ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 12 THPT CÀ MAU NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: Toán Ngày thi: 20 – 12 – 2009 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình : sin x ln(sin x 1) e 1 + = − Bài 2: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài các cạnh và S là diện tích của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng : S (p a)(p b)(p c)(p d) = − − − − , với a b c d p 2 + + + = Bài 3: (2 điểm) Tìm các số x, y, z thoả mãn phương trình : 2 2 2x 4x y 6 y 2xz z 13 0 − + − − + + = Bài 4 : (3 điểm) Chứng minh rằng với mọi x thuộc khoảng (0 ; 2 π ). Ta có : 1 – cosx > x 2 – ln( 1 cosx ) Bài 5: (3 điểm) Cho một bảng hình vuông chia ô : 4 x 4 = 16 ô và tập hợp gồm 16 số tự nhiên liên tiếp : n, n + 1, ., n + 14, n + 15; n > 0. Người ta điền các số đó vào các ô của bảng, mỗi ô điền một số và tô đỏ các ô có số điền trên đó là bội của n. Giả sử có k ô được tô màu đỏ. Xác định giá trị n để số k là nghiệm phương trình: 3 2 3 k k (A ) 138C 24 0 − − = ; trong đó 3 k A , 3 k C lần lượt là chỉnh hợp, tổ hợp chập 3 của tập k phần tử. Bài 6: (3,5 điểm) Cho hình chóp S.MNPQ, trừ cạnh bên SP, các cạnh còn lại đều bằng a. 1) Tính thể tích lớn nhất của khối chóp. 2) Góc NMQ phải bằng bao nhiêu để thể tích của hình chóp bằng 3 a 2 6 . Bài 7 : (2,5 điểm) Xác định m để trên cùng hệ toạ độ Oxy, đồ thị hai hàm số sau đây có ít nhất một đường tiệm cận chung : y = 2 x 4x 5 − + ; y = 2 mx x m 2 x 1 − − − + với m là tham số khác 0. --------HẾT------- ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CÀ MAU Năm học 2009 – 2010 Môn thi : TOÁN Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : Bài 1 : Giải hệ phương trình : 1 1 1 x y y z z x − = − = − = Bài 2 : Trong tam giác ABC, hãy tìm một điểm M sao cho : 2 2 2 MA MB MC+ + là nhỏ nhất. Bài 3 : Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác vuông, c là cạnh huyền; x, y là hai số thoả mãn hệ thức ax + by = c . Chứng minh rằng x 2 + y 2 ≥ 1. Khi nào xảy ra dấu đẳng thức. Bài 4 : Tìm mọi hàm số f( x ) thoả : x f ( 1 + x ) – f ( 1 – x ) = x 3 + x 2 + 4 x – 2 Bài 5 : Cho tam giác ABC . Người ta lấy trên các cạnh AB, BC và CA, mỗi cạnh gồm n điểm phân biệt và khác A, B, C ; n > 1 . Lập các tam giác với các đỉnh là các điểm trong 3n điểm nói trên. Các tính toán sau đây không kể đến tam giác ABC. 1) Gọi s là số các tam giác như vậy. Tính s theo n. 2)Gọi a là số các tam giác lập được như trên nhưng có ba đỉnh nằm trên ba cạnh khác nhau của tam giác ABC. Có hay không số n để s s a− là số nguyên dương ? Bài 6 : Trên mặt phẳng có hệ toạ độ Oxy, cho hypebol ( H ) có phương trình : 4 x 2 – y 2 = 1 và đường tròn ( T ) có phương trình : x 2 + ( y – 1) 2 = 4 . 1) Tìm điểm trên ( H ) có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất ? 2) Chứng minh rằng ( H ) và ( T ) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt và 4 điểm đó cùng nằm trên một đường parabol dạng y = a x 2 + b x +c ( a khác 0 ). Tìm phương trình của parabol đó. Bài 7 : Tìm giá trị a để phương trình : 2 2 3 3 2 2 4 3.2 0 x x a − − − + = có một nghiệm thuộc khoảng ( 1 ; 6 2 ) HẾT ĐỀ DỰ BỊ . Bài 2 : Trong tam giác ABC, hãy t m một đi m M sao cho : 2 2 2 MA MB MC+ + là nhỏ nhất. Bài 3 : Cho a, b, c là ba cạnh của m t tam giác vuông, c là. (2,5 đi m) Xác định m để trên cùng hệ toạ độ Oxy, đồ thị hai h m số sau đây có ít nhất m t đường ti m cận chung : y = 2 x 4x 5 − + ; y = 2 mx x m 2 x 1