H tên thí sinh:…………………… ………… Ch ký giám th 1: S báo danh:…………………………… ……… …………….……………… S GD T B C LIÊU K THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2010 - 2011 CHÍNH TH C * Mơn thi: TỐN * Th i gian: 180 phút (Không k th i gian giao đ ) (G m 01 trang) Câu 1: (4 m) Gi i ph ng trình: x − + − x + x − = x − x Câu 2: (4 m) Cho dãy s không âm (ai), v i i = 0, 1, 2, … th a u ki n am + n + am – n = (a2m + a2n) v i m i c p ch s m, n tùy ý mà m ≥ n Tính a2010 bi t a1 = Câu 3: (4 m) Gi i ph ng trình : tan x + tan y + cot ( x + y ) = Câu 4: (4 m) Cho a, b ∈Z (a + b + 2a + 4b + 5) M3 Ch ng minh r ng a b không chia h t cho Câu 5: (4 m) Cho ng giác ABCDE n i ti p đ ng trịn bán kính b ng Bi t AB = a, BC = b, CD = c, DE = d, AE = Ch ng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < - H T - DeThiMau.vn S GD T B C LIÊU K THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2010 - 2011 CHÍNH TH C * Mơn thi: TỐN * Th i gian: 180 phút (Không k th i gian giao đ ) (G m 03 trang) H NG D N CH M Câu 1: (4 m) x − + − x + x − = x − x (1) K: ≤ x ≤ (1) ⇔ x − − + − x − + x − − = x − x -3 x −3 x−3 2x − ⇔ − + = ( x + 1)( x − 3) x −1 +1 − x +1 2x − +1 1 ⇔ ( x − 3) [ − + ] = ( x + 1)( x − 3) x −1 +1 − x +1 2x − +1 ⎡x = ⇔⎢ (2) 1 ⎢ − + = 2x +1 − x +1 2x − +1 ⎣⎢ x − + 1 + = + x + (3) (2) ⇔ 2x − +1 − x +1 x − +1 5 Do ≤ x ≤ nên VP(3) > x + > + = VT (3) < 2 V y PT (1) có nh t nghi m x = (0,25đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,75đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) Câu 2: (4 m) Cho m = n = 1, ta đ c a0 = 0; (0,5đ) Cho m = 1, n = 0, ta có a1 + a1 = (a2 + a0) ⇒ a2 = (0,5đ) Ta s ch ng minh an = n2 b ng qui n p V i n = 0, 1, kh ng đ nh Gi s an = n2 v i n = 0, 1, 2, …k; Cho m = k, n = 0, ta đ c a k + ak = (0,5đ) (0,5đ) (a2k + a0) ⇒ a2k = 4ak = (2k) Cho m = k, n = 1, ta đ c a k + + ak – = (0,5đ) (a2k + a2) a2k + – ak – ⇔ ak + = (2k)2 + – (k – 1)2 ⇔ ak + = (k + 1)2 ⇒ ak + = Theo gi thi t qui n p ta có an = n2 v i n = 0, 1, 2, … V y a2010 = 20102 DeThiMau.vn (0,5đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) Câu 3: (4 m) tan x + tan y + cot ( x + y ) = (1) 1 − tan x.tan y = tan( x + y ) tan x + tan y ⇒ cot (x + y ) [ tan x + tan y ] = 1- tanx.tany Ta có: cot ( x + y ) = (0,25đ) ⇒ tanx.tany + tany cot ( x + y ) + tanx cot ( x + y ) = ( ) ( ) – ( ) v theo v ta đ c: ⎡⎣ (t anx − tan y ) + (tan y − cot( x + y )) + (cot( x + y ) − tan x)2 ⎤⎦ = ⎧ t anx = tan y = cot( x + y ) ⇔⎨ 2 ⎩ tan x + tan y + cot ( x + y ) = 1 ⎡ ⎢ t anx = tan y = cot( x + y ) = ⇔⎢ −1 ⎢ ⎢ t anx = tan y = cot( x + y ) = ⎣ ⎧ ⎪ t anx = ⎧ ⎪ ⎪⎪ t anx = ⎪ ⇔⎨ Xét h ( I ) ⎨ tan y = ⎪ tan y = ⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎪cot( x + y ) = ⎩ Xét h (0,25đ) (0,75đ) 3 π ⎧ ⎪⎪ x = + mπ ⇔⎨ (m; n ∈ Ζ) ⎪ y = π + nπ ⎪⎩ ⎧ ⎪ t anx = − ⎧ ⎪ ⎪⎪ t anx = − ⎪ ⇔⎨ ( II ) ⎨ tan y = − ⎪ tan y = − ⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎪cot( x + y ) = − ⎩ (0,5đ) (0,5đ) 3 π ⎧ ⎪⎪ x = − + mπ ⇔⎨ (m; n ∈ Ζ) ⎪ y = − π + nπ ⎪⎩ V y nghi m c a ph (0,75đ) (0,5đ) (0,25đ) ng trình cho : π π ⎧ ⎧ ⎪⎪ x = + mπ ⎪⎪ x = − + mπ (m; n ∈ Ζ) ; ⎨ (m; n ∈ Ζ) ⎨ ⎪ y = π + nπ ⎪ y = − π + nπ ⎪⎩ ⎪⎩ 6 DeThiMau.vn (0,25đ) Câu 4: (4 m) Ta có a + b + 2a + 4b + = (a + 1) + (b + 2) V i x ∈ Z x có d ng 3k , 3k+1 , 3k+2 ( k ∈ Z ) ⇒ x có d ng 3m , 3m+1 ( m ∈ Z ) Suy (a + 1) + (b + 2) có d ng 3t , 3t+1 , 3t+2 ( t ∈ Z ) Vì (a + 1) + (b + 2) M nên (a + 1) , (b + 2) có d ng 3t V y (a + 1) M3 (b + 2) M3 ⇒ a , b không chia h t cho (0,5đ) (0,5đ) (1,0đ) (1,0đ) (1,0đ) Câu 5: (4 m) C B A Có = AE = AC + CE uuur uuur uuur uuur = AB + BC + CD + DE ( ) ( ) D o E (1,0đ) = AB + BC + CD + DE + AB.BC + 2CD.DE (1,0đ) ABC Vì AB.BC = −2 BA.BC = −2ab cos AEC (vì ABC + AEC = 1800) = 2ab cos AEC = cos AEC ) = abCE (vì CE = AE.cos (1,0đ) mà CE > CD = c nên AB.BC > abc T ng t ta có: 2CD.DE > bcd V y: a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < (1,0đ) - H T - DeThiMau.vn ...S GD T B C LIÊU K THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2010 - 2011 CHÍNH TH C * Mơn thi: TỐN * Th i gian: 180 phút (Khơng k th i gian giao đ ) (G m 03 trang) H NG D N CH M... ⇔ ak + = (2k)2 + – (k – 1)2 ⇔ ak + = (k + 1)2 ⇒ ak + = Theo gi thi t qui n p ta có an = n2 v i n = 0, 1, 2, … V y a2010 = 20102 DeThiMau.vn (0,5đ) (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) Câu 3: (4 m) tan x + tan... AEC = 1800 ) = 2ab cos AEC = cos AEC ) = abCE (vì CE = AE.cos (1,0đ) mà CE > CD = c nên AB.BC > abc T ng t ta có: 2CD.DE > bcd V y: a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < (1,0đ) - H T - DeThiMau.vn