H tên thí sinh:…………………… ………… Ch ký giám th 1: S báo danh:…………………………… ……… …………….……………… S GD T B C LIÊU K THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2011 - 2012 CHÍNH TH C * Mơn thi: TỐN (B NG A) * Ngày thi: 05/11/2011 * Th i gian: 180 phút (Không k th i gian giao đ ) (G m 01 trang) Bài 1: (5 m) Cho s d ng a, b, c th a mãn a + b + c = Ch ng minh r ng: a + b + c = a 2b + b c + c a Bài 2: (5 m) a v1 = − , v2 = − , − 3vn+2.vn = vn+2 − 3vn+ + 2vn , ≠ −1 ; ( ) th Cho dãy s vn+1.vn + 2vn+2.vn+1 Tìm ( n ≥ 1) Bài 3: (5 m) Cho t p h p M = {1; 2;3; ; 2011} H i t p h p M có ph n t chia h t cho nh t m t ba s 2, 11? Bài 4: (5 m) Cho hình bình hành ABCD G i I, F, K m xác đ nh b i: AI = α AB, AF = β AC , AK = γ AD Ch ng minh u ki n c n đ đ I, F, K th ng hàng là: β = α + γ (bi t r ng α ≠ 0, β ≠ 0, γ ≠ ) - H T - DeThiMau.vn S GD T B C LIÊU K THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2011 - 2012 CHÍNH TH C * Mơn thi: TỐN (B NG A) * Ngày thi: 05/11/2011 * Th i gian: 180 phút (G m 02 trang) H Bài 1: (5 m) NG D N CH M a + b + c ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 Ta có ⇔ a4 + b4 + c4 + 2(a + b + c) ≥ a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1,0đ) ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + c ≥ (a2 + b2 + c2)2 ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + c ≥ (1,0đ) Do ta ch c n ch ng minh a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + c ≥ Mà T ng t V y a4 + 2a = a4 + a + a ≥ 3 a a.a = 3a2 (0,5đ) b4 + 2b ≥ 3b2; (1,0đ) c4 + 2c ≥ 3c2 a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + c ≥ 3(a2 + b2 + c2) = (0,5đ) D u “=” x y a = b = c = (1,0đ) Bài 2: (5 m) vn+1.vn +2vn+2.vn+1 -3vn+2.vn = vn+2 -3vn+ + 2vn ⇔ +1.vn + + +1 + = 3vn + + 3vn + + 3vn + −2(vn + +1 + + + +1 + 1) (1,0đ) ⇔ (vn +1 + 1)(vn + 1) = 3(vn+ + 1)(vn + 1) − 2(vn + + 1)(vn +1 + 1) ⇔ + + t un = Xét ph = +1 + + − ta đ + (do ≠ −1, ∀n ) (1,0đ) c un + = 3un +1 − 2un (1,0đ) ⎡x = ng trình đ c tr ng x − 3x + = ⇔ ⎢ ⎣ x2 = un = a + b.2n v i u1 = , u = ta đ c: ⎧a + 2b = ⎧a = ⇔ ⎨ ⎨ ⎩a + 4b = ⎩b = (1,0đ) DeThiMau.vn B ng A-Ngày un = + n ⇒ = −1 + 2n (1,0đ) Bài 3: (5 m) G i A t p h p ph n t M chia h t cho G i B t p h p ph n t M chia h t cho G i C t p h p ph n t M chia h t cho 11 Ta c n tính A ∪ B ∪ C Áp d ng cơng th c: (1,0đ) A∪ B ∪C = A + B + C − A∩ B − B ∩C − A∩C + A∩ B ∩C (1,0đ) Theo gi thi t ta có: ⎡ 2011⎤ ⎡ 2011⎤ ⎡ 2011⎤ ⎡ 2011⎤ A =⎢ = 1005 , B = ⎢ = 402 , C = ⎢ = 182 , A ∩ B = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 201 , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 11 ⎦ ⎣ 10 ⎦ ⎡ 2011⎤ ⎡ 2011⎤ ⎡ 2011⎤ B ∩C = ⎢ (2,0đ) = 36 , A ∩ C = ⎢ = 91 , A ∩ B ∩ C = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ = 18 , ⎣ 55 ⎦ ⎣ 22 ⎦ ⎣ 110 ⎦ Trong [x ] ph n nguyên c a s th c x Do đó: A ∪ B ∪ C = 1005 + 402 + 182 − 201 − 36 − 91 + 18 = 1279 V y s s c n tìm 1279 (1,0đ) Bài 4: (5 m) * Ta có: KI = AI − AK = α AB − γ AD (1,0đ) KF = AF − AK = β AC − γ AD (0,5đ) Mà : AC = AB + AD ⇒ KF = β AB + ( β − γ ) AD * (0,5đ) i u ki n c n đ đ K, I, F th ng hàng t n t i s th c k cho: KF = k KI ⇔ β A B + (β − γ ⇔ (β − kα ) AB ) A D = kα A B − k γ A D + (β − γ + k γ ) A D = (1,0đ) (0,5đ) * Vì AB, AD khơng ph ng nên: ( β − kα ) AB + ( β − γ + kγ ) AD = ⎧ β − kα = ⇔⎨ ⎩ β − γ + kγ = ⇔ β γ −β = α γ ⇔ α + γ = (1,0đ) ( α ≠ 0, β ≠ 0, γ ≠ ) (0,5đ) β -H t DeThiMau.vn B ng A-Ngày ...S GD T B C LIÊU K THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2011 - 2 012 CHÍNH TH C * Mơn thi: TOÁN (B NG A) * Ngày thi: 05/11 /2011 * Th i gian: 180 phút (G m 02 trang) H Bài 1: (5 m) NG D N... (1,0đ) Theo gi thi t ta có: ⎡ 2011? ?? ⎡ 2011? ?? ⎡ 2011? ?? ⎡ 2011? ?? A =⎢ = 1005 , B = ⎢ = 402 , C = ⎢ = 182 , A ∩ B = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 201 , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 11 ⎦ ⎣ 10 ⎦ ⎡ 2011? ?? ⎡ 2011? ?? ⎡ 2011? ?? B ∩C = ⎢ (2,0đ) = 36... ] ph n nguyên c a s th c x Do đó: A ∪ B ∪ C = 1005 + 402 + 182 − 201 − 36 − 91 + 18 = 127 9 V y s s c n tìm 127 9 (1,0đ) Bài 4: (5 m) * Ta có: KI = AI − AK = α AB − γ AD (1,0đ) KF = AF − AK = β