng trình: (sin x + cos x ) cos x + cos x - sin x = p p PT Û (sin x + cos x + 2) cos x = Û x = + k H 2010D) Gi i ph ng trình: sin x - cos x + 3sin x - cos x - = p 5p PT Û (2 sin x - 1)(cos x + sin x + 2) = Û x = + k 2p ; x = + k 2p 6 PT Û sin x + cos x = Û x = Baøi 67 ( HD: Baøi 68 ( HD: Trang WWW.MATHVN.COM DeThiMau.vn ... ng trình: 2 cos ỗ x + ữ + = ố ø sin x cos x ng trình: sin x.sin x = cos3 x.cos x ng trình: sin x.cos x + sin x.cos x = sin x.cos x ng trình: sin x + sin x = 3(cos x + cos2 x ) HD: ng trình: ... = p p Û x =± +k 16 Baøi 40 ( H 2006A–db2) Gi i ph HD: PT Û sin x ( ng trình: Bài 42 ( H 2006B–db2) Gi i ph ng trình: ng trình: cos x + (1 + cos x )(sin x - cos x ) = é p ê x = + kp ê p HD: PT... 2008D) Gi i ph ng trình: sin x (1 + cos x ) + sin x = + cos x Baøi 55 ( H 2008B) Gi i ph ng trình: 2p p + k 2p ; x = + kp Baøi 57 ( H 2008A–db1) Tìm nghi m kho ng (0; p ) c a ph ng trình: ỉ x 3p