Bài toán xác định thiết diện của hình chóp54404

BÀI TỐN XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHĨP §ång Thái Lâm www.mathvn.com Thiết diện hình chóp 1.1 ThiÕt diƯn qua ba ®iĨm cho tr­íc 1.1.1.Ba ®iĨm nằm ba cạnh không đồng phẳng hình chóp Cách giải: Xác định mặt phẳng chứa hai điểm cho trước Xác định giao điểm đường thẳng qua hai điểm với giai tuyến mặt phẳng chứa với mặt phẳng chứa điểm lại Nối đoạn thẳng với giao điểm điểm cho trước để xác định mặt phẳng cắt cạnh hình chóp * Chú ý xác định thiết diện cần dự đoán mặt phẳng cắt cạnh hình chóp để dễ xác định Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy hình bình hành, gọi M,N,P theo thứ tự trung điểm SA, BC, CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) Bài 2: Cho hình chóp tứ giác SABCD với AD không song song với CB Gọi M, N trung điểm SB SC Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (AMN) Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD ba điểm A; B; D nằm ba cạnh SA ; SB ; SD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (ABD) Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi H, K trung điểm cạnh AB, BC Trên đường thẳng CD lấy điểm M cho KM không song song với BD Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (HKM) Bài 5: Cho hình chóp SABCD SA, SB lấy hai ®iĨm M, N cho SM= 2MA , NB = 2SN trung điểm DC lấy điểm Q Xác định thiết diện tạo bời hình chóp mặt phẳng (MNQ) Bài 6: Cho hình chóp SABCD , M điểm BC, N điểm SD xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (BMN) Bài 7: Cho hình chóp SABCD AD không song song với BC Gọi trung điểm SC M , SB lấy điểm N cho 3SN = 2NB Xác định thiết diện với hình chóp SABC cắt mặt phẳng (DMN) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD M điểm cạnh SC, N P trung điểm AB AD Tìm thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) Bài 9: Cho tứ diện ABCD cạnh a Trên BC vµ BD kÐo dµi lÊy E vµ F cho CE=DF=a Gọi M trung điểm AB Tìm thiết diƯn cđa tø diƯn víi mp(MEF) vµ tÝnh tØ sè diện tích thiết diện với BCD Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD SD lấy điểm N xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (BCN) 1.1.2.Có hai điểm nằm hai cạnh điểm nằm mặt hình chóp Xác định giao tuyến mặt, xác định giao điểm đường nối hai điểm cạnh đà cho với giao tuyến Xác định giao điểm đường nối điểm với điểm thứ ba mặt đà cho với cạnh hình chóp Nếu hai điểm hai cạnh không thuộc mặt bên tìm giao với cạnh kéo dài xác định giao điểm thuộc mặt phẳng cắt Đặc biệt hai điểm nằm hai đường chéo cần xác định mặt phẳng chứa điểm cạnh điểm mặt đà cho Bµi 1: Cho tø diƯn ABCD gäi M lµ trung điểm AB, N điểm BC cho BN = 2NC, K trọng tâm tam giác ACD Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (MNK) www.MATHVN.com DeThiMau.vn www.mathvn.com Đồng Thái Lâm Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD có AB không song song với CD Trên SA lấy điểm M, SB lấy ®iĨm N cho MN//AB Gäi O lµ ®iĨm bÊt kỳ nằm tam giác SCD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNO) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Lấy M, N AC AD cho AM = 3MC, AN =2ND, O lµ ®iĨm n»m trªn ®­êng trung tun BB’ cđa BCD cho OB=2OB Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (MNO) với tứ diện Bài 4: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song Gọi M P trung điểm SA BC G trọng tâm tam giác SCD Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MPG) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD Trên AD SC lấy hai điểm E F cho AE = 3ED ; SF = 2SC Gäi K trọng tâm tam giác SAB Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (EFK) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD Trên đoạn thẳng AD SC lấy hai điểm E F Gọi K điểm nằm tam giác SAB thuộc mặt phẳng (SAB) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (EFK) Bài 7: Cho tø diƯn ABCD gäi M vµ N lµ hai điểm cạnh BC CD E điểm tam giác ABD xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (EMN) 1.1.3.Có điểm nằm cạnh hai điểm nằm hai mặt khác Tìm mặt phẳng chứa hai ba điểm đà cho sau tìm giao điểm đường thẳng nối hai điểm với mặt thích hợp hình chóp Xác định giao điểm cạnh hình chóp với mặt phẳng thiết diện Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F ,M trung điểm BD , CD BC Trên AE, AF lấy hai ®iĨm I , J cho AI = IE , AJ = 2JF Xác định thiết diện với tứ diện cắt mp(MIJ) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC gọi E,F trọng tâm tam giác SBC, SCD M trung điểm SA Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MEF) Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD , M lµ điểm cạnh AB, N P nằm tam giác BCD tam giác ACD Xác định thiết diện cắt tứ diện mặt phẳng MNP Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD M trung điểm SA, N P trọng tâm tam giác SBC tam giác ACD Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) 1.1.4.Ba điểm nằm ba mặt khác Xác định mặt phẳng chứa hai ba điểm giao tuyến với mặt không chứa điểm Xác định giao điểm đường thẳng nối hai điểm với giao tuyến xác định giao điểm đường thẳng nối giao điểm với cạnh hình chãp Bµi 1: Cho tø diƯn ABCD Gäi E, F, G trung điểm cạnh BD, BC, CD Trên AE, AF, AG lấy điểm M,N,P cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng (BCD) Xác định thiết diện với tứ diện cắt mặt phẳng (MNP) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD Trên mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (SCD) lấy điểm M, N, P nằm tam giác tạo ba đỉnh tương ứng mặt cho mặt phẳng (MNP) không song song với mặt phẳng đáy Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) Tuỳ theo vị trí điểm M,N,P biện luận nghiệm hình toán Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD Trên mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ABC) lấy điểm M,N,P nằm tam giác tạo ba đỉnh tương ứng Sao cho mặt phẳng (MNP) kh«ng song song víi bÊt kú www.MATHVN.com DeThiMau.vn www.mathvn.com Đồng Thái Lâm cạnh hình chóp Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) biện luận nghiệm hình toán Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD Trên mặt phẳng (SAB) ; (SBC) ; (ADC) lấy điểm M,N,P nằm tam giác tạo ba đỉnh tương ứng Sao cho mặt phẳng (MNP) không song song với cạnh hình chóp Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) biện luận nghiệm hình toán Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD mp(SAB), mp(SCD) lấy điểm M,N nằm tam giác tạo ba đỉnh tương ứng lấy điểm P nằm đoạn BC Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng (MNP) 1.1.5.Thiết diện có điểm nằm khối hình chóp Tìm cách chuyển điểm khối chóp mặt hình chóp cách xác định giao tuyến mặt phẳng chứa điểm nằm khối chóp điểm nằm mặt cạnh khối chóp Xác định giao ®iĨm cđa ®­êng th¼ng giao tun víi ®­êng th¼ng nèi hai điểm mặt phẳng thiết diện cho trước Chuyển xác định thiết diện có điểm cho trước nằm mặt hình chóp đà nêu Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD , tứ giác ABCD có AB không song song với CD Gọi G trọng tâm ABD, I trung điểm SG Xác định thiết diện với chóp cắt mặt phẳng (CDI) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi I = AC BD, O trung điểm SI, gọi M N trung điểm BC CD xác định thiết diện cắt hình chóp với mặt phẳng (MNO) Bài 3: Cho tứ diện ABCD gọi G trọng tâm tam giác BCD, I trung điểm AG, M N trung điểm BC BD Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (MNI) Bài 4: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G trọng tâm tam giác BCD, I điểm đoạn AG cho 2AI = IG, M N trung điểm CD AD Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (MNI) Bài 5: Cho Cho tứ diện ABCD gọi G trọng tâm tam giác BCD, I điểm đoạn AG cho AI = 2IG, M N điểm AB CD cho MB = 2AM, DN = 3NC X¸c định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (MNI) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ACD, I trung ®iĨm cđa SG Gäi M vµ N lµ trung ®iĨm AB BC Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNI) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ACD, I trung điểm SG Gọi M N trung điểm BC CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNI) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ACD, I trung điểm SG Gọi M N trung điểm AB CD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNI) Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ACD, I trung điểm SG Gọi M N trung điểm SA BC Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNI) Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ACD, I trung điểm SG Gọi M N trung điểm SA SC Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MNI) www.mathvn.com www.MATHVN.com DeThiMau.vn Đồng Thái Lâm 1.2.Thiết diện song song www.mathvn.com Để xác định thiết diện song song cần xác định mặt phẳng thiết diện song song với đường thẳng chứa cạnh hình chóp Vận dụng tính chất song song xác định đường thẳng tương ứng tìm giao điểm mặt phẳng thiết diện với hình chóp 1.2.1.Đi qua hai điểm song song với đường thẳng Xác định mặt phẳng chứa điểm đường cho trước, xác định đường thẳng ®i qua ®iĨm vµ song song víi ®­êng cho tr­íc qua xác định giao điểm với cạnh hình chóp 1.2.2.Đi qua điểm song song với mặt Dựng đường thẳng song song với giao tuyến mặt phẳng cho trước với mặt bên với điều kiện đường thẳng cần dựng phải qua điểm cho trước Xác định giao điểm với cạnh hình chóp với đường thẳng xác định 1.2.3.Đi qua điểm song song với cặp đường thẳng chéo Từ điểm đà cho dựng đường thẳng song song với hai đường thẳng chéo với điều kiện đường thẳng phải nằm mặt hình chóp để xác định giao điểm với cạnh Các tập minh hoạ cho thiết diện song song Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD M N hai điểm AB CD, mặt phẳng qua MN song song với SA Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD M N hai điểm SB CD, mặt phẳng qua MN song song với SC Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng () Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a, CD = b Đoạn IJ nối trung điểm I AB trung điểm J CD Giả sử AB  CD , mp() qua diĨm M trªn IJ song song với AB CD Xác định thiết diện ABCD với mặt phẳng () Thiết diện hình ? Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O M trung điểm SB Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng () hai trường hợp sau a) () qua M vµ song song víi SO vµ AD b) () qua O vµ song song víi AM SC Bài 5: Cho hình chóp SABC Gọi M,N trung điểm cạnh AB SC Trên đoạn BM lấy điểm H, mặt phẳng (P) qua H song song với CM BN cắt h×nh chãp theo mét thiÕt diƯn T×m thiÕt diƯn Bài 6: Cho hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi H giao điểm đường chéo đáy I điểm đoạn AH Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (P) qua I song song với đường thẳng SA BD cắt hình chóp Bài 7: Cho hình chóp SABC gọi M, N trung điểm SB SC; E điểm tuỳ ý AB Tìm thiết diện tạo mặt phẳng () qua E song song với đường AM BN cắt hình chóp Bài 8: Cho hình chóp SABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC, M trung điểm cạnh SB Trên đoạn thẳng SM lấy điểm E Mặt phẳng () qua E song song với đường thẳng AM, SG Tìm thiết diện tạo mp() cắt hình chóp Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi H giao điểm hai đường chéo đáy Tìm thiết diện tạo mp(P) qua H, song song với AB SC cắt hình chóp Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SBC, M điểm đoạn AC Mặt phẳng P qua M song song với đường thẳng AG BD cắt hình chóp theo thiết diện Tìm thiết diện Bài 11: Cho hình chóp SABC Gọi M, N trung điểm cạnh AB, SC Trên đoạn AM ta lấy điểm H Mặt phẳng (P) qua H song song với CM BN cắt hình chóp theo thiết diện HÃy tìm thiết diện Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD đáu ABCD hình bình hành Gọi H giao điểm đường chéo đáy Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua H song song với mặt phẳng (SAB) cắt hình chóp www.MATHVN.com DeThiMau.vn www.mathvn.com Đồng Thái Lâm Bài 13: Cho tứ diện ABCD gọi M, N trung điểm cạnh AB CD , E điểm chia BC theo tỉ số BE:EC = : Trên đoạn thẳng AM lấy điểm H Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua H song song với mặt phẳng (MNE) cắt tứ diện đà cho Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi M, N, E trung điểm cạnh AB, AD, SC Trên đoạn AM lấy điểm K Xác định thiết diện tạo mặt phẳng qua K song song với (MNE) cắt hìh chóp Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AD Trên đoạn AC lấy điểm K Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua K song song với mp(AMN) cắt hình chóp Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm SC, H giao điểm đường chéo đáy hình chóp Trên đoạn AH lấy điểm M Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua M song song với mp(BDE) cắt hình chóp Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Gọi C trung điểm SC , M điểm di dộng cạnh SA , () mặt phẳng qua CM song song với BC Xác định thiết diện mà () cắt hình chóp S.ABCD Khi thiết diện hình bình hành ? Bài 18: Cho tø diÖn ABCD gäi G1; G2 ; G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ADB Tìm thiét diện tứ diện với mặt phẳng G1G2G3 1.3.Thiết diện vuông góc 1.3.1.Thiết diện qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng Mặt phẳng xác định biết ba điểm không thẳng hàng vận dụng vấn đề mặt phẳng xác định biết hai đường thẳng cắt nhau, hai ®­êng th¼ng song song víi nhau, biÕt mét ®iĨm thc đường thẳng vuông góc với Do mặt phẳng xác định biết điểm thuộc đường vuông góc với cho ta xác định mặt phẳng qua điẻm vuông góc với đường thẳng phát biểu thành mệnh đề sau : Nếu n đường thẳng không gian qua điểm M vuông góc với đường thẳng cho trước chúng đồng phẳng Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d cho trước có hai trường hợp sảy : Trường hợp 1: Nếu có hai đường thẳng a b vuông góc với d a không song song với b ta có (P) // a (P) // b (Cã thĨ (P) chøa mét hc hai đường thẳng đó) Vận dụng phương pháp xác định thiết diện song song đà nêu trước để xác định thiết diện Trường hợp 2: Nếu hai đường thẳng vuông góc với d ta dựng hai đường thẳng cắt vuông góc với d cã Ýt nhÊt mét ®­êng ®i qua ®iĨm cho tr­íc Mặt phẳng xác định (P) sau vận dụng kiến thức đà nêu xác định thiết diện Chú ý : Đế xác định đường thẳng thứ hai trường hợp hai cần nắm trắc định lí ba đường vuông góc điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc Bµi 1: Cho tø diƯn ABCD cã AB  AD, AB  AC, AD  AC, gäi G lµ träng tâm tâm tam giác BCD Xác định thiết diện tứ diện cắt mp(P) qua G vuông góc với AD Bài 2: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác có SA (ABC) Gọi () mặt phẳng qua C vuông góc với SB Xác định thiết diện hình chóp với mp() Bài 3: Cho tø diƯn SABC cã tam gi¸c ABC nhän SA (ABC) Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng qua S vuông góc với BC www.MATHVN.com DeThiMau.vn www.mathvn.com Đồng Thái Lâm Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông SA (ABCD) Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SB Hỏi (P) cất hình chóp theo thiết diện hình ? Bài : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông SA (ABCD) Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SC Hỏi (P) cất hình chóp theo thiết diện hình ? Bài 6: Cho hình chãp S.ABCD ®Êy ABCD cã ACBD = O, SO  mp(ABCD), gọi I trung điểm SO Xác định thiết diệt hình chóp cắt mặt phẳng qua I vuông góc với SA Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang vuông A AB//DC Có SA mp(ABCD) Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng () qua A vuông góc với SC 1.3.2.Thiết diện qua hai điểm vuông góc với mặt phẳng Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối không song song Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua A,B vuông góc với mặt phẳng (SCD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối không song song Gọi E F trọng tâm hai tam giác SBC SAB Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua E, F vuông góc với mặt phẳng SCD Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối không song song Gọi E F trọng tâm hai tam giác SBC SAD Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua E, F vuông góc với mặt phẳng SCD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối không song song Gọi E F trọng tâm hai tam giác SAC SAB Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua E, F vuông góc với mặt phẳng SCD Bài Cho hình chóp S.ABCD đáy tứ giác có cặp cạnh đối không song song.Gọi M N trung điểm SA SC Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng chứa M,N vuông góc với mp(SBD) Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có SA mp(ABCD) gọi I điểm đoạn SA cho 2AI = IS J điểm đoạn DC cho DJ = JC Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt phẳng qua I,J vuông góc với mặt phẳng (SBD) www.mathvn.com www.MATHVN.com DeThiMau.vn ... song song với AB CD Xác định thiết diện ABCD với mặt phẳng () Thiết diện hình ? Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O M trung điểm SB Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt... 1.2 .Thiết diện song song www.mathvn.com Để xác định thiết diện song song cần xác định mặt phẳng thiết diện song song với đường thẳng chứa cạnh hình chóp Vận dụng tính chất song song xác định. .. BCD tam giác ACD Xác định thiết diện cắt tứ diện mặt phẳng MNP Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD M trung điểm SA, N P trọng tâm tam giác SBC tam giác ACD Xác định thiết diện với hình chóp cắt mặt