Thông tin tài liệu
H tên thí sinh:…………………… ………… Ch ký giám th 1: S báo danh:…………………………… ……… …………….……………… S GD T B C LIÊU K THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2011 - 2012 CHÍNH TH C * Mơn thi: TỐN (B NG B) * Ngày thi: 05/11/2011 * Th i gian: 180 phút (Không k th i gian giao đ ) (G m 01 trang) Bài 1: (5 m) Cho s d ng a, b, c th a mãn a + b + c = Ch ng minh r ng: a + b + c = a 2b + b c + c a Bài 2: (5 m) ( un ) th Cho dãy s a u1 = , u2 = , un+ = 3un +1 − 2un (n ≥ 1) Ch ng minh r ng: u2011 ≡ ( mod 2011) Bài 3: (5 m) Trong m t k thi h c sinh gi i Tốn đ thi g m có ba câu Bi t r ng m i thí sinh làm đ c nh t m t câu, có 25 thí sinh làm đ c câu th nh t, có 20 thí sinh làm đ c câu th hai, có 14 thí sinh làm đ c câu ba, có 12 thí sinh làm đ c câu th nh t th hai, có 10 thí sinh làm đ c câu th hai th ba, có thí sinh làm đ c câu th nh t th ba, có thí sinh đ t m t i đa gi i đ c c ba H i có thí sinh d thi? Bài 4: (5 m) Cho hình bình hành ABCD G i I, F, K m xác đ nh b i: AI = α AB, AF = β AC , AK = γ AD Ch ng minh u ki n c n đ đ I, F, K th ng hàng là: β = α + γ (bi t r ng α ≠ 0, β ≠ 0, γ ≠ ) - H T - DeThiMau.vn S GD T B C LIÊU K THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2011 - 2012 CHÍNH TH C * Mơn thi: TỐN (B NG B) * Ngày thi: 05/11/2011 * Th i gian: 180 phút (G m 02 trang) H Bài 1: (5 m) Ta có NG D N CH M a + b + c ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2 ⇔ a4 + b4 + c4 + 2(a + b + c) ≥ a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1,0đ) ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + c ≥ (a2 + b2 + c2)2 ⇔ a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + c ≥ (1,0đ) Do ta ch c n ch ng minh a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + c ≥ Mà T ng t V y a4 + 2a = a4 + a + a ≥ 3 a a.a = 3a2 (0,5đ) b4 + 2b ≥ 3b2; (1,0đ) c4 + 2c ≥ 3c2 a4 + 2a + b4 + 2b + c4 + c ≥ 3(a2 + b2 + c2) = (0,5đ) D u “=” x y a = b = c = (1,0đ) Bài 2: (5 m) ⎡x = ng trình đ c tr ng x − 3x + = ⇔ ⎢ ⎣x = n un = a + b.2 v i u1 = , u = ta đ c : Xét ph ⎧a + 2b = ⎧a = ⇔ ⎨ ⎨ ⎩a + 4b = ⎩b = n un = + u2011 = + 22011 3(mod2011) (theo đ nh lý Fecrmat) Bài 3: (5 m) G i A t p h p thí sinh làm đ G i B t p h p thí sinh làm đ G i C t p h p thí sinh làm đ Ta c n tính A ∪ B ∪ C Áp d ng công th c: c câu th nh t c câu th hai c câu th ba A∪ B ∪C = A + B + C − A∩ B − B ∩C − A∩C + A∩ B ∩C (2,0đ) (1,0đ) (2,0đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (1,0đ) Theo gi thi t ta có: A = 25 , B = 20 , C = 14 , A ∩ B = 12 , B ∩ C = 10 , A ∩ C = , A ∩ B ∩ C = (1,5đ) Do A ∪ B ∪ C = 25 + 20 + 14 − 12 − 10 − + = 31 V y s thí sinh d thi 31 DeThiMau.vn (1,0đ) B ng B-Ngày Bài 4: (5 m) * Ta có: KI = AI − AK = α AB − γ AD (1,0đ) KF = AF − AK = β AC − γ AD (0,5đ) Mà : AC = AB + AD ⇒ KF = β AB + ( β − γ ) AD * (0,5đ) i u ki n c n đ đ K, I, F th ng hàng t n t i s th c k cho: KF = k KI ⇔ β A B + (β − γ ⇔ (β − kα ) AB ) A D = kα A B − k γ A D + (β − γ + k γ ) A D = (1,0đ ) (0,5đ) * Vì AB, AD khơng ph ng nên: ( β − kα ) AB + ( β − γ + kγ ) AD = ⎧ β − kα = ⇔⎨ ⎩ β − γ + kγ = ⇔ ⇔ β γ −β = α γ α + γ = (1,0đ) ( α ≠ 0, β ≠ 0, γ ≠ ) (0,5đ) β -H t - DeThiMau.vn B ng B-Ngày ...S GD T B C LIÊU K THI CH N HSG L P 12 VÒNG T NH N M H C 2011 - 2 012 CHÍNH TH C * Mơn thi: TOÁN (B NG B) * Ngày thi: 05/11 /2011 * Th i gian: 180 phút (G m 02 trang) H Bài 1: (5 m)... ⎨ ⎩a + 4b = ⎩b = n un = + u2011 = + 22011 3(mod2011) (theo đ nh lý Fecrmat) Bài 3: (5 m) G i A t p h p thí sinh làm đ G i B t p h p thí sinh làm đ G i C t p h p thí sinh làm đ Ta c n tính A ∪... (1,0đ) Theo gi thi t ta có: A = 25 , B = 20 , C = 14 , A ∩ B = 12 , B ∩ C = 10 , A ∩ C = , A ∩ B ∩ C = (1,5đ) Do A ∪ B ∪ C = 25 + 20 + 14 − 12 − 10 − + = 31 V y s thí sinh d thi 31 DeThiMau.vn (1,0đ)
Ngày đăng: 30/03/2022, 15:21
Xem thêm:
