Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa DE và A’F.. Tìm toạ độ điểm M thuộc CD sao cho chu vi tam giác ABM nhỏ nhất.[r]
(1)SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT GIA LỘC
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút (khơng tính thời gian giao đề)
Câu I (2,0 điểm): Cho hàm số 1 x y
x
có đồ thị (C)
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến (C) cắt trục 0x; 0y A B cho OA4OB
Câu II (2,0 điểm): 1) Giải phương trình
4
4
sin cos
cos
tan tan
4
x x
x
x x
2) Giải hệ phương trình :
3
2
4
1
x y x y
y x
Câu III(1,0 điểm): Tính tích phân: I =
2
sin
sin cos
x
dx
x x
Câu IV(1,0 điểm):
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Đường chéo BC’ mặt bên BCC’B’ tạo với (ABB’A’) góc 300 Gọi G, E, F trung điểm BC, A’C’, C’B’ Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách DE A’F
Câu V(1,0 điểm):
Cho tổng S = 2
2 2 2
2 2
2
3 2
n n
n n n n n
C C C C C
n n
với n n>4
Tìm n biết 8192 13 S
Câu VI(2,0 điểm):
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x42y24 điểm I(-2;5) Tìm toạ độ điểm M trục tung cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) với A, B tiếp điểm cho đường thẳng AB qua I
2) Trong khơng gian Oxyz, cho A(2;3;2); B(6;-1;-2); C(-1;-4;3); D(1;6;-5) Tính góc hai đường thẳng AB CD Tìm toạ độ điểm M thuộc CD cho chu vi tam giác ABM nhỏ
Câu VII(1,0 điểm):
Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =
2 2
4 4
y
x y z x z
yz xz xy
_ HÕt _
(2)HƯỚNG DẪN ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2011-2012
Mơn: TỐN
Câu Ý Nội dung Điểm
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 1 x
C x
y = 1,00
TXĐ : D/ 1
2
1
'
1
y x D
x
0,25
Hàm số nghịch biến khoảng ;1 va 1;
1
lim lim
x x
suy x=1 tiệm cận đứng
lim 2
xy y tiệm cận ngang
0,25
BBT
+
-
2 2
-1 +
-
y y' x
0,25 I
1
Đồ thị
8
6
4
2
(3)Gọi điểm
0
0
0 0
2 1
; '
1 1
x
M x C y x pttt
x x M 0 0 1 1 x
y x x
x x
tiếp tuyến cắt 0x tai điểm
0
2 1;
A x x cắt 0y
2 0
2
2
0; ( 1) x x B x
để OA = 4OB
0,25
2
2 0
0 0
0
2
2 2 1
( 1) ( 1)
x x
x x x x
x x
0,25
2 0 0
2
1
1 :
4 4
1 13 ( 1) : 4 (vn) y=-x x
x pttt x
x
x pttt x
0,5 ĐK: sin
sin sin
4
cos
cos sin
4 cos x x x x x x x
có tan tan
4 x x
0,25 pt
4 4 2
2 4
sin cos cos sin cos cos
1 sin cos cos cos
2
x x x x x x
x x x x
0,25
1 2
cos
cos sin sin cos cos sin 2 x
x x x x
x vn
k
x x k
0,5 II
3 3 2
2 2
3 2 2
4
1 5
5 (21 )
x y x y x y y x x y
y x y x
x y y x x y x x y xy
(4)
2
0
21
7
3
3 x
x y xy
x y
x y x y
x y
kết hợp với (2) suy
nếu x = y 2 nghiệm (0;2); (0;-2) 7x = 4y vô nghiệm
nếu y = -3x hpt có nghiệm (-3;1); (3;-1)
0,5
Tính tích phân
I =
2
4 sin cos cos sin sin
sin sin
x x x x
x
x x
π π
2 2
0 0
dx dx
cosx - 2 cosx - 2 đặt
2
4
sin cos sin cos sin cos
2
t t
t x x x x t x x
(cos sin )
dt x x dx
với x=0 t=-3; với
x t=-1
0,5 III
1
2
3
3
2
3
2 12
2 12 22
2 40
6 22 12 ln / 12 ln
3
t t t
I dt t t dt
t t
t
t t t
0,5
IV
30
A'
B'
C'
A
B
C H
F E
P
D M
Theo giả thiết suy VABC A B C ' ' 'BB S' A B C' ' ' có
(5)Gọi H trung điểm A’B’ suy C H' A B' 'C H' A B BA' ' suy hình chiếu cuả BC’ (AA’B’B) HB ; góc BC’ (ABB’A’)
' 300
C BH có '
2 a C H
Xét tam giác vuông C’HB vuông H có
3
' cot ' cot 30
2
a a
BH C H HBC xét tam giác HB’B vng B’ có
2
' '
BB BH B H a
Vậy
3 ' ' '
6
ABC A B C
a
V dvtt
0.25
Gọi P trung điểm FC’ suy EP/ /A'FA F' / /EPD
Lại có A'FBCC B' 'EPBCC B' ' từ F dựng FK vng góc với DP M suy FM DEPd A F DE ' ; d F D ; EFFM
xét tam giác DFP vuông F có
2
2 2 2
1 1 1 16 66
' 33
1 ' '
a FM
FM FP FD BB a a
B C 0,5 Ta có
2 0 1 2 2 3 3 4 4 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2
2 2 3 4 2 2
2 2 2 2
2 0 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
1
1 1 2
n n n n n
n n n n n n n
n n n n n
n n n n n n n
n n n n n n
n n n n n
x C xC x C x C x C x C x C
x C xC x C x C x C x C x C
x x C x C x C x C x C
0,25 2
0 2 4 2 2 2
2 2 2
0
2
0 2 2
2 2 2
2
0
2 2
1 1 2 1 1 1 1 0 2 1 1
1 1 1 1
2
0
3 5 2 1 2 1
2 2 2
2
2 1 3 5
n n
n n n n
n n n n n
n n
n n n n
n n n n n
n
n n n
x x dx
C x C x C x C x C dx
x x
n
xC x C x C x C x C
n n
C C C
n
2 2
2
2 2
2 1 2 1
n n n n C C n n 0.5 V
Theo ta có
2 13
2 8192 2
6
2 13 13
n n
n
n n
0.25
(6)O
4
A B
2 I
O' -2
5
M
Gọi M (0;m) thuộc 0y suy MA x A;yAm
; Gọi đường trịn (C) có tâm O’(4;0)
suy
'
' A 4; A O A MA
O A x y
A C
0,25
2 2
4
4 12
8 12
A A A A
A A
A A A
x y x my
x my
x y x
0,25
1
suy pt AB: 4x-my-12 = Vì AB qua điểm I(-2; 5) suy m = -4
Vậy M (0;-4) 0,5
Ta có AB4; 4; ; CD2;10; 8 AB CD 8 40 32 0 ABCDVậy
góc AB CD 900 0,5
Ta có chu vi tam giác ABM = AB +AM+BM chu vi nhỏ AM BM nhỏ
gọi
2;3; :
: :
1;5;
A vtpt
qua qua AB
P pt P x y z
CD n
(1) 0,25
VI
2
Gọi M giao điểm (P) CD pt CD:
4
3
x t
y t t
z t
thay (2) vào (1) t = suy M(0;1;-1)
Thử lại: MA2; 2;3 ; MB6; 2; 1 rõ ràng M; A; B khơng thẳng hàng
lúc MA MB vng góc với CD nên MA MB ngắn Vậy (0;1;-1) 0,25 ta có x; y; z >0 nên
2
xy yz xz xyz xyz
(7)xét
2
5
1
0 '( ) '( ) 1
4 2
t t
f t t f t f t t t
t t
BBT
5
- +
1 +
0
f f' t
suy f(t) nhỏ 5/4 Vậy GTNN P 15
4 xyz1
0,5
Hết