PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.Giải phương trình sau tg a)2cos3x + cos2x + sinx = b)sin22x – cos28x = sin(17 +10x) 3(cosx + cotgx) c) d) =2sinx + + = cotgx – cosx sin2x sin4x cosx – cos3x – cos2x – cos3x + cosx e) tg2x = f) tg2x = g) = – sin3x + cos2x – sin3x – sinx f) cotg4x = cos32x + j) 3sin3x – 3cos9x = + 4sin33x x x sin4 + cos4 + sinx sin2x – 2 g) – tg2x.sinx = + tg2x h) = x – sinx sin2x – 4cos2 x 2 h) cos10x + 2cos24x + 6cos3x.cosx = cosx + 8cosx.cos33x i) 3sin3x – 3cos9x = + 4sin33x j) sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – j) (1 + sinx)2 = cosx k) 2(cotg2x – cotg3x) = tg2x + cotg3x l) sin4x – cos4x = + 4(sinx – cosx) m) sin3( x + ) = 2.sinx n) sin3x + sin2x + sinx = 2.Giải phương trình sau: sinx + sin2x + sin3x 5sin4x.cosx a) = b) 6sinx – 2cos3x = cosx + cos2x + cos3x 2cos2x c) cos4x – cos2x + 2sin6x = d)2sin(3x + ) = + 8sin2x.cos22x e) tg(1200 +3x) – tg(1400 – x) = 2sin(800 + 2x) 3 x 3x f) sin( – ) = sin( ) g) 4cos2x – 2cos22x = + cos4x + 10 2 10 1 g) |cotgx| = tgx + h) |tgx|= cotgx + i) 2cos3x = sin3x cosx sinx j) tgx + cotgx = 2(sin2x + cos2x) k) cos3x + sinx – 3sin2x.cosx = l) sin2x + sin22x + sin23x = m) cos4x – sin2x = cos2x D.C.Q cosx – 2sinx.cosx n) tgx – sin2x – cos2x + 2(2cosx – ) = o) = 2cos2x + sinx – cosx p) sin3x + cos2x = + 2sinx.cos2x q) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x) 3.Tam giác ABC cân có góc nghiệm phương trình x tgx – tg = Chứng minh ABC tam giác 2 4.Giải phương trình sau: 48 – (1 + cotg2x.cotgx) = – cos4x sin2x 5.Cho phương trình : (4 – 6m)sin3x + 3(2m – 1)sinx + 2(m – 2)sin2xcosx – (4m – 3)cosx = a)Giải pt m = b)Tìm m để phương trình có nghiệm x [0; ] 2 Cho a +b > c số tuỳ ý.Chứng minh phương trình sau acosx + bsinx = c acotgx + btgx = 2c có phương trình có nghi mcosx – msinx – 7.Cho phương trình : = m – 2sinx m – 2cosx a)Giải phương trình m = b)Khi m 0, phương trình có nghiệm thuộc đoạn [20 ;30] Giải phương trình sau: 10 a)cosx + + sinx + = sinx cosx b)sin3x(1 + cotgx) + cos3x(1 + tgx) = sinx.cosx c) tgx + tg2x + tg3x + cotgx + cotg2x + cotg3x = c) 2tg2x + + 5tgx + 5cotgx + = sin2x d)cotgx – tgx = sinx + cosx e) sinx – cosx+ 4sin2x = f) 2(2sinx – 1) = 4(sinx – 1) – cos(2x + ) – sin(2x + ) 4 17 g) sin8x + cos8x = cos22x h) 2cosx – sinx = i) |cosx| = – 3sinx 16 i) 3cos4x + sin4x – 2cos3x = 9.Tìm nghiệm x( ;3) phương trình sau : 5 7 sin(2x + ) – 3cos(x – ) = + sinx 2 10.Tìm nghiệm x(0,2) phương trình sau : DeThiMau.vn sin3x – sinx D.C.Q a)Giải phương trình m = – b)Tìm m để phương trình có nhiều nghiệm x [– 3/8;– /8 ] 22 Xác định giá trị m để phương trình sau có nghiệm: sin6x + cos6x = m|sin2x| 23.Cho phương trình sin4x + cos4x = msin2x – 1/2 a)Giải phương trình m = b)Xác định m để phương trình có nghiệm 24 Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình cos(x2 + 2x – ) – sin(x2) =0 25.Giải phương trình sau: + 2sin2x – 2sinx + sin2x a) sin2x – 2sinx + = 2sinx – b) 2sinx.cosx – cosx(2sinx + 3\r(2)) – 2cos2x – sin3x + cos3x c) =1 d) = cos2x + sin2x 2cosx – sinx e) cos3x.sin2x – cos4x.sinx = sin3x + + cosx 2 f) cos xsin x + cos2x = 2cosx(sinx + cosx) – cos6x + sin6x 26.Cho phương trình = 2m.tg2x cos2x – sin2x 13 a)Giải phương trình m = ( ) 8 b)Tìm m để phương trình có nghiệm (vơ nghiệm) 27.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: + 3tg2x + m(tgx + cotgx) – = sin2x 28 a)Khảo sát hàm số y = x + + (C) x–1 b)Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm x (0; )của phương trình: 1 1 + sinx + cosx + (tgx + cotgx + + )=m sinx cosx 29.Cho phương trình : cos4x + 6sinx.cosx = m a)Giải phương trình m = b)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đoạn [0;/4] = sin2x + cos2x – cos2x 11 a)Giải phương trình sau : cos2x – cos3x – cos2x – tg2x = với x [1;70] cos2x b)Tính tổng nghiệm 12 a)Giải phương trình sau : sin3x + 2cos2x + cotg2x = với x [2;40] sin2x b)Tính tổng nghiệm 13 Cho phương trình : cos2x – (2m + 1)cosx + m + = a)Giải phương trình m = 3 b)Tìm m để phương trình có nghiệm x( ; ) 2 14 Cho phương trình : (1 – a)tg2x – + + 3a = cosx a)Giải phương trình a = /2 b)Tìm giá trị a để phương trình có nhiều nghiệm khoảng(0;/2) 15 Tìm a,b để phương trình sau tương đương asin2x + = cosx + a 2sinx (1) 2sin2x + cos2x +sin2x +b = 2bsinx + cosx +1 (2) 16 Tìm a để phương trình sau tương đương 2cosx.cos2x = + cos2x + cos3x (1) 4cos2x – cos3x = acosx + (4 – a)(1 + cos2x) (2) 17 a)Giải phương trình : 3cosx + cos2x – cos3x + = 2sinxsin2x (1) b)Tìm m để (1) tương đương với phương trình mcos3x + (4 – 8m)sin2x + (7m – 4)cosx + (8m – 4) = 18.Tìm m để phương trình :cos3x – cos2x + m cosx – =0 Có nghiệm khoảng (– /2;2) 19.Cho phương trình (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + m) = – 4cos2x a)Giải phương trình m = b)Tìm m để phương trình có nghiệm [0;] 20.Cho phương trình 2cos2x + sin2x.cosx + sinx.cos2x = m(sinx + cosx) (1) a)Giải phương trình (1) m = b)Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn [0;/2] HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC DeThiMau.vn 21 Cho phương trình 2cosx.cos2x.cos3x + m = 7cos2x Chứng minh rằng: D.C.Q A B C A B a) sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos 6*.Cho tam giác ABC thoả mãn: tg + tg = Chứng minh 2 2 C A B C b) cosA + cosB + cosC = + 4sin sin sin tg < 2 2 c) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC (ABC tam giác vuông) 7.Chứng minh rằng: B C A B C B C A A d) cot + cot + cot = cot cot cot a) cotg ;cotg ;cotg tạo thành 1cấp số cộng a,b,c tạo thành cấp 2 2 2 2 B C C A A B số cộng theo thứ tự e) tan tan + tan tan + tan tan = A B C 2 2 2 b) tg ;tg ;tg tạo thành cấp số cộng cosA ;cosB ;cosC tạo thành f) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 2 cấp số cộng theo thứ tự g) sin2A + sin2B + sin2A = 4sinA.sinB.sinC h) cos2A + cos2B + cos2C = – 1– 4cosA.cosB.cosC 2 c) Nếu a ,b ,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng B ≤ i) sin A + sin B + sin C = + 2cosA.cosB.cosC j) cos2A + cos2B + cos2C = – 2cosA.cosB.cosC 8.Các cạnh tam giác ABC lập thành cấp số nhân 1.Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh tam giác có góc lớn 600 R(a2 + b2 + c2) 9.Cho biết a4 = b4 + c4 Chứng minh góc tam Chứng minh : cotgA + cotgB + cotgC = abc giác góc nhọn tgB.tgC = 2sin2A 2.