Chuyên đề: Chứng minh điểm thẳng hàng Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG A.Đôi lời: Việc chứng minh ba điểm thẳng hàng em học sinh lớp tương đối khó khăn lí : Ở lớp năm em học có vỏn vẹn 29 tiết, lớp chương I em 16 tiết , kiến thức trang bị cho em tương đối ít, tập sách giáo khoa đưa đa số toán có hình vẽ sẵn , điều thầy cô giáo dạy không muốn khai thác thêm tốn để phát huy óc sáng tạo em, vơ tình bỏ qn em học sinh giỏi , , đối tượng mà thường đợt thi học sinh giỏi mang lại cho nhà trường vị trí cao mang lại cho thầy giáo niềm vui q trình giảng dạy Khi dạy chương II hình 7, nhiều muốn dạy toán nâng cao , nhiều để giảm bớt khó khăn thầy giáo thường đưa thêm định lý như: Đường trung bình tam giác,tính chất đường trung tuyến tam giác vuông, Cách giải người ta thường nói ví von : “ Giết gà dao mổ trâu”, vơ tình lại khơng phát huy trí lực em Trong phần : “ Chuyên đề : Chứng minh ba điểm thẳng hàng ” dành cho em học sinh lớp học chương Do toán chuyên đề giải kiến thức mà em có , cách giải không hay vừa sức với em B Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho HSG lớp 7: D Phương pháp 1: ( Hình 1) 1800 ba điểm A; B; C thẳng hàng Nếu ABD DBC Phương pháp 2: ( Hình 2) C B A Nếu AB // a AC // a ba điểm A; B; C thẳng hàng hình 1 a (Cơ sở phương pháp là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7) Phương pháp 3: ( Hình 3) C Nếu AB a ; AC A ba điểm A; B; C thẳng hàng B A hình 2 ( Cơ sở phương pháp là: Có đường thẳng A a’ qua điểm O vng góc với đường thẳng a cho trước B - tiết hình học 7) C Hoặc A; B; C thuộc đường trung trực a đoạn thẳng (tiết 3- hình 7) hình 3 x Phương pháp 4: ( Hình 4) Nếu tia OA tia OB hai tia phân giác góc xOy B ba điểm O; A; B thẳng hàng A O Cơ sở phương pháp là: hình 4 y Mỗi góc có tia phân giác xOB * Hoặc : Hai tia OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , xOA Biên soạn:Phạm Hưng Tài Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Chứng minh điểm thẳng hàng ba điểm O, A, B thẳng hàng Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD AC Nếu K’ Là trung điểm BD K’ K A, K, C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: Mỗi đoạn thẳng có trung điểm) C Các ví dụ minh họa cho phương pháp: Phương pháp Ví dụ Cho tam giác ABC vng A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh BMC CMD 1800 Do AMB BMC 1800 nên cần chứng minh AMB DMC BÀI GIẢI: AMB CMD có: B AB = DC (gt) = BAM DCM 900 C A M MA = MC (M trung điểm AC) = Do đó: AMB = CMD (c.g.c) Suy ra: AMB DMC hình D Mà AMB BMC 1800 (kề bù) nên BMC CMD 1800 Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối AB lấy điểm D mà AD = AB, tia đối tia AC lấy điểm E mà AE = AC Gọi M; N điểm BC ED cho CM = EN N // E D Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng CAN 1800 từ suy ba điểm M; A; N thẳng hàng Gợi ý: Chứng minh CAM A BÀI GIẢI (Sơ lược) E ABC = ADE (c.g.c) C // C B M hình ACM = AEN (c.g.c) MAC NAE 0 Mà EAN CAN 180 (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên CAM CAN 180 Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm) BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC, tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M, N trung điểm BE CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A có ABC 600 Vẽ tia Cx BC (tia Cx điểm A phía phía bờ BC), tia Cx lấy điểm E cho CE = CA Trên tia đối tia BC lấy điểm F cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, điểm D thuộc cạnh AB Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = BD Kẻ DH EK vng góc với BC (H K thuộc đường thẳng BC) Gọi M trung điểm HK / Biên soạn:Phạm Hưng Tài / Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Chứng minh điểm thẳng hàng Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng Bài 4: Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB, kẻ Hai tia Ax By cho B Ax ABy Trên Ax lấy hai điểm C E(E nằm A C), By lấy hai điểm D F ( F nằm B D) cho AC = BD, AE = BF Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng Bài 5.Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M cạnh BC, vẽ đường thẳng song song AB AC, đường thẳng cắt xy theo thứ tự D E Chứng minh đường thẳng AM, BD, CE qua điểm PHƯƠNG PHÁP Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên Các đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung điểm BD N trung điểm EC Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp A E D Ta chứng minh AD // BC AE // BC / = BÀI GIẢI BMC DMA có: N M MC = MA (do M trung điểm AC) = / BMC DMA (hai góc đối đỉnh) C B MB = MD (do M trung điểm BD) Hình Vậy: BMC = DMA (c.g.c) Suy ra: ACB DAC , hai góc vị trí so le nên BC // AD (1) Chứng minh tương tự : BC // AE (2) Điểm A ngồi BC có đường thẳng song song BC nên từ (1) (2) theo Tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm E, A, D thẳng hàng Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD CN // BD từ suy M, C, N thẳng hàng A BÀI GIẢI x AOD COD có: = * X OA = OC (vì O trung điểm AC) O B D / / AOD COB (hai góc đối đỉnh) = * OD = OB (vì O trung điểm BD) X Vậy AOD = COB (c.g.c) M C N Suy ra: DAO OCB Do đó: AD // BC Nên DAB CBM (ở vị trí đồng vị) hình DAB CBM có : AD = BC ( AOD = COB), DAB CBM , AB = BM ( B trung điểm AM) Vậy DAB = CBM (c.g.c) Suy ABD BMC Do BD // CM (1) Biên soạn:Phạm Hưng Tài Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Chứng minh điểm thẳng hàng Lập luận tương tự ta BD // CN (2) Từ (1) (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP Baì Cho tam giác ABC Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB cung trịn tâm B bán kính AC Đường trịn tâm A bán kính BC cắt cung tròn tâm C tâm B E F ( E F nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng PHƯƠNG PHÁP Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AM BC b) Vẽ hai đườn tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai A điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Gợi ý: Xử dụng phương pháp giải - Chứng minh AM , PM, QM vng góc BC = = - AP, AQ tia phân giác góc BAC BÀI GIẢI P Cách Sử dụng phương pháp / / C B M a) Chứng minh AM BC ΔABM ΔACM có: Q AB =AC (gt) Hình AM chung MB = MC (M trung điểm BC) Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c) Suy ra: AMB AMC (hai góc tương ứng) Mà AMB AMC 1800 (hai góc kề bù) nên AMB AMC 900 Do đó: AM BC (đpcm) b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c) Suy ra: PMB (hai góc tương ứng), mà PMB = 900 PMC PMC 1800 nên PMB PMC Do đó: PM BC Lập luận tương tự QM BC Từ điểm M BC có AM BC,PM BC, QM BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) Cách Sử dụng phương pháp Chứng minh : Vậy AP tia phân giác BAC CAP ΔBPA = ΔCPA BAP (1) ΔABQ = ΔACQ BAQ CAQ Vậy AQ tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A; P; Q thẳng hàng Biên soạn:Phạm Hưng Tài Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Chứng minh điểm thẳng hàng PHƯƠNG PHÁP Ví dụ:Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh OD OA tia phân giác góc xOy BÀI GIẢI: ΔBOD ΔCOD có: OB = OC (gt) x OD chung BD = CD (D giao điểm hai đường trịn tâm B tâm C B bán kính) = = / Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c) A D O / = Suy : BOD COD = Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm hai tia Ox Oy C y Do OD tia phân giác xOy Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác xOy Hình 10 Góc xOy có tia phân giác nên hai tia OD OA trùng Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Kẻ BM AC, CN AB ( M AC , N AB ), H giao điểm BM CN a) Chứng minh AM = AN b) Gọi K trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC Bx Cy cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng PHƯƠNG PHÁP Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN A Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng Gợi ý: Xử dụng phương pháp M Cách 1: Kẻ ME BC ; NF BC ( E ; F BC) = BME CNF vuông E F có: K' C BM = CN (gt), MBE NCF ( ACB ) B E K = Do đó: BME = CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) hình 11 Suy ra: ME = NF ’ Gọi K giao điểm BC MN Biên soạn:Phạm Hưng Tài F N Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Chứng minh điểm thẳng hàng ' ' FNK MEK’ NFK’ vng E F có: ME = NF (cmt), EMK ( so le ’ ’ ME // FN) Vậy MEK = NFK (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’ A Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K K’ Do ba điểm B,K,C thẳng hàng (hai góc đồng vị) Cách Kẻ ME // AC (E BC) ACB MEB Mà ACB ABC nên MBE MEB Vậy ΔMBE cân M M Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta ME = CN = K' C Gọi K’ giao điểm BC MN B E K ΔMEK’ ΔNCK’ có: = Hình 12 ' ME K ' NC (so le ME //AC) K N ME = CN (chứng minh trên) ' ' MEK NCK (so le ME //AC) Do : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) MK’ = NK’ Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K K’ Do ba điểm B,K,C thẳng hàng Lưu ý: Cả hai cách giải đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vô tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý khơng biết sai 1080 , Gọi O điểm nằm tia phân giác Ví dụ Cho tam giác ABC cân A , BAC góc C cho CBO 120 Vẽ tam giác BOM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh OCA từ suy tia CA tia CM trùng OCM BÀI GIẢI 1800 1080 Tam giác ABC cân A nên ABC ACB 360 (tính chất tam giác cân) Mà CO tia phân giác ACB , M nên ACO BCO 1500 180 Do BOC ΔBOM nên BOM 60 A = = Vậy : MOC 360 (1500 600 ) 1500 108 / ΔBOC ΔMOC có: // 12 OB = OM ( ΔBOM đều) B O / C Hình 13 BOC MOC 1500 OC chung Do : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c) Suy ra: OCB mà OCB (gt) nên OCA OCM OCA OCM Hai tia CA CM nằm nửa mặt phẳng bờ CO OCA OCM nên tia CA tia CM trùng Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng (đpcm) Lời kết : Trong chuyên đề mở rộng nhiều nữa.Mong đồng nghiệp khai thác thêm ứng dụng chuyên đề Biên soạn:Phạm Hưng Tài Trang ThuVienDeThi.com Chuyên đề: Chứng minh điểm thẳng hàng Biên soạn:Phạm Hưng Tài Trang ThuVienDeThi.com ...Chuyên đề: Chứng minh điểm thẳng hàng ba điểm O, A, B thẳng hàng Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD AC Nếu K’ Là trung điểm BD K’ K A, K, C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: Mỗi đoạn thẳng có... cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng PHƯƠNG PHÁP Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN A Chứng minh ba điểm B,... hai A điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Gợi ý: Xử dụng phương pháp giải - Chứng minh AM , PM, QM vng góc BC = = - AP, AQ tia phân giác góc BAC BÀI GIẢI P Cách Sử dụng phương pháp