ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT VÒNG 1 NĂM 2012 MÔN TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM 2012-VÒNG 1 LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B -------------- Ngày thi:23/10/2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút( không kể thời gian phát đề) Câu 1: (6,0 điểm) a) Giải hệ phương trình: ,với b) Giải phương trình: ,với Câu 2: (5,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ §, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình: §. Đường cao kẻ từ B có phương trình: §, điểm § thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó không cùng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng: Câu 3: (3,0 điểm) Cho dãy số(u n ) xác định như sau : a) Chứng minh: b) Tính: Câu 4: (3,0 điểm) Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: a) b) Câu 5: (3,0 điểm) Cho hệ phương trình Tìm m để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm với x,y. …….HẾT…… Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:……………… Chữ ký giám thị 1:…………………….Chữ ký giám thị 2:…………………. 2 2 2 2 2 1 3 x y x y x y x y + − − = + + − − = ,x y∈ ¡ ( ) 4 2 2 1 3 1 3 3x x x x+ + + + = x∈ ¡ Oxy2 2 0x y+ − =1 0x y+ + = ( ) 1;1M ⊥ ⇔ + = + 2 2 2 2 AC BD AB CD AD BC 1 1 2 2 1 ( 1, ) 1 ( 2 1) n n n u u u n n u + = + − = ∀ ≥ ∈ − − ¥ tan 2 1 8 = − π 2015 u 2 2 2 a b c a b c+ + ≥ + + 1 1 1 1 1 1 1a b b c c a + + ≤ + + + + + + 2 3 2 2 ( 2) 2 3 ( ) 3 x y m x y xy m y + = + + = + ∈ ¡ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM 2012- VÒNG 1 LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B -------------- Ngày thi:23/10/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1a (3,0 điểm) Giải hệ phương trình: Điểm Điều kiện: 0,25 Đặt: ĐK: ta có hệ: 0,25 0,5 0,5 Thế (1) vào (2) ta có: . 0,5 Kết hợp (1) ta có: 0,5 (vì u>v). 0,25 Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(Thỏa đk). Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2). 0,25 Câu 1b (3,0 điểm) Giải phương trình: (1) Từ pt ta thấy (1) 0,5 Đặt: 0,5 Pt trở thành: 0,5 1,0 0,5 Câu 2a (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ §, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình §. Đường cao kẻ từ B có phương trình §, điểm § thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC Toạ độ B là nghiệm của hệ Suy ra 0,25 Gọi d là đường thẳng qua M song song với BC 0,25 Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B. Toạ độ N là nghiệm của hệ Suy ra 0,25 Gọi I là trung điểm MN . 0,25 2 2 2 2 2 1 3 x y x y x y x y + − − = + + − − = x+y 0, x-y 0≥ ≥ u x y v x y = + = − 0, 0u v≥ ≥ 2 2 2 2 2 ( ) 2 4 2 2 3 3 2 2 u v u v u v uv u v u v uv uv − = > + = + ⇔ + + + + − = − = 2 2 4 (1) ( ) 2 2 3 (2) 2 u v uv u v uv uv + = + ⇔ + − + − = 2 8 9 3 8 9 (3 ) 0uv uv uv uv uv uv uv+ + − = ⇔ + + = + ⇔ = 0 4 uv u v = + = 4 0 0 4 u v u v = = ⇔ = = 4 0 u v = ⇔ = ( ) 2 2 2 ( 1) 1 3 1 3 3x x x x+ + + + = 0x〉 2 2 1 1 1 3 3 3x x x x ⇔ + + + + = ÷ 1 , 2t x t x = + ≥ ( ) 2 1 3 3t t− = − 2 3 2 9 14 0 t t t t ≤ ⇔ ⇔ = − + = 1 2 1x x x + = ⇔ = Oxy 2 2 0x y+ − = 1 0x y+ + = ( ) 1;1M 1 0 2 2 0 x y x y + + = + − = ( ) 3; 4B − : 2 3 0d x y⇒ + − = 2 3 0 1 0 x y x y + − = + + = ( ) 4; 5N − 5 ; 2 2 I ⇒ − ÷ 13 : 2 0 2 IE x y⇒ − − = 13 2 0 21 11 , 2 10 5 2 2 0 x y E x y − − = ⇒ − ÷ + − = 6 2 ; 5 5 C ⇒ − ÷ 8 : 0 5 CA x y− − = 13 2 0 2 8 0 5 x y x y − − = − − = 33 49 ; 10 10 A ⇒ − − ÷ 2 2 2 2 AC BD AB CD AD BC⊥ ⇔ + = + Oxy ,A C Ox∈ B Oy∈( ,0), ( ,0), (0, ), ( , )A a C c B b D m n 2 2 2 2 AB CD AD BC+ = + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c m n a m n c b⇔ + + − + = − + + + 2 ( ) 0m a c⇔ − =( ,0)A a ≠( ,0)C c a c⇔ ≠ AC BD⇔ ⊥ = −− −+ = = + , .)3,2,1( )12(1 12 2 1 1 n u u u u n n n tan 2 1 8 = − π 2015 u 2 2 tan 8 1 tan tan 4 8 8 1 tan 8 = = + = ÷ − π π π π π 2 tan 2tan 1 0 8 8 ⇔ + − = π π tan 2 1 8 tan 2 1 8 = − ⇔ = − − π π tan 2 1 8 ⇒ = − π tan 8 π 1 2 tanu a= = 2 tan tan 8 tan( ) 8 1 tan .tan 8 a u a a π + π = = + π − 3 tan( ) tan 8 8 tan( 2. ) 8 1 tan tan( ) 8 8 a u a a π π + + π = = + π π − + tan( ( 1) ), 1, 8 n u a n n n= + − ∀ ≥ ∈ ¥ π 1 tanu a= 1k ≥ tan( ( 1) ) 8 k u a k= + − π 1 tan( ( 1) ) tan 2 1 8 8 tan( . ) 8 1 ( 2 1) 1 tan( ( 1) ).tan 8 8 k k k a k u u a k u a k + + − + + − = = = + − − − + − π π π π π tan( ( 1) ), 1, 8 n u a n n n= + − ∀ ≥ ∈ ¥ π 2015 3 3 tan( 2014. ) tan( 251 ) tan( ) 8 4 4 u a a a= + = + + = + π π π π 2 1 tan( ) 4 2 1 a π − − = + 2 2 ( 2 1) tan 8 π = − = 2 2 2 a b c a b c+ + ≥ + + 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 + + ≤ + + + + + + 2 1 2a a+ ≥ 2 1 2b b+ ≥ 2 1 2c c+ ≥ ( ) ( ) 2 2 2 3a b c a b c a b c⇔ + + ≥ + + + + + − 3 3 3a b c abc+ + ≥ = 2 2 2 a b c a b c+ + ≥ + + 1a b c= = = ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 a b a b a ab b ab a b + = + − + ≥ + ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b 1 ab a b 1 ab a b abc ab a b c⇒ + + ≥ + + = + + = + + ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 abc c a b 1 a b c ab a b c ab a b c ⇒ ≤ = = + + + + + + + + ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 abc a b c 1 a b c bc a b c bc a b c ≤ = = + + + + + + + + ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 abc b c a 1 a b c ca a b c ca a b c ≤ = = + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c 1 a b 1 b c 1 c a 1 a b c + + + + ≤ = + + + + + + + + 2 3 (1) 2 2 ( 2) 2 3 ( )(2) 3 x y m x y xy m y + = + + = + 3 2 x m y= − 2 3 3 2 2 2 3 2 2 2 m y y m y my m + − + − = + ÷ ÷ 3 2 3 ( ) 2 0 2 f y y my m⇔ = − + = ( )f y ′ ⇔ 1 2 ,y y 1 2 ( ). ( ) 0f y f y ( )f y ′ 0m ≠ ( ) 2 2 1 2 ( ). ( ) 0 4 0f y f y m m⇔ − ( ) 2 2 0 4 0 m m m ≠ − ( , 2) (2, )m⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ I B C A N M E Ghi chú: Thí sinh giải khác hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn chấm điểm theo thang điểm tương ứng. . y m x y xy m y + = + + = + 3 2 x m y= − 2 3 3 2 2 2 3 2 2 2 m y y m y my m + − + − = + ÷ ÷ 3 2 3 ( ) 2 0 2 f y y my m . 0f y f y ( )f y ′ 0m ≠ ( ) 2 2 1 2 ( ). ( ) 0 4 0f y f y m m⇔ − ( ) 2 2 0 4 0 m m m ≠ − ( , 2) (2, )m ∈ −∞ − ∪ +∞ I B C A N M E Ghi chú: Thí