ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT VÒNG 1 NĂM 2012 MÔN TOÁN - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN, BẢNG A Ngày thi: 23/10/2012 Thời gian: 180 phút (không kể giao đề) Câu 1: ( 5,0 điểm ) a. Giải phương trình sau trên tập số thực: . b. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: . Câu 2: ( 5,0 điểm ) a. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hai điểm . Tìm trên trục hoành điểm M sao cho . b. Cho tam giác đều, cạnh bằng , trọng tâm là . Một đường thẳng đi qua , cắt các đoạn thẳng và lần lượt tại hai điểm và sao cho . Tính diện tích tam giác . Câu 3: ( 4,0 điểm ) Cho dãy số được xác định bởi và với mọi . a. Chứng minh rằng: . b. Tính tổng theo . Câu 4: ( 3,0 điểm ) Cho các số thực dương a. Chứng minh rằng: . b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Câu 5: ( 3,0 điểm ) Cho hàm số có đồ thị là , là tham số. Tìm các giá trị của để trên có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của tại điểm đó vuông góc với đường thẳng . ------ Hết ----- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. 1 (2 1) 1 2x x x+ = + + + ( ) 2 2 2 8 12 x y xy y xy y xy x y + + + = + + + = Oxy ( ) ( ) 1;2 , 4;3A B · 0 45AMB = ABC 6cm G ∆ G ∆ AB AC M N2 3AM AN=AMN ( ) n u 1 1u = 1 2 n n n u u + = + 1n ≥ 2 1 n n u = − 1 2 3 . n S u u u u= + + + + n , , .a b c ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 2 2 2 7 16 a b a b + + ≥ + + 2 2 2 2 (2 )(2 )(2 ) . (3 ) a b c P a b c + + + = + + + ( ) ( ) 3 2 1 1 4 3 1 3 y mx m x m x= + − + − + ( ) m C mm ( ) m C ( ) m C : 2 0d x y+ = Họ và tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM LONG AN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM 2012 (VÒNG 1) Môn: TOÁN, BẢNG A. Ngày thi: 23/10/2012 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn này có 03 trang ) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. Câu Đáp án Thang điểm 1 (5,0 điểm) a. ( 2,5 điểm ) Điều kiện: Đặt (), ta thu được hệ 0,25 0,25 Suy ra 0,25 0,25 0,25 0,25 Do vậy 0,5 Thay vào, thử lại thấy thỏa mãn. Đáp số: 0,25 0,25 b. ( 2,5 điểm ) Đặt , hệ trở thành: 0,5 Giải hệ tìm được hay 0,25 + 0,25 Với ta tìm được: hoặc 0,25 + 0,25 1 . 2 x ≥ − 1 2y x= + + 2y > 2 1 2( 1) 1 2 x y x y y x + + = + − + = ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ( 1) 1 1 1 1 0 x y y x x y y x y x y x + + = − + + ⇔ + + + + − + = ( ) ( ) 1 1 2 1 0 2 1 y x y x y x ⇔ + + − + = ⇔ = + 15 33 1 2 2 1 . 32 x x x − + + + = + ⇔ = 15 33 32 x − + = 15 33 . 32 x − + = ( ) ( ) , 1u x x y v y y= + = + 8 . 