Đề thi thử Đại học môn Toán (Đề số 39 + 40)50235

ĐỀ SỐ 39 THI THỬ ĐẠI HỌC MƠN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 2x 1 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho Viết phương trình đường thẳng  qua điểm I (0;1) cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB (O gốc tọa độ) Câu (2,0 điểm) Giải phương trình (1  cos x) cot x  cos x  sin x  sin x  x  x  1  y  2 y  x   (x, y  ฀ ) Giải hệ phương trình   x  y  x  y   Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I    cos x.ln(1  sin x) dx sin x Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SC  ( ABCD), đáy ABCD hình thoi có cạnh ABC  1200 Biết góc hai mặt phẳng (SAB) ( ABCD) 450 Tính theo a ฀ a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA, BD Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P  a  ab  abc abc II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 6a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB  5, C (1; 1) , đường thẳng AB có phương trình x  y   trọng tâm G tam giác ABC thuộc đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ đỉnh A B Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 2; 2), B(0;1; 2) C (2; 2; 1) Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A , song song với BC cắt trục y’Oy, z’Oz theo thứ tự M , N khác gốc tọa độ O cho OM  2ON Câu 7a (1,0 điểm) Tính mơ đun số phức z thỏa mãn  z  z  i  (iz  1) B Theo chương trình Nâng cao Câu 6b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC : x  y  31  0, hai đỉnh B, D thuộc đường thẳng d1 : x  y   , d : x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 75 đỉnh A có hồnh độ âm x 1 y 1 z    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : mặt 1 2 phẳng ( P) : x  y  z   Một mặt phẳng (Q) chứa (d ) cắt ( P) theo giao tuyến đường thẳng  cách gốc tọa độ O khoảng ngắn Viết phương trình mặt phẳng (Q) DeThiMau.vn 5   Câu 7b (1,0 điểm) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z   cos  z   Tìm số n 21   nguyên dương nhỏ cho z1n  z2n  -Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 39 Câu 2,0 đ Đáp án Ý 2x 1 Hàm số y  1,0 đ x 1  TXĐ: D  ฀ \ 1  Sự biến thiên hàm số: + Các giới hạn tiệm cận lim y  ; lim  y    Đường thẳng x  1 tiệm cận đứng x ( 1)  x ( 1) lim y   Đường thẳng y  tiệm cận ngang x  + Đạo hàm: y '    x  D  ( x  1) + Bảng biến thiên: x y’ y  1 + + + + 2  Hàm số đồng biến khoảng (; 1) (1; ) Hàm số cực trị  Đồ thị: Tự vẽ đồ thị DeThiMau.vn  : y  mx  1,0 đ Phương trình hồnh độ giao điểm (C)  : 2x 1  mx  (x  1) x 1  f ( x)  mx  (m  1) x   (1) Đk: (1) có nghiệm phân biệt khác 1 m  m    m    m      m      m        f (1)    m   Khi  cắt (C) điểm phân biệt A( x1 ; mx1  1); B ( x2 ; mx2  1) Với x1 , x2 hai nghiệm (1) Ta có AB  ( x2  x1 ) (1  m )  ( x2  x1 )  x1 x2  (1  m ) m 1 Mà x1  x2   (m  10m  1)(1  m ) , x1 x2  Do AB  m m m  : y  mx   mx  y    d  d (O, )  Khi đó: SOAB  m2  1 m  10m  AB.d   2m  11m  10m    m  1  m  (tmđk) 11 x  11 Phương trình (1  cos x) cot x  cos x  sin x  sin x (1) 1,0 đ Điều kiện: sin x   x  k (k  ฀ ) cos x Khi đó: (1)  (1  cos x)  cos x  sin x  sin x sin x  cos x  cos x  cos x sin x  sin x  2sin x cos x Do  : y   x  hay y  2,0 đ  cos x(1  2sin x)  cos x sin x  (cos x  sin x)   cos x cos x  cos x sin x  cos x   cos x(cos x  sin x  1)   cos x   cos x  sin x   + cos x   x   k  (k  ฀ )   x   l 2      + cos x  sin x    cos  x     x     l 2   4 4   x  l 2 Kết hợp điều kiện phương trình cho có nghiệm là: x  k  , x   l 2 (k , l  ฀ ) DeThiMau.vn  x  x  1  y  2 y  x   (1) 1,0 đ Hệ phương trình  (2)  x  y  x  y  x  y  Điều kiện:  x  y  Với điều kiện (1)  3x2 7xy + 2y2 + x 2y =  (3xy)(x2y) +(x2y) = x  2y   (x2y)(3xy +1) =   3 x  y   + x2y =  x = 2y (2): y  y   y = ; y =  x = (tmđk) 1,0 đ + 3x  y + 1=  y = 3x+1 (2) trở thành: x   x   11  1   x  x   17 76   7 x y   (tmđk) 25 25  49 x  21x   11  x  x  17   25  17 76  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = (2;1) (x;y) =  ;   25 25   Tích phân I    cos x.ln(1  sin x) dx sin x   t  ; x   t 1 2 dt  u  ln(1  t ) du  ln(1  t )   1 t dt Đặt:  Khi I    dt t dv  t v    t Đặt t  sin x  dt  cos xdx Đổi cận: x   dt 1    ln  ln     Ta có I   ln(1  t )    dt t  t t 1  t (t  1) 1 2  ln  3ln  ln t 1 1  ln t   3ln  ln  ln DeThiMau.vn 27 16 1,0 đ S I D C O A a B K Kẻ SK  AB (K  AB)  CK  AB (định lí đường vng góc) ฀ Khi góc hai mặt phẳng (SAB) ( ABCD) góc SK CK Do SKC ฀  450 ; ฀ ฀ nhọn nên SKC ABC  1200  CBK  600 Trong tam giác vuông CBK : CK  CB sin 600  Tam giác SCK vuông cân C nên SC  3a 3a 3a 2 3a Do VS ABCD  S ABCD SC  (đvtt) Gọi O  AC  BD  BD  AC Ta có   BD  ( SAC ) O BD  SC  Kẻ OI  SA (I  SA)  OI đoạn vng góc chung SA BD Ta có S ABCD  AB.BC sin1200  Dùng hai tam giác đồng dạng AOI ASC suy OI  Vậy d ( SA, BD)  5a 10 DeThiMau.vn 5a 10 1,0 đ Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: a  4b a  4b  16c a  ab  abc  a    (a  b  c) 2 Đẳng thức xảy a  4b  16c 3  Suy P  Đặt t  a  b  c, t  2(a  b  c) abc 3 Khi ta có P   2t t 3 Xét hàm số f (t )   với t  2t t f ' (t )  3 3  ; f ' (t )      t 1 2t t 2t 2t t 2t Bảng biến thiên: t ' f (t ) f (t )    +  3 t  Suy P   t 0 2 a  b  c  Vậy GTNN P   a  4b  16c 16 a , b , c 21 21 21 Do f (t )   DeThiMau.vn 6a 2,0đ 1,0đ Gọi I ( x; y ) trung điểm đoạn AB G ( xG ; yG ) trọng tâm ABC Do   2x 1 y 1 CG  CI nên xG  ; yG  3 Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình: x  y   x    Vậy I (5; 1)  2x 1 y 1 y        3 Ta có IA  IB  AB  2 Gọi (C ) đường tròn có tâm I (5; 1) bán kính R  5 Tọa độ hai điểm A, B nghiệm hệ phương trình:  (C ) : ( x  5)  ( y  1)  x  y   x  x      5 1 2 ( x  5)  ( y  1)   y    y   1  3  Vậy tọa độ hai điểm A, B  4;   ,  6;   2  2  Từ giả thiết ta có M (0; m;0) N (0;0; n) mn  m  2n 1,0 đ Do ( P) / / BC ( P) qua M , N nên VTPT ( P)    n   BC , MN   (m  n; 2n; 2m)    TH1: m  2n n   BC , MN   (3n; 2n; 4n) (n  0) ( P) qua A(2; 2; 2)  ( P) : x  y  z      TH2: m  2n n   BC , MN   (n; 2n; 4n) (n  0) ( P) qua A(2; 2; 2)  ( P) : x  y  z  10  ( loại ( P)  BC ) Vậy ( P) : x  y  z   DeThiMau.vn 7a 1,0 đ Đặt z  a  bi, (a, b  ฀ ) Từ giả thiết ta có  a  bi  a  (b  1)i  (b   )   a  bi  2(b  1)  2a (b  1)i 1  a  2(b  1)  (1) b  2a (b  1) Từ (1) suy : b  2  a  b 2 1  2(b  1) (b  1)  (b  2)(2b  1)    b    a   2(b  1) 2  1 Suy z   2i z    i 2 + Với z   2i , ta có z  6b 2,0 đ 1 + Với z    i , ta có z  2 B  d1  B(b;8  b), D  d  (2d  3; d )  1,0 đ Khi BD  (b  2d  3; b  d  8) trung điểm BD  b  2d  b  d   I ;  2   Theo tính chất hình thoi ta có :    BD  AC 8b  13d  13  b  u AC BD       I  AC  I  AC 6b  9d   d  Suy B(0;8); D(1;1)  9 Khi I   ;  ; A  AC  A(7 a  31; a )  2 2S 15 S ABCD  AC.BD  AC  ABCD  15  IA  BD  a   A(10;3) (ktm) 63   9 225 9     7 a     a     a       Suy   2 2    a   A(11;6) C (10;3) Gọi H , I hình chiếu vng góc O lên ( P)  1,0 đ Ta có d (O, )  OI  OH ( khơng đổi) Do d (O, )  OH xảy I  H 2 DeThiMau.vn  Đường thẳng OH qua O(0;0;0) nhận VTPT ( P) n  (1; 2;1) làm VTCP x  t   OH :  y  2t (1) z  t  ( P) : x  y  z   (2) Từ (1) (2) suy 6t    t  Từ (1)  H (1; 2;1) Khi (Q) mặt phẳng chứa (d ) qua H   Ta có M (1;1; 2)  (d ) , VTCP (d ) u  (1;1; 2) , HM  (0; 1;1)    Suy VTPT (Q) nQ  u , HM   (1; 1; 1) , (Q) qua M (1;1; 2) Do (Q) : 1( x  1)  1( y  1)  1( z  1)   x  y  z   Q O (d) I H  7b 1,0 đ P 5   Phương trình z   cos  z   (1) 21   5 5 (1) có  '  cos    sin 21 21 5 Do bậc hai  ' i sin 21 5 5   z1  cos 21  i sin 21 Vậy (1) có nghiệm   z  cos 5  i sin 5  21 21 5 5   5 5   z  z    cos  i sin  i sin    cos  1 21 21   21 21   n n n n n   5  5 5   5     cos    i sin   i sin       cos  1 21 21   21      21  n n5 n5  n5   n5   cos    i sin 1   i sin     cos 21 21  21   21  n5 n5  n5   cos     cos 1   cos 21 21  21  n5 n5 42k    cos  cos     k 2  n    (k  ฀ ) (*) 21 21 5 Vì n số nguyên dương nhỏ nên từ (*) suy n  -Hết DeThiMau.vn ĐỀ SỐ 40 THI THỬ ĐẠI HỌC MƠN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x  3mx + (1), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích Câu II: (2,0 điểm) Giải phương trình: 3cot x  2 sin x  (2  2) cos x Giải phương trình: x  x   Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân x7  3x  x 9x 1 dx Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 2a, SA = a, ฀ = 600 mp(SAB) vng góc với mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, SB = a , BAD BC Tính thể tích tứ diện NSDC tính cosin góc hai đường thẳng SM DN Câu V: (1,0 