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c diện tích S thoả mãn: 10.Cho tam giác cân cạnh đáy a,cạnh bên b,góc đỉnh 200 Chứng minh a3 + b3 = 3ab2 S = (c + a – b)(c + b – a) Chứng minh tgC = 11*Chứng minh tam giác ABC có góc = 60o 15 sinA + sinB + sinC *3.Cho tam giác ABC có AB = AC = b ;BC = a.Biết đường tròn nội tiếp tam = giác qua trung điểm E đường cao AH Chứng minh 3a = 2b cosA + cosB + cosC tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác theo a 12 Chứng minh ABC ta có *4.Cho tam giác ABC nhọn,chứng minh : asinA ; bsinB ; csinc A B C a) (a – b)cotg +(b – c)cotg +(c – a)cotg = ba cạnh tam giác 2 5.Cho tam giác ABC vuông A, BC = a Gọi M điểm cạnh b) cosA + cosB + cosC 3/2 huyền,đặt góc BAM = x c) cosA.cosB.cosC 1/8 tam giác ABC nhọn sinx cosx B C + cosA + cosB + cosC A a)Chứng minh : = + AM AC AB b*) tg + tg + tg = 2 sinA + sinB + sinC b)Cho biết 2b2 = 3ac ,tính góc B C B B C C A A B C A A B c) tg tg + tg tg + tg tg = d) tg + tg + tg ≥ Trong tam giác ABC biết tg tg = 2 2 2 2 2 A B C A B C 1 + tg2 + tg2 ≥ e) tg tg tg d) tg Chứng minh c = (a + b) 2 2 2 3 1 A B C A B C 5.Tính góc A tam giác ABC biết: f) + + = tg + tg + tg + cotg cotg cotg 2 2 2 a) a = b + c + bc b) b(b – a ) = c(c – a ) 2 2 sinA sinB sinC 2 b3 + c3 – a3 1 c) = a2 g) + + ≥ 12 xảy đẳng thức b + c–a B C A 2 6.Tính cosB biết : 2a + 4b + c = 4ab + 2ac sin2 sin2 sin2 DeThiMau.vn 2 ( ) D.C.Q mb h) cos2A + cos2B + cos2C ≥ b)Cho biết = Chứng minh 2cotgA = cotgB + cotgC b mc (b2 – c2).cosA (c2 – a2).cosB (a2 – b2).cosC 20.Cho tam giác ABC vng A có trung tuyến AD, BE ,CF i) + + =0 Chứng minh rằng: BE2 + CF2 = 5AD2 b c a 21.Cho tứ giác ABCD Gọi I J trung điểm AC BD tgA c2 + a2 – b2 j) = Chứng minh : AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2 tgB c2 + b2 – a2 *20.Cho tam giác ABC có cotgA ;cotgB ;cotgC theo thứ tự lập thành cấp s 13 Cho tam giác ABC có góc nhọn ˆ C = GB ˆA Gọi G trọng tam tam giác ,chứng minh : G A a)Chứng minh tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC 21.Chứng minh tam giác ABC thoả mãn b)từ Chứng minh tgA + tgB + tgC 3 điều kiện sau tam giác cân: Khi xảy dấu = C a) tgA + tgB = 2cotg b) tgA + tgB = tgA.tg2B c) Cho biết tgA.tgB = ; tgB.tgC = Chứng minh tam giác o ABC có góc 45 C + cosB 2a + c C tg2A.tg2B.tg2C c) a(cotg – tgA) = b(tgB – cotg ) d) = d) Tìm giá trị lớn biểu thức T = sinB 4a2 – c2 tg2A + tg2B + tg2C cos2A + cos2B A + B *14a)Cho tam giác ABC chứng minh : e) = (cotg2A + cotg2B) f) tg2A + tg2B = 2tg2 sin2A + sin2B 2 cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = (1) C B b)Cho ba góc nhọn A,B,C thoả mãn (1),chứng minh A,B,C ba góc g) c2.sin2A + a2.sin2C = b2.cotg h) a + b = tg (atgA + btgB) tam giác 2 15 Đặt T = sin2A + sin2B + sin2C Chứng minh 22 Tam giác ABC tam giác biết : Tam giác ABC có góc nhọn T > a2.sin2B + b2.sin2A = 4ab.cosA.sinB sin2A + sin2B = 4sinA.sinB 16 a)Chứng minh ABC ta có 23.Chứng minh tam giác ABC thoả mãn cos2A + cos2B + cos2C = – 2cosA.cosB.cosC (1) điều kiện sau tam giác vng : b)Giả sử A,B,C 3góc nhọn thoả mãn (1) a)S = (a + b – c)(a – b + c) b)sin2A + sin2B = 4sinA.sinB Chứng minh A,B,C góc tam giác 16.Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn biểu thức : c) sinA + sinB + sinC = – cosA + cosB + cosC sin2A + sin2B + sin2C A B C sinB + sinC A B C P= d) cos cos cos – sin sin sin = e) sinA = cos2A + cos2B + cos2C 2 2 2 cosB + cosC 17 Cho biết C = 2B = 4A Chứng minh f) S = p(p – c) 1 *24.Cho tam giác ABC có góc thoả mãn : a) + = b)cos2A + cos2B + cos2C = b c a A–B C cos cos(A – B) + cosCcos = Tính sinA + sinB 18 a)Gọi H trực tâm tam giác ABC,chứng minh : 2 AB2 + HC2 = BC2 + HA2 = CA2 + HB2 25 a)Chứng minh ABC vuông cân thoả (b2 – c2)cosA (c2 – a2)cosB (a2 – b2)cosC mãn a.cosB – b.cosA = a.sinA – bsinB (1) b) + + =0 b c a b)Tính góc ABC biết thoả mãn (1) c)Chứng minh trung tuyến AA’ BB’ vuông sin2A + sin2B + cos2A + cos2B = góc cotgC = 2(cotgA + cotgB) 26 Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: 19 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c trung tuyến ma ; mb ; mc a) (a2 + b2)sin(A – B) = (a2 – b2)sin(A + B) C a)Chứng minh : ma2 + mb2 + mc2 = (a2 + b2 + c2) b) a + b = (atgB + btgA)tg DeThiMau.vn c c) sin(A – B) = a2 – b2 a2 – b2 sin(A – B) d) = a2 + b2 c2 sin(A + B) 27 Chứng minh tính diện tích tam giác ABC công thức: S = (a2sin2B + b2sin2A) 27.Cho tam giác ABC có diện tích S Chứng minh : a) a2 + b2 = c2 + 4S.cotgC a2 + b2 + c2 b) cotgA + cotgB + cotgC = 4S 28.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a,b,c.Hãy xác định dạng tam giác ABC biết diện tích S = (a + b + c)2 36 29.Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, R r bán kính đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác Chứng minh : A B C a) r = 4R.sin sin sin 2 2 b) IA.IB.IC = 4Rr 1 1 c) + + = hb hc r 30.Cho ABCD tứ giác nội tiếp có độ dài cạnh AB = a,BC = b, (p - a)(p - d) A CD = c,DA = d Chứng minh : tg = (p - b)(p - c) a + b + c + d với p = 31.a,b,c độ dài cạnh tam giác thoả mãn điều kiện a < b < c lập thành cấp số cộng Chứng minh : ac = 6Rr 32 Xác định tất tam giác ABC thoả mãn điều kiện : a) c = c.cos2B + b.sin2B b) cos2A + cos2B + cos2C = 33.Chứng minh ABC tam giác thoả mãn điều kiện sau: a) 2(a.cosA + b.cosB + c.cosC) = a + b + c b) cosA = sinB + sinC – b c a a.cosA + b.cosB + c.cosC 2p c) = d) = = ma mb mc a.sinB + b.sinC + c.sinA 9R e) a + b + c = 24 27 S f) S = R2(sin3A + sin3B + sin3C) 2 g) sin A + sin B + sin C = 3(cos2A + cos2B + cos2C) D.C.Q B C h) cos + cos + cos = + cos + cos + cos 3 3 3 34.Tính góc tam giác ABC biết : a) cos2A + 3(cos2B + cos2C) + = b) 4(cos2A + cos2B – cos2C) = 35** Chứng minh tồn tam giác mà góc nghiệm phương trình : (4cosx – 1)(7sin2x – sin2x – 6) = 36.Tìm góc tam giác ABC để biểu thức Q = sin2A + sin2B + sin2C đạt giá trị nhỏ 37.Cho tam giác ABC tìm giá trị lớn biểu thức M = 3cosA + 2cosB + 2cosC b c a 38*.Hãy tính góc tam giác ABC biết: sin A sin B sin C 39*.Cho tam giác nhọn ABC> Tìm giá trị lớn biểu thức P = 3.cosB + 3(cosA + cosC) 40.Cho a ,b ,c độ dài cạnh tam giác r bán kính đường tròn nội 1 1 tiếp Chứng minh : ≤ + + 4r2 a2 b2 c2 DeThiMau.vn A B C 3 ( A ) ... 13 Cho phương trình : cos2x – (2m + 1)cosx + m + = a)Giải phương trình m = 3 b)Tìm m để phương trình có nghiệm x( ; ) 2 14 Cho phương trình : (1 – a)tg2x – + + 3a = cosx a)Giải phương trình. .. cos4x = msin2x – 1/2 a)Giải phương trình m = b)Xác định m để phương trình có nghiệm 24 Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình cos(x2 + 2x – ) – sin(x2) =0 25.Giải phương trình sau: + 2sin2x – 2sinx... cosx) – cos6x + sin6x 26.Cho phương trình = 2m.tg2x cos2x – sin2x 13 a)Giải phương trình m = ( ) 8 b)Tìm m để phương trình có nghiệm (vơ nghiệm) 27.Tìm m để phương trình sau có nghiệm: + 3tg2x