12 u v u v + = = 2 6 u v = = 6 2 u v = = 2 6 u v = = 1 3 2 x y = − ± = 3 17 2 3 x y ± = = − Với ta tìm được: , hoặc 0,25 0,25 Kết luận : Hệ đã cho có các nghiệm , , , , 0,5 2 (5,0 điểm) a. ( 2,5 điểm ) Gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB. Ta có: 0,25 + 0,25 0,25 + 0,25 hay 0,25 + 0,25 Với thì . Đường tròn tâm I bán kính IA có phương trình cắt trục hoành tại hai điểm và . 0,5 Với thì . Đường tròn tâm I, bán kính IA không cắt trục hoành. 0,5 b. ( 2,5 điểm ) Đặt với . , 0,25 + 0,25 , 0,25 + 0,25 Nên ta có: . Vậy ta có hệ : 0,25 0,25 Giải hệ tìm được 0,5 Diện tích cần tìm: 0,5 Câu Đáp án Thang điểm 3 (4,0 điểm) a. 2,0 điểm 6 2 u v = = 2 1 x y = = 3 1 x y = − = 1 7 2 x y = ± = − 1 3 2 x y = − ± = 3 17 2 3 x y ± = = − 2 1 x y = = 3 1 x y = − = 1 7 2 x y = ± = − ( ) ;I x y . 0 AI BI AI BI = = uur uur 2 2 3 10 5 5 10 0 x y x y x y + = ⇔ + − − + = 3 1 x y = ⇔ = 2 4 x y = = ( ) 3;1I 5IA = ( ) ( ) 2 2 3 1 5x y− + − = ( ) 1 1;0M ( ) 2 5;0M ( ) 2;4I 5IA = ,AM x AN y= = 0, 0x y> > 0 1 3 . .sin30 2 2 AMG x S AM AG= = 0 1 3 . .sin30 2 2 ANG y S AN AG= = 0 1 3 . .sin60 2 4 AMN xy S AM AN= = AMN AMG ANG S S S= + ( ) 3 3 ( ) 2 2 4 x y xy x y xy+ = ⇔ + = ( ) 2 2 3 x y xy x y + = = 5 10 3 x cm y cm = = 3 25 3 4 6 AMN xy S = = 2 cm Khi : đúng. 0,5 Giả sử đúng với . 0,5 Ta chứng minh: 0,5 Thật vậy: 0,5 b. 2,0 điểm 0,5 + 0,5 0,5 + 0,5 4 (3,0 điểm) a. 1,5 điểm Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 0,5 đúng 0,5 Đẳng thức xảy ra khi 0,5 b. 1,5 điểm Đặt , ta có: 0,5 0,25 + 0,25 Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng khi 0,25 + 0,25 5 (3,0 điểm) . Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 0,25 + 0,25 Ta tìm :có đúng một nghiệm âm 0,5 hoặc 0,25 + 0,25 : không thỏa yêu cầu 0,5 , yêu cầu bài toán xảy ra khi 0,25 + 0,25 Kết luận: 0,5 1n = 1 2 2 1 2 1 2 2 1u u= + = + = − 2 1 k k u = − 1,k k N≥ ∈ 1 1 2 1 k k u + + = − 1 1 2 2 1 2 2 1 k k k k k k u u + + = + = − + = − ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 . 2 1 2 2 . 2 n n S n= − + − + + − = + + + − 1 2 1 2. 2 2 2 1 n n S n n + − = − = − − − 2 2 2 2 14 14 16 36 1 0a b a b ab+ + − + ≥ ( ) ( ) 2 2 14 4 1 0a b ab⇔ − + − ≥ 1 2 a b= = t a b= + 2 2 2 16 (2 7)( 2) 9 (3 ) P t c t c + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3( 1) 6 (2 7)( 2) 2 2 1 1 (3 ) (3 ) tc t c t c t c t c − + − + − ÷ ÷ + + = + ≥ + + + + P 9 16 1 2 a b c= = = / 2 2( 1) 4 3y mx m x m= + − + − m 2 2( 1) 4 3 2mx m x m+ − + − = ( ) * ( ) * ( ) ( ) 1 3 2 0 1x mx m x⇔ − + − = ⇔ = 2 3mx m = − 0m = 0m ≠ 0 2 3 0 2 3 m m m m < − < ⇔ > 0 2 3 m m < > . 4 3y mx m x m= + − + − m 2 2( 1) 4 3 2mx m x m+ − + − = ( ) * ( ) * ( ) ( ) 1 3 2 0 1x mx m x⇔ − + − = ⇔ = 2 3mx m = − 0m = 0m ≠ 0 2 3 0 2 3 m m m m <. 5,0 đi m ) a. Trong m t phẳng với hệ trục tọa độ cho hai đi m . T m trên trục hoành đi m M sao cho . b. Cho tam giác đều, cạnh bằng , trọng t m là . M t đường