điểm) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ   x  y   z    y    z    y3   z 3   x3  biểu thức: P  x  Câu VI (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC M(3,2), 2 3 trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC G( , ) I(1,-2) Xác định tọa độ đỉnh C Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y 1 z 1   , điểm 1 A (1,4,2) mặt phẳng (P): 5x – y + 3z – = Viết phương trình đường thẳng  qua A,  nằm mp(P) biết khoảng cách d  Câu VII (1,0 điểm) Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn i.z1   0,5 z = i.z1 Tìm giá trị nhỏ z1  z Hết -DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN ĐỀ SỐ 40 Câu 1: 1, Với m =  y = x  3x + a) TXĐ: R b) Sự biến thiên: *) Giới hạn: lim y  ; lim y   x x *) Chiều biến thiên: y' = 3x  6x x = ; y' =   x = Hàm số đồng biến khoảng (-  ; 0) (2; +  ), hàm số nghịch biến (0; 2) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ= 2; hàm số đạt tiểu x = 2, yCT= - BBT x - f’(x) f(x) + + - + + - -2 c) Đồ thị: y x -10 O -5 -2 -4 x = Câu 1: 2, y = x  3mx +  y' = 3x  6mx ; y' =    x = 2m Đồ thị hàm số có điểm cực trị  y’ = có nghiệm phân biệt  m  Với m  đồ thị hàm số (1) có tọa độ điểm cực trị là: A(0; 2) B(2m;-4m3+2) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị A, B là:   x y = 2m x + y = C ;0 AB cắt Ox     , cắt Oy A(0; 2) 2m - 4m3 m  Đường thẳng qua điểm cực trị tạo với trục tọa độ tam giác OAC vng O ta có: 1 1 OA.OC = 2 = 2 m m2 1 Yêu cầu toán thỏa mãn  =  m = ± (thỏa mãn m  0) Vậy m = ± m SOAC = Câu 2: 1, Điều kiện : x  k Phương trình tương đương: 3cosx( cos x  ) = 2(cosx sin x DeThiMau.vn sin2x)  cos x  cos x   sin2x)(3cosx – 2sin2x) =    cos x  cos x    cos x   (loai ); cos x  ; cos x  2 (loai ); cos x  2  (cosx -   k 2 & x =    k 2 x7 1 Câu 2: 2, x  x    ( x  1)2   ( x  1)  , x  7 3  u  x  u 2  v    Đặt  ta có hệ phương trình:  ( x  1)  (v  0) v  v   u   3u   v 3(u  v )  u  v  (u  v)[3(u  v)  1]      3u   v 3v   u 3u v Kết hợp với đ/k suy pt cã nghiÖm: x =  u  v  3(u  v)      3u   v 3u   v   73 (lo¹i) u  u  v  u  v     73 3u   v 3u  u    u    1  69  v   u u   3(u  v)       3u   v 3u  u  17  u  1  69 (lo¹i)    1  73 73  x 1  6 1  69 1  69  69  + Với u  x 1  6 + Với u  Câu 3: I   x 3x  x  I1   x dx  x3  3 1 dx   x(3 x  x  1)dx   x dx   x x  1dx 2 3 26 27 1 2 I   x x  1dx   x  1d (9 x  1)  (9 x  1) 18 27 1  3 16 26  16 Vậy I  27 27 Câu 4: Từ giả thiết có AB = 2a, SA = a, SB = , tam giác ASB vuông S suy SM  AB  a tam giác SAM DeThiMau.vn Gọi H trung điểm AM SH  AB Mặt khác (SAB)  (ABCD) nên suy SH  ( ABCD) 1 1 a 4a a  VNSDC  VSNDC  SH S DNC  SH S BDC  3 2 4 Gọi Q điểm thuộc đoạn AD cho AD = AQ MQ//ND nên (฀ SM , DN )  (฀ SM , QM ) Gọi K trung điểm MQ suy HK//AD nên HK  MQ ฀ Mà SH  (ABCD), HK  MK suy SK  MQ suy (฀ SM , DN )  (฀ SM , QM )  SMK 1 MQ DN a MK 4 ฀     Trong tam giác vuông SMK: cos SMK  SM a a a S N C B M H K A D Q Câu 5: ĐỈt x = a , y  b , z  c Do x  y  z  suy a  b  c  Ta cần tìm giá trị nhỏ P  a3  b3  c3 b2  c2  a2  Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân có: a3 b2  b3 c2  c3 a2     a3 b2  b3 c2  c3 a2   b2  a 3a  33  (1); 16 64  c2  c 3c  33  (2) 16 64  a2  c 3c  33  (3) 16 64 a  b2  c2    a  b  c  (4) 16 3 Vì a2+b2+c2=3 Từ (4)  P  giá trị nhỏ P  a = b = c =1  x = y = z = 2     Câu 6: 1, IM  (2;4), GM   ;  3 3   Gọi A(xA; yA) Có AG  GM  A(-4; -2)  Đường thẳng BC qua M nhận vec tơ IM làm vec tơ pháp tuyến nên có PT: 2(x - 3) + 4(y - 2) =  x + 2y - = Gọi C(x; y) Có C  BC  x + 2y - = Cộng theo vế ta được: P  Mặt khác IC = IA  ( x  1)2  ( y  2)2  25  ( x  1)2  ( y  2)2  25 x  2y   Tọa độ C nghiệm hệ phương trình:  2 ( x  1)  ( y  2)  25 DeThiMau.vn x  x  Giải hệ phương trình ta tìm   Vậy có điểm C thỏa mãn C(5; 1) C(1; 3) y  y  Câu 6:2, Gọi (Q) mặt phẳng qua d cách A(1,4,2) khoảng (Q) qua N(1, -1, 1) thuộc d nên có phương trình: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = (1) Do (Q) qua N’(1, -1, 1) thuộc d nên 2a + b + c =0 hay c = - 2a – 2b (2) d ( A,(Q ))   a (1  1)  b(4  1)  c(2  1) a b c  12a  13b  11c  10bc  (3) 2 2   (5b  c)  12(a  b  c ) Thay (2) vào (3) có a  8ab  b  Chọn b = a = -1 a = 1 Với b = , a = -1 (Q) có phương trình: x – y – z – = Đường thẳng  qua A song song với giao tuyến (P) (Q) có VTCP   1 1 1 1 1  x 1 y  z  u  , ,     4(1, 2, 1) nên  có phương trình: 1  1 3 5 1  1 (Q) có phương trình: x –7y +5z – 13 = Đường thẳng  qua A song song với giao tuyến (P) (Q) có VTCP  x 1 y  z    u (8,11,17) nên  có phương trình: 8 11 17 Câu 7: Đặt z1  x1  iy1 ( x1 , y1  R) Với b = , a = Khi điểm M ( x1 , y1 ) biểu diễn z1 , i.z1   0,5  i.x1  y1   0,5  x12  ( y1  2)  0, 25 Suy tập hợp điểm M biểu diễn z1 đường tròn (C1) tâm O1(0, ) bán kính R1=0,5 z2  iz1   y1  x1i Suy N (- y1 , x1) biểu diễn z2 Ta cần tìm M thuộc (C1) để z1  z2  MN nhỏ   Để ý OM ( x1 , y1 )  ON ( y1 , x1 ) OM = ON nên MN = OM MN đạt giá trị nhỏ OM nhỏ Đường thẳng OO1 đường tròn (C1) M1(0,  ) M2(0, z1  (  )i 1  ) Dễ thấy MN nhỏ  M trùng M1(0,  ) tức 2 Hết DeThiMau.vn ... x  + Đạo hàm: y '    x  D  ( x  1) + Bảng biến thi? ?n: x y’ y  1 + +? ?? +? ?? + 2  Hàm số đồng biến khoảng (; 1) (1; ) Hàm số khơng có cực trị  Đồ thị: Tự vẽ đồ thị DeThiMau.vn... 5 Vì n số nguyên dương nhỏ nên từ (*) suy n  -Hết DeThiMau.vn ĐỀ SỐ 40 THI THỬ ĐẠI HỌC MƠN TỐN Thời gian làm bài: 180 phút Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x  3mx + (1),... =   x = Hàm số đồng biến khoảng (-  ; 0) (2; +  ), hàm số nghịch biến (0; 2) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ= 2; hàm số đạt tiểu x = 2, yCT= - BBT x - f’(x) f(x) + +? ?? - + +? ?? - -2 c) Đồ thị: