Các phương pháp chứng minh hình học54609

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC I.Phương pháp tìm giao tuyến hai mặt phẳng: ♦Phương pháp 1: Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng Ví dụ: Cho hình chóp SABCD.Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Giải: Trong mặt phẳng (ABCD): AC cắt BD O Ta có O  AC, AC  (SAC) O BD, BD  (SBD) Nên O điểm chung hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Mà S điểm chung hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Vậy SO giao tuyến (SAC) (SBD) ♦Phương pháp2: Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng đó(hoặc trùng với hai đường thẳng đó) a // b   a  (P)    c // a // b b  (Q)  (P)  (Q)  c  DeThiMau.vn Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành,M thuộc SA Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (MCD) (SAB) Giải: Ta có AB // CD Hai mặt phẳng (SAB) (MCD) chứa hai đường thẳng AB//CD giao tuyến chúng đường thẳng qua điểm M song song với AB cắt SB N Vậy MN giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (MCD) ♦Phương pháp3: Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a Q a b P (P) // a   a  (Q)   b // a (P)  (Q)  b  Ví dụ: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang ABCD (AB//CD), M thuộc cạnh AD Mặt phẳng (P) qua M song song với SA AB Xác đinh giao tuyến mặt phẳng (P) với (SBC) DeThiMau.vn Giải:Gọi N:P;Q trung điểm mặt phẳng (P) với SD; SC BC Ta có (P) // SA   SA  (SAD)   MN // SA (P)  (SAD)  MN  (P) // AB   AB  (ABCD)   MQ // AB (P)  (ABCD)  MQ  Hai mặt phẳng (P) (SCD) chứa NP // DC, nên giao tuyến chúng NP song song với CD Ta có điểm P (P) P  (SBC) Q (P) Q  (SBC) Vậy PQ giao tuyến mặt phẳng (P) mặt phẳng (SBC) ♦Phương pháp 4: Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) (Q) theo hai giao tuyến a b a//b (P) //(Q)   (R)  (P)  a   a // b (R)  (Q)  b  (P) //(Q)   (R)  (P)  a   a // b (R)  (Q)  b  DeThiMau.vn II.Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song: ♦Phương pháp 1: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng đó(hoặc trùng với hai đường thẳng đó) a // b   a  (P)    c // a // b b  (Q)  (P)  (Q)  c  ♦Phương pháp2: Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a (P) // a   a  (Q)   b // a (P)  (Q)  b  Q a b P ♦Phương pháp 3: DeThiMau.vn Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) (Q) theo hai giao tuyến a b a//b (P) //(Q)   (R)  (P)  a   a // b (R)  (Q)  b  ♦Phương pháp 5: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng song song với đường thẳng giao tuyến chúng(nếu có) song song với đường thẳng (P) // a   (Q) // a   b // a (P)  (Q)  b  DeThiMau.vn III.Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng: ♦Phương pháp1: Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng khơng nằm mặt phẳng song song với đường thẳng nằm mặt phẳng a // b   b  (P)   a //(P) a  (P)  Ví dụ: Cho tứ diện ABCD.Gọi M,N trung điểm AB, AD Chứng minh MN song song với mặt phẳng (BCD) Giải: Trong tam giác ABD có: M trung điểm AB N trung điểm AD Nên MN đường trung bình tam giác ABD Do MN // BD Mà BD  (BCD) MN  (BCD) Vậy MN // (BCD) DeThiMau.vn ♦Phương pháp2: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) ta chứng minh đường thẳng a nằm mặt phẳng (Q) mà (Q) // (P) Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ M; N tuỳ ý mặt phẳng (ABCD) Chứng minh MN // mặt phẳng (A’B’C’D’) (ABCD) //(A 'B'C 'D ')   MN  (ABCD)   MN //(A 'B'C 'D ') ♦Phương pháp 3: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a mặt phẳng (P) khơng có điểm chung vng góc với đường thẳng b DeThiMau.vn ♦Phương pháp 4: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a mặt phẳng (P) khơng có điểm chung vng góc với mặt phẳng (Q) ♦Phương pháp 5: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P)(a (P) khơng có điểm chung) DeThiMau.vn IV.Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: ♦Phương pháp 1: Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với mặt phẳng Nếu a // (Q) b// (Q) a,b  (P) a cắt b Thì (P) // (Q) Ví dụ: Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD,AC cắt BD O.Gọi M,N trung điểm SC,CD.Chứng minh (MNO) // (SAD) Chứng minh: Ta có MN đường trung bình tam giác SCD Nên MN // SD Mà SD  (SAD) Và MN  (SAD) Vậy MN // (SAD) DeThiMau.vn Ta có OM đường trung bình tam giác SAC Nên OM // SA Mà SA  (SAD) Và OM  (SAD) Vậy OM // (SAD) Ta có MN //(SAD)   OM //(SAD)   nên (MNO) // (SAD) MN,OM  (OMN)   MN  OM  M ♦Phương pháp 2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) khơng có điểm chung vng góc đường thẳng a chúng song song với ♦Phương pháp 3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) khơng có điểm chung vng góc mặt phẳng(R) chúng song song với DeThiMau.vn ♦Phương pháp 4: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) khơng có điểm chung song song mặt phẳng(R) chúng song song với P Q R DeThiMau.vn V Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc: ♦Phương pháp 1: Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với ta chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng d  (P)  d a a  (P)  ♦Phương pháp 2: Sử dụng định lý:Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P), mà đường thẳng d vng góc mặt phẳng (P), d vng góc với đường thẳng a DeThiMau.vn VI Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng: ♦Phương pháp 1: Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P),ta chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a b cắt nằm mặt phẳng (P) da   db    d  (P) a, b  (P)  a  b  I  ♦Phương pháp 2: Sử dụng tính chất:d //  ,mà   (P) d  (P) ♦Phương pháp 3: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng (P),(Q) vng góc với cắt theo giao tuyến x, đường thẳng nằm mặt phẳng (P) mà vng góc với giao tuyến x vng góc với mặt phẳng (Q) DeThiMau.vn ♦Phương pháp 4: Sử dụng tính chất:Nếu hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba (P)  (R)   (Q)  (R)   a  (R) (P)  (Q)  a  DeThiMau.vn ♦Phương pháp 5: Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau, đường thẳng a vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (P) //(Q)    a  (Q) a  (P)  ♦Phương pháp 6: Sử dụng tính chất:Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b,mà đường thẳng a vng góc mặt phẳng (P) đường thẳng b vng góc với mặt phẳng (P)    b  (P) a  (P)  a // b DeThiMau.vn VII Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vng góc: ♦Phương pháp 1: Muốn chứng minh hai mặt phẳng vng góc với ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc mặt phẳng a  (P)    (P)  (Q) a  (Q)  ♦Phương pháp 2: Sử dung tính chất: (P) //(Q)    (R)  (Q) (R)  (P)  DeThiMau.vn ♦Phương pháp 3: Sử dụng tính chất: (P)  d , (Q) // d chứa d (P)  (Q) VIII Góc: Cách xác định góc  Góc đường thẳng d mặt phẳng (P): o Tìm hình chiếu d/ d lên mặt phẳng (P) o Khi góc d (P) góc d d/ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng, SA vng góc với (ABCD) góc SC với (ABCD) 450 Hãy xác định góc S Giải Ta có : A D B O AC  hc( ABCD ) SC ฀  45o  (฀ SC ,( ABCD ))  (฀ SC , AC )  SCA 45 C DeThiMau.vn  Góc hai mặt phẳng (P) (Q) : o Xác định giao tuyến d (P) (Q) o Tìm (P) đường thẳng a đường thẳng b  (d)  (d) , mặt phẳng (Q) o Khi góc (P) (Q) góc hai đường thẳng a b Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ABCD hình vng, góc mặt bên với mặt đáy 600 Hãy xác định góc S A B 60 M O C Giải Gọi M trung điểm BC Ta có : (SBC)  (ABCD) = BC (ABCD)  AM  BC (SBC)  SM  BC ( AM  hc( ABCD SM ) )  ฀ ฀  60 (( SBC ), ( ABCD))  (฀ SM , AM )  SMA o DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... DeThiMau.vn ? ?Phương pháp 4: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh đường thẳng a mặt phẳng (P) khơng có điểm chung vng góc với mặt phẳng (Q) ? ?Phương pháp 5: Muốn chứng minh. .. đường thẳng a DeThiMau.vn VI Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng: ? ?Phương pháp 1: Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P),ta chứng minh đường thẳng d vng góc với...  (P) a  (P)  a // b DeThiMau.vn VII Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: ? ?Phương pháp 1: Muốn chứng minh hai mặt phẳng vng góc với ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc