CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TRONG KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC A Bài tốn tính thể tích khối đa diện: Loại 1: Tính thể tích cách sử dụng trực tiếp cơng thức tốn + xác định chiều cao khối đa diện cần tính thể tích + tìm diện tích đáy cơng thức quen biết Loại 2: Tính thể tích cách sử dụng cơng thức tỉ số thể tích phân chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản + phân chia khối đa diện thành tổng hiệu khối ( hình chóp hình lăng trụ) mà khối dễ tính + Hoặc so sánh thể tích khối cần tính với khối đa diện khác biết trước thể tích Với loại ta hay sử dụng kết sau đây: Cho hình chóp S.ABC lấy A', B', C' tương ứng cạnh sau SA, SB, SC Khi đó: VS.A 'B'C' SA ' SB' SC ' VS.ABC SA SB SC Loại 3: Tính thể tích khối đa diện phép tính tọa độ khơng gian Các dạng tốn khác: Ngồi dạng thường gặp nêu trên, cịn có dạng tốn Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách Các tốn thể tích khối đa diện có kết hợp với việc tìm GTLN, NN Các tốn so sánh thể tích Một số tập: Câu Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính thể tích khối chóp A.BCMN Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 60°, SA vng góc với đáy, SA = a Gọi C’ trung điểm SC, mặt phẳng (P) qua AC’ song song với BD cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Câu Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 đáy tam giác Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy góc 30° tam giác A1BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ Câu Khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông cân, cạnh huyền AB = Mặt phẳng (AA1B) vng góc với mặt phẳng (ABC), AA1 = ; góc A1AB nhọn, góc tạo (A1AC) mặt phẳng (ABC) 60° Tính thể tích khối lăng trụ Câu Khối lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách đường thẳng AB A1D 2, độ dài đường chéo mặt bên a) Hạ AK A1D K Chứng minh AK = b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 B Bài tập Khối nón, khối trụ Cho hình lăng trụ lục giác ABCDEF.A'B'C'D'E'F' cạnh đáy a, chiều cao h Tính thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ Cho hình trục có trục O1O2 Một mặt phẳng song song với trục cắt hình trụ theo thiết diện dện hình chữ nhật ABCD Gọi O tâm thiết diện đó, bán kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bán kính đường trịn đáy hình trụ Tính số đo góc O1OO2 Một hình trụ có bán kính R chiều cao R A B hai điểm hai đường tròn đáy cho góc tạo AB trục hình trụ 30° a) Tính diện tích thiết diện qua A song song với trục hình trụ b) Tính góc hai bán kính qua A B c) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung AB trục hình trụ Cho hình trụ trịn xoay đáy đường trịn (O) (O') có bán kính đơn vị, chiều cao hình trụ đơn vị Gọi AB đường kính cố định (O) M điểm lưu động (O') Gọi MC đường sinh qua C, C đường tròn (O) Kẻ HC vng góc với AB đăth Ah = x Trang DeThiMau.vn a Chứng minh tổng số bình phương cạnh hình chóp MABC số b Tính MH theo x c Định vị trí M để diện tích S tam giác MAB đạt cực đại d Tính thể tích V hình chóp MABC Chứng minh V cực đại S cực đại e Định x để V = 4k (k số cho trước) C Bài toán khoảng cách Cách tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α): Bước 1: Chọn mp (P) qua M vuông góc với (α) Bước 2: Tìm giao tuyến d mp (α) mp (P) Bước 3: Dựng MH vuông góc với d H suy MH khoảng cách Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với đường thẳng khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Bằng khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Lưu ý: Để tính khoảng cách từ M đến mp (α) ta làm sau + Tìm đường thẳng a qua M mà a // mp (α) + Chọn điểm N a thích hợp M, tính khoảng cách từ N đến mp (α) + Khi khoảng cách từ N đến (α) khoảng cách từ M đến (α) Để tính khoảng cách từ M đến mp (α) ta làm sau + Tìm đường thẳng a qua M mà a cắt mp (α) I + Chọn điểm O a thích hợp với giả thiết tốn, tính khoảng cách từ O đến mp (α) + Khi tính tỷ số IO / IM = k, suy khoảng cách từ M đến (α) 1/k khoảng cách từ O đến (α) Cách tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp 1: (Nên dùng cho đường thẳng chéo mà vng góc với nhau) Dựng đoạn vng góc chung Phương pháp 2: Để tính khoảng cách hai đường thẳng a b chéo làm bước sau Bước 1: Tìm mp (α) chứa b song song với a Bước 2: Từ điểm M thích hợp a dựng đoạn MH vng góc với (α) Phương pháp 3: Để tính khoảng cách hai đường thẳng a b chéo làm bước sau Bước 1: Tìm mp (P) chứa a mp (Q) chứa b cho mp (P) // mp (Q) Bước 2: Từ điểm M thích hợp mp (P) hạ MN vng góc với mp (Q) Phương pháp 4: Để tính khoảng cách hai đường thẳng a b chéo làm bước sau Bước 1: Tìm mp (α) vng góc với a cắt a O Bước 2: Tìm hình chiếu b’ b lên mp (α); rõ ràng a // mp (b, b’) Hạ OH vng góc với b’ H OH với khoảng cách cần tìm Bài tập: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên a , đường cao SO Gọi M N trung điểm AB BC a Chứng minh (SBC) (SAN) tính độ dài SO b Tính khoảng cách từ O đến mp (SBC) c Tính khoảng cách đường thẳng AB SC d Tính khoảng cách từ M đến mp (SAN) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD; đáy ABCD hình thang vng A B, có AB = BC = a; AD = 2a; SA= a.E trung điểm đáy lớn AD; SA vuông góc với mặt đáy a Chứng minh BE SC (SAB) (SBC) b Tính khoảng cách cặp đường thẳng: BC SD, AC SD c Tính khoảng cách từ O đến mp (SCD) khoảng cách từ D đến mp (SCE) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD; đáy ABCD hình thoi cạnh a tâm O Mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Tam giác SAB cân S, H trung điểm AB SH = a, góc BAD = 60° a Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) b Tính khoảng cách từ H đến (SCD), khoảng cách từ O đến (SCD) Trang DeThiMau.vn c Tính khoảng cách BC SD Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang có đáy lớn AD = 2a, đáy bé BC = a, cạnh bên AB = a, góc BAD 120° Biết SA vng góc với mặt đáy SA a Gọi H K trung điểm AB AD a Chứng minh BK vng góc với SC, tính khoảng cách BK SC b Tính khoảng cách từ A đến mp (SCD) c Tính góc đường thẳng SC mp (SAB) d Tính góc AD SC Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O Cho SA vng góc với mặt đáy SA = a Gọi M hình chiếu vng góc A lên SB a Chứng minh CB (SAB) AM SC b Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng (SAC) c Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính góc hai đường thẳng AG BD D Bài tốn góc hai đường thẳng khơng gian Khi cần tính góc đường thẳng chéo a b khơng gian ta có cách sau: Cách 1: Dựng góc Tìm đường thẳng trung gian c song song với a c cắt b Khi góc tạo a b góc tạo b c Hoặc ta dựng liên tiếp đường thẳng c d cắt song song với a b Sau ta tính góc c d theo định lý hàm số côsin theo hệ thức lượng tam giác vuông Cách 2: Tính góc vectơ phương a b Bài tập Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O, SA vng góc với mặt đáy Biết SA a , BC = a tam giác OBC a Gọi M hình chiếu vng góc A lên SB Chứng minh AM vng góc với SC b Tính góc SB mặt phẳng (SAC) c Gọi G trọng tâm tam giác ACD Tính góc MG SC Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O; SA vng góc với mặt đáy SA = a Gọi M hình chiếu vng góc A lên SB a Chứng minh AM SC b Tính góc đường thẳng SB mặt phẳng (SAC) c Gọi G trọng tâm tam giác SCD Tính góc hai đường thẳng AG BD Bài 3: (ĐH 2008 B) Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên 2a Tam giác ABC vng A, AB = 2a, AC a Hình chiếu vng góc A’ lên (ABC) trung điểm M BC a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' b Tính góc hai đường thẳng AA’ BC E Bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình chóp lăng trụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, AB = BC = a; AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy (ABCD) SA = a Gọi E trung điểm AD Tính thể tích khối chóp SCDE tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB = a; AD = a góc hai mặt phẳng (SAC) (ABCD) 60° Gọi H trung điểm AB Biết mặt bên SAB tam giác cân đỉnh S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp SABCD xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.AHC Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, DA = DB = a / , CD vng góc với AD Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E cho góc AEB = 90° Tính góc tạo mặt phẳng (ABC) mặt phẳng (ABD) Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a đường cao SH với H thỏa mãn HN 3HM M, N trung điểm AB, CD Mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc 60° Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAC) xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD F Giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ Thiết lập hệ tọa độ tam diện: Trang DeThiMau.vn Với góc tam diện Oabc việc tọa độ hóa thường thực đơn giản, đặc biệt với: + Tam diện vng hệ trục tọa độ vng góc thiết lập tam diện + Tam diện có góc phẳng vng, ta thiết lập mặt hệ trục tọa độ chứa góc phẳng Thiết lập hệ tọa độ cho hình chóp: Với hình chóp, việc tọa độ hóa thường thực dựa đặc tính hình học chúng Ta có trường hợp thường gặp sau: * Hình chóp hệ tọa độ thiết lập dựa gốc O trùng với tâm đáy trục Oz trùng với đường cao hình chóp * Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với đáy ta thường chọn trục Oz cạnh bên vng góc với đáy (SA), gốc tọa độ trùng với chân đường vng góc (A) Trong trường hợp khác ta dựa vào đường cao hình chóp tính chất đa giác đáy để chọn hệ tọa độ phù hợp Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình hộp chữ nhật: Với hình hộp chữ nhật việc thiết lập hệ tọa độ đơn giản, thường có hai cách: + Chọn đỉnh làm gốc tọa độ ba trục trùng với ba cạnh hình hộp + Chọn tâm đáy làm gốc tọa độ ba trục song song với ba cạnh hình hộp Thiết lập hệ tọa độ cho hình lăng trụ: + Với lăng trụ đứng ta chọn trục Oz thẳng đứng, gốc tọa độ đỉnh đáy tâm đáy Các trục Oy, Ox dựa vào tính chất đa giác đáy mà chọn cho phù hợp + Với lăng trụ nghiêng, ta dựa đường cao tính chất đáy để chọn hệ tọa độ cho thích hợp Ngồi trường hợp trên, trường hợp khác ta dựa vào quan hệ song song, vuông góc tính chất đường cao, đáy để thiết lập hệ tọa độ cho thích hợp Bài tập Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AD CD Lấy P thuộc BB1 cho BP = 3BP1 Tính diện tích thiết diện (MNP) cắt hình lập phương Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có cạnh a Tính góc hai mặt phẳng (ABC1) (BCA1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy Gọi M, N hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC cho BM = a/2, DN = 3a/4 Chứng minh hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mp (ABC) h Tìm điều kiện a h để hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với Cho tam diện vng Oxyz, Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C a Tính khoảng cách từ O đến mp (ABC) theo OA = a, OB = b, OC = c b Giả sử A cố định B, C thay đổi thỏa mãn OA = OB + OC Xác định vị trí B C cho thể tích tứ diện OABC lớn Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a , SC vng góc với mp (ABC), tam giác ABC vuông A, điêm M thuộc SA, N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) a Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị t để đoạn MN ngắn b Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA G Bài tốn hình khơng gian dề thi Đại học, Cao đẳng Bài (A2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A’C, D] Bài (B2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 60° Gọi M trung điểm AA’ N trung điểm CC’ Chứng minh điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vng Bài (D2003) Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng d Trên giao tuyến d lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vng góc với AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Bài (D2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, Â’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) Trang DeThiMau.vn Bài (A2006) Cho hình trụ có đáy đường trịn (O) (O’) Bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB Bài (A2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc BP tính thể tích tứ diện CMNP Bài (B2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc BD tính theo a khoảng cách đường thẳng MN, AC Bài (D2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang góc DAB = góc ABC = 90°, BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mp (SCD) Bài (A2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = 3a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng ABC trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chop A’ABC tính cosin góc đường thẳng AA’, B’C’ Bài (B2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Bài 10 (D2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM B'C Bài 11 (A2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60° Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 12 (B2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 60°; tam giác ABC vng C góc BAC = 60° Hình chiếu vng góc B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Bài 13 (A2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Bài 14 (B2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60° Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Bài 15 (D2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC/4 Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Bài 16 (A2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) bẳng 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài 17 (B2011) Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 60° Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Bài 18 (D2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a góc SBC = 30° Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Bài 19 (AA1 2012) Cho hình chóp có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng Trang DeThiMau.vn (ABC) 60° Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Bài 20 (B 2012) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Bài 21 (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Bài 22 (AA1 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, góc ABC = 30°, SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mp (SAB) Bài 23 (B 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mp vng góc với mp đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD) Bài 24 (D 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, góc BAD = 120°, M trung điểm cạnh BC góc SMA = 45° Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mp (SBC) Trang DeThiMau.vn ... hình khơng gian dề thi Đại học, Cao đẳng Bài (A2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A’C, D] Bài (B2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình. .. góc (A) Trong trường hợp khác ta dựa vào đường cao hình chóp tính chất đa giác đáy để chọn hệ tọa độ phù hợp Thi? ??t lập hệ trục tọa độ cho hình hộp chữ nhật: Với hình hộp chữ nhật việc thi? ??t lập... góc thi? ??t lập tam diện + Tam diện có góc phẳng vng, ta thi? ??t lập mặt hệ trục tọa độ chứa góc phẳng Thi? ??t lập hệ tọa độ cho hình chóp: Với hình chóp, việc tọa độ hóa thường thực dựa đặc tính hình