De thi thu dai hoc mon Toan lan 2 nam 2012THPT DoanThuong co dap an

Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB... Thỏa mãn BPT[r]

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2012Mơn: TỐN; Khối A, B Thời gian làm bài: 180 phỳt

Phần chung cho tất thí sinh (7,0 điểm)

C©u I (2,0 điểm) Cho hàm số

2

1

x y

x

 

 có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

2 Tìm giá trị m để đường thẳng y3x m cắt (C) A B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x 2y 0 (O gốc tọa độ)

Câu II (2,0 ®iĨm)

1 Giải bất phương trình x3(3x2 4x 4) x 1 Giải phương trình

cos cos3 sin

x x   x 

Câu III (1,0 điểm) Tinh tich phõn

2

0

1 sin 2x 2cos xdx



 



Câu IV (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đáy ABCD hình chữ nhật, AB a AD , 2 2a

Hình chiếu vng góc điểm S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD và

khoảng cách hai đường thẳng AC SD theo a

Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương Chứng minh bất đẳng thức

2 2

2 2

2 2

1

( ) ( ) ( )

x xy y yz z zx

y zx z z xy x x yz y

  

  

     

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn

C©u VI.a (2,0 ®iĨm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y  5 0, d2: 3x y  1 điểm I(1; 2)

Viết phương trình đường thẳng qua I cắt d1, d2 A B cho AB2

2 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1) mặt phẳng (P) có phương trình

3

x y z   Viết phương trình mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB Gọi  giao tuyến (P) (Q) Tìm điểm M thuộc  cho đoạn thẳng OM nhỏ

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn (1 ) i z số thực v z i B Theo chơng trình nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y  5 0, d2: x 3y 5 điểm I(1; 2)

Gọi A giao điểm d1 d2 Viết phương trình đường thẳng qua I cắt d1, d2 B

và C cho 2

1

AB  AC đạt giá trị nhỏ nhất.

2 Trong khơng gian Oxyz, cho A(1;1;0), B(0;1;1) C(2;2;1) và mặt phẳng (P): x + 3y – z + = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2 + MC2đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

   

   

2

1

1

2log 2 log

log log

x y

x y

xy y x x

y x

 

 

       

 

   

-HÕt -Trường THPT Đoàn Thượng tổ chức thi thử đại học lần vào chiều ngày 05 ngày 06/05/2012

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Câu Ý Nội dung Điểm

I

1

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

2

1

x y

x

 



1,00

TXĐ : \ 1 

' 0,

( 1)

y x

x



   

 0,25

Hàm số nghịch biến khoảng ( ;1) (1;)

1

2

lim ; lim

1

x x

x x

x x

 

 

 

   

  TCĐ : x1

2

lim

1

x

x x

 



 

 TCN : y2

0,25

Lập BBT

x   

y’ -

-y 2

  

2

0,25

Đồ thị

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-4 -2

0,25

2 trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x 2y 0 (d) 1,00 Pt hoành độ giao điểm:

2

x

x m x



 

 Với đk x1

PT 2x 1 (x1)( 3 x m ) 3x  (1m x m)   1 (1)

0,25

D cắt (C) A B  Pt (1) có nghiệm khác

2 11

(1 ) 12( 1)

( 1)( 11)

1

3 (1 )

m

m m

m m

m m m



      

       

 

     



0,25

Gọi I trung điểm AB

1 , 3

2

I I I

x x m m

x   y x m 

     

Gọi G trọng tâm tam giác OAB

2 1

;

3

m m OG OI G   

    

 

                           

1 11

2

9

m m

G d         m

  (TM) Vậy

11

m 0,25

II 1

Giải bất phương trình x3(3x2 4x 4) x 1 1,00 Điều kiện : x1 Đặt

0

1

y y x

y x

 

   

  

Bpt trở thành x3(3x2 )y y2 0

0,25

TH y 0 x1 Thỏa mãn BPT

TH y 0 x 1 Chia hai vế cho y3 ta

3

3

x x

y y

   

  

   

    Đặt

x t

y



giải BPT ta t1

0,25

2

1

0

1 1

1

x x

x

t x x

y

x x

   

 

       



   

 

0,25

1

0

1

2

1 5

2

x x

x x

   



 



    

   

  



 Kết hợp x 1 ta

1

1

2

x 

  

Vậy tập nghiệm BPT S =

1

1;

  



 

 

0,25

2

Giải phương trình

cos cos3 sin

x x   x 

  1,00

 cos2x cosx sin2x cos2x   0,25  cos2x(2 cosx 1) 2sin x cosx  

 (cos x sin x)(2 cosx 1) (cosx sin x)2    

  

 

   



cosx sin x (1)

(cosx sin x)(2cosx 1) cosx sin x (2)

0,25

   

           

 

(1) sin x x k x k

4 4 0,25

 

    

 

         

    

 

      

 

cosx x k

2 (2) cosx(cosx sin x 1)

2 cos x

x k2

4

4

Vậy pt có nghiệm



  

x k

4 ,

   

x k

2 , x k2 

III

Tính tích phân I =

2

0

1 sin 2x 2cos xdx



 



1,00

2 2

2

0 0

1 sin 2cos (sin cos ) sin cos

I x xdx x x dx x x dx

  

       0,25

sin cos tan

3

x x  x  x k

Do 0;

2

x   

  nên x  

0,25

3

0

3

sin cos sin cos

I x x dx x x dx

 



   

3

0

3

(sinx cos )x dx (sinx cos )x dx

 



   

   

0

3 cosx sinx cosx sinx

 



     

0,25

1 3

1 3

2 2

          0,25

IV Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC SD theo a

1,00 Gọi H trọng tâm tam giác BCD Theo GT SH (ABCD)

Gọi

2

2

3

O AC BD CH  CO AC a  AH AC HC  a

SA tạo với đáy góc 450 suy SAH 450  SH AH 2a

0,25

Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD

1

.2 2

3 ABCD 3

V  S SH  a a a a 0,25

Gọi M trung điểm SB Mặt phẳng (ACM) chứa AC // SD Do d SD AC( ; )d SD ACM( ;( ))d D ACM( ;( ))

Chọn hệ tọa độ Oxyz hình vẽ Khi

(0;0;0), ( ;0;0), (0; 2 ;0), ; ; , ( ; 2 ;0)

3

a a

A B a D a S a C a a

 

5 2

; ;

6

a a

M a

 .

( ; 2 ;0)

AC a a



5 2

; ;

6

a a

AM  a

 



2 2

(2 ; ; )

AC AM  a a  a

                           

Mặt phẳng (ACM) qua điểm A có vtpt n(2 2; 1;  2)



nên có phương trình

2 2 2

2 2 ( ;( ))

8 11

a a

x y  z  d D ACM     

0,25

V

Chứng minh

2 2

2 2

2 2

1

( ) ( ) ( )

x xy y yz z zx

y zx z z xy x x yz y

  

  

      (1)

1,00 Ta có (y zx z )2 ( y y  x z  z z )2 (y x z y z z  )(   )

2

2

1 2

( )( ) ( )( )

( ) ( )

x xy x xy

x y z y z x y z y z

y zx z y zx z

 

   

     

   

0,25

2

1 2 2

( ) ( )

x xy x xy xz

x x x

x y z y z x y z y z

      

       

         

2

x x

y z x y z

 

   Tương tự, cộng lại ta được

VT (1)

2 2

1

2 2

x y z

y z z x x y

   

  

0,25

2 2 2( )2

2 1

2 2 3( )

x y z x y z

xy xz yz yx zx zy xy yz zx

   

      

    

  0,25

Chứng minh (x y z  )2 3(xy yz zx  ) Suy VT (1)  2 1

Đẳng thức xảy x y z 0,25

VI.a 1

Viết ptđt qua I cắt d1, d2 A B cho AB2 1,00

1 ( ; 5); ( ; 1)

A d  A a  a B d  B b  b ( 1; 3) 0; ( 1; 1)

IA a  a  IB b  b

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

I, A, B thẳng hàng

1 ( 1) ( 3)

b k a IB k IA

b k a

  



   

    

  

                       

  0,25

Nếu a 1 b 1 AB4 (không TM)

Nếu

1

1 ( 3)

1

b

a b a a b

a



         



0,25 M

H O

B D

C

A

 2

2 2

( ) 3( ) 2 (3 4) 8,

AB b a  a b    t  t  t a b 

2

5 12 2

5

t t t

t

  

    

  

0,25

2 0, :

t   a b   b a   x y  

2

, :

5 5

t   a b   b a   x y   0,25

2

Tìm điểm M thuộc  cho đoạn thẳng OM nhỏ 1,00 Gọi I trung điểm AB

3 3

; ; ( 1; 1; 1) 2

I   AB

      

 



Pt (Q)

3

x y z   

0,25

Đường thẳng  qua điểm

7

;0;

4

I 

  có vtcp u(2; 1; 1) 

Pt tham số 

7 4

x t

y t

z t



 

 

      

0,25

2

7 25

2 ; ; 12 15

4 4

M   M  t t  t OM  t  t

  0,25

OM nhỏ

5

; ;

8 8

t  M   

  0,25

VII.a

Tìm số phức z thỏa mãn (1 ) i z số thực z 5 i 1 1,00 Giả sử z x yi  , (1 ) i z (1 )(i a bi ) a 3b(b )a i 0,25

(1 ) i z số thực  b 3a 0 b3a 0,25

2

2 (5 ) ( 2) (5 )

z  i   a   a i   a   a  0,25

2

2

10 34 29 17 14 7 21

5

a b

a a a a

a b

  

 

        

   

 Vậy

7 21 ,

5

z  i z  i

0,25

VI.b 1 Viết phương trình đường thẳng qua I cắt d1, d2 B C

cho 2

1

AB AC đạt giá trị nhỏ nhất

1,00

1 2, ( 2;1)

d d d d  A A  0,25

Gọi H hình chiếu A BC.

ABC vuông A nên 2

1 1

AB  AC AH

2

1

AB AC nhỏ

AH



nhỏ  AH lớn  H I 0,25 Khi  qua I có vtpt n AI  ( 1; 1)

  

Pt  x y  1 0,25

2

Tìm M thuộc (P) cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ 1,00 Gọi G trọng tâm tam giác ABC

Chứng minh MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 0,25

MA2 + MB2 + MC2 nhỏ MG nhỏ  M hình chiếu G trên

(P) 0,25

Tìm tọa độ 1; ;

3

G 

  0,25

Tìm

14 13 41

; ;

33 33 33

M  

  0,25

VII.b

Giải hệ phương trình

   

   

2

1

1

2log 2 log (1)

log log (2)

x y

x y

xy y x x

y x

 

 

       

 

   

 

1,00

Đk Giải hệ phương trình

1 0

1 2

x x

y y

    

 



 

     

  0,25

   

1

(1) log (1x  x y) 2 2 log y 1 x 6

   

1

2 2logx y 2log y x

     

0,25

Đặt tlog (1x y2) ta

2

2 2t 2t 4t t

t

          0,25

2

y   x Thế vào (2) ta được

   

1 1

4

log log log 1

4

x x x

x x

x x x

x x

  

 

        

 

2 2 0 (TM)

0 (KTM)

x x x

x

 

   

  Vậy x2,y1