H tên thí sinh:…………………… ………… Ch ký giám th 1: S báo danh:…………………………… ……… …………….……………… S GD T B C LIÊU K THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2011 - 2012 CHÍNH TH C * Mơn thi: TỐN (B NG A) * Ngày thi: 06/11/2011 * Th i gian: 180 phút (Không k th i gian giao đ ) (G m 01 trang) Câu (6 m): Tìm n ∈ cho s a = n + 20112016 n + 20112011 2011 (có 2016 s 2011 s h ng cu i) chia h t cho Câu (7 m): Cho ph ng trình: x2 − (2cosα − 1) x + 6cos2 α − cosα − = (1) a) Tìm α đ ph ng trình (1) có hai nghi m x1 , x2 b) Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a bi u th c A = x12 + x22 Câu (7 m): Cho l c giác l i ABCDEF có AB = BC = CD, DE = EF = FA, BCD = EFA = 600 Gi s G H hai m n m l c giác cho AGB = DHE = 1200 Ch ng minh r ng: AG + GB + GH + DH + HE ≥ CF D u b ng (=) x y nào? -H t - DeThiMau.vn S GD T B C LIÊU K THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2011 - 2012 CHÍNH TH C * Mơn thi: TỐN (B NG A) * Ngày thi: 06/11/2011 * Th i gian: 180 phút (G m 02 trang) H NG D N CH M Câu (6 m): Ta có 20113 ≡ 43 ≡ 1( mod ) (0,5đ) ⇒ 20113.672 = 20112016 ≡ 1( mod ) (0,5đ) ⇒ 2011 n ≡ n ( mod ) 2016 (0,5đ) S 20112011…2011 có 2016 s 2011 ghép thành , nên t ng ch s b ng ( 2+0+1+1).2016=8064 chia h t cho (0,5đ) Suy a ≡ n + n ( mod ) Khi chia n cho 9, ta có s d r ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6;7;8} (0,5đ) Ta th y v i r = 1, r = 2, r = 3, r = 4, r = 5, r = 6, r = s d chia ( n + n ) cho l n l t 2; 6; 3; 2; 3; 6; (0,5đ) (0,5đ) nên ( n + n ) ⇒a (0,5đ) V i r = ( n + n ) (0,5đ) V i r = ( n + n ) V y s c n tìm n = 9k n = 9k + 8, k ∈ N (0,5đ) (1,0đ) 2 Câu (7 m): x − (2cos α − 1) x + 6cos α − cosα − = (1) a) Ph ng trình (1) có hai nghi m x1 , x2 ch Δ ≥ ⇔ (2 cos α − 1) − 4(6 cos α − cos α − 1) ≥ (1,0đ) 1 ⇔ −20 cos α + ≥ ⇔ − ≤ cosα ≤ 2 2π ⎡π ⎢ + k 2π ≤ α ≤ + k 2π , k ∈ Z (2) ⇔⎢ ⎢ 4π + k 2π ≤ α ≤ 5π + k 2π ⎢⎣ 3 (1,0đ) (1,0đ) b) Ta có: A = x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1.x2 ⎧ x1 + x2 = cos α − V i α th a (2), theo đ nh lí Vi-ét, ta có: ⎨ ⎩ x1.x2 = cos α − cosα − V y A = (2 cos α − 1) − 2(6 cos α − cosα − 1) = −8cos α − cos α + DeThiMau.vn (1,0đ) B ng A – Ngày 2 t t = cos α , − ≤ t ≤ A = −8t − 2t + f (t ) = −8t − 2t + , ta có f ′(t ) = −16t − 2; f ′(t ) = ⇔ t = − Xét hàm s (1,0đ) BBT t − f ′(t ) − + - (1,0đ) 25 f (t ) D a vào BBT ta có: 25 1 max A = max f (t ) = f (− ) = ; t = − ⇔ cos α = − = −cosβ 1 ⎡ ⎤ 8 8 ⎢− ; ⎥ ⎣ 2⎦ 1 π A = f (t ) = f ( ) = 0; t = ⇔ cos α = ⇔ α = ± + k 2π ⎡ 1⎤ 2 ⎢− ; ⎥ (1,0đ) ⎣ 2⎦ Câu (7 m): T gi thi t suy AB=BD ED=EA ng th ng BE tr c đ i x ng c a hai m A D (1,0đ) Theo gi thi t, ta c ng có tam giác BCD AEF tam giác đ u đ c d ng BD AE v phía ngồi t giác l i ABDE C G i C’ đ i x ng v i C F’ đ i x ng v i F qua BE Các tam giác ABC’ DEF’ đ u (1,0đ) B Các m C’ G n m khác phía v i AB, H C' F’ khác phía v i DE D H Các t giác AGBC’ DF’EH n i ti p (1,0đ) G M t khác, ta l i có: A GA+GB=GC’, HE+HD=HF’ (Xem ch ng minh d i) E Vì v y: GA+GB+GH+HE+HD= F =C’G+GH+HF’ ≥ C’F’ (1,0đ) Mà C’F’= BE(CF) nên C’F’=CF C' T đó, ta có: (1,0đ) AG+GB+GH+DH+HE ≥ CF D u b ng x y ch G H n m đo n C’F’ (1,0đ) B đ : L y M c nh GC’ cho AG=GM M Ta có: Δ AMC’= Δ AGB (c.g.c) => GB=C’M B Do đó: GA+GB=GM+C’M=GC’ A T ng t , ta c ng ch ng minh đ c HE+HD=HF’ (1,0đ) G H T DeThiMau.vn B ng A – Ngày F' ... THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2011 - 2 012 CHÍNH TH C * Mơn thi: TOÁN (B NG A) * Ngày thi: 06/11 /2011 * Th i gian: 180 phút (G m 02 trang) H NG D N CH M Câu (6 m): Ta có 20113 ≡ 43 ≡ 1(... Câu (6 m): Ta có 20113 ≡ 43 ≡ 1( mod ) (0,5đ) ⇒ 20113 .672 = 20 1120 16 ≡ 1( mod ) (0,5đ) ⇒ 2011 n ≡ n ( mod ) 2016 (0,5đ) S 20 1120 11? ?2011 có 2016 s 2011 ghép thành , nên t ng ch s b ng ( 2+0+1+1).2016=8064... k 2π ≤ α ≤ + k 2π , k ∈ Z (2) ⇔⎢ ⎢ 4π + k 2π ≤ α ≤ 5π + k 2π ⎢⎣ 3 (1,0đ) (1,0đ) b) Ta có: A = x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1.x2 ⎧ x1 + x2 = cos α − V i α th a (2), theo đ nh lí Vi-ét, ta có: ⎨ ⎩