Đề thi thử đại học môn Toán - Số 6

Chú ý : Bài toán này có thể giải theo dạng chum mặt phẳng , tuy nhiên phương pháp này không đề cập trong chương trình mới hiện nay... Bám sát cấu trúc của Bộ Giáo Dục..[r]

Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục ĐỀ 01 Thi vào thứ hai hàng tuần A7 Bà Triệu – Đà Lạt I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( điểm ) Cho hàm số : y  x  3x  1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 Với giá trị nào m thì đường thẳng nối hai cực trị đồ thị hàm số 1 tiếp xúc với đường tròn C  : x  m 2  y  m  1  Câu II: ( điểm )  2x  5 Giải phương trình : x  x 2x Giải phương trình :  2cos2 x  cos x  2  sin x   cos x   Câu III: ( điểm ) Tính giới hạn : lim ln 1  cos 2x  cos 6x x Câu IV: ( điểm ) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a , SA   ABCD  và SA  a Gọi H và K là hình chiếu A trên SB và SD Giả sử N là giao điểm đường thẳng SC và  AHK  Chứng minh AN  HK và tính thể tích khối chóp S AHNK Câu V: ( điểm ) a3 b3 c3 Cho số thực dương a,b, c Chứng minh :    a  b  c  b c  a  c a  b  a b  c  II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần ( phần ) Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( điểm ) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến mặt phẳng  P  : x  4y   và Q  : 3x  y  z   , đồng thời vuông góc với mặt phẳng R  : 2x  z   Tìm trên giao tuyến hai mặt phẳng  P  , Q  câu điểm M cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng  S  : 2x  2y  z   khoảng ? Câu VII.a ( điểm ) Cho tập A  0;1;2; 3; 4; 5 ,từ A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác ,trong đó thiết phải có mặt chữ số và ? Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( điểm ) Viết phương trình mặt phẳng  P  qua O ,vuông góc với mặt phẳng Q  : x  y  z  và cách điểm M 1;2; 1 khoảng x   7t x   u   Cho hai đường thẳng d1  : y   2t và d2  : y   2u Lập phương trình đường thẳng d  đối xứng   z   3t z   u với đường thẳng d1  qua d2  Câu VII.b ( điểm ) Cho số phức z   3i Hãy viết dạng lượng giác số phức z GV đề : Nguyễn Phú Khánh – A7 Bà Triệu Đà Lạt , 42B/11 Hai Bà Trưng Đà Lạt Lop12.net Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục Đáp án đề thi I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm ) Câu I : ( điểm ) Cho hàm số : y  x  3x  1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 Học sinh tự làm Với giá trị nào m thì đường thẳng nối hai cực trị đồ thị hàm số 1 tiếp xúc với đường tròn C m  : x  m 2  y  m  12  Đồ thị hàm số 1 có cực tiểu A  2;  , cực đại B  0;  Phương trình đường thẳng nối hai cực trị hàm số x y 1 là  AB  :    AB  : 2x  y   2 C m  có tâm I m m; m  1 , bán kính R  Đường thẳng  AB  tiếp xúc với đường tròn C m  m   m  2  m    m  1  d Im ,AB    R    m       22   1 m   5 m  8 Câu II: ( điểm )  2x  5 Giải phương trình : x  x 2x Điều kiện : x      Bất phương trình cho viết lại :  x     x    1 x 4x    Đặt : t  x     , x  x 1 Khi đó    t  x  1 x   t2  4x 4x t  2 Phương trình 1  5t  t  1   2t  5t     t   Điều kiện t  , đó t   x   x  3 0  x    2  x   x      x  Khi đó       x    x  x  x       x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là : T   0;   1;    4 Giải phương trình :  2cos2 x  cos x  2  sin x   cos x   1 1  1  sin2 x   cos x   sin x  sin x cos x   2 sin2 x  3.sin x  cos x  sin x cos x   sin x  2 sin x    cos x   sin x      sin x  sin x  cos x   Lop12.net Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục   x   1n   n n    sin     sin x   sin x   3       sin x  cos x     x    k  k     t a n x    t a n     Câu III: ( điểm ) Tính giới hạn : lim ln 1  cos 2x  cos 6x x      2x  ln 1  sin   2x     Dễ thấy ln 1  cos 2x   ln 1  cos 2x     cos 6x cos 2x  sin   2x        ln 1  sin   2x   ln 1  sin   2x  cos  2x  2         cos  2x   cos 2x  cos 2x   sin   2x  sin   2x  2 sin cos 6x lim ln 1  cos 2x  x cos x    ln 1  sin  2x    1  lim   x  cos  2x   3 sin  2x     ,x   t  4 ln 1    sin 2t   lim ln 1  cos 2x  cos x  lim ln 1  cos 2x   lim t 0 x x  cos 6x sin 6t 4   sin 2t  2t ln 1    sin 2t    sin 2t  ln 1    sin 2t  t  lim  lim  sin 6t t 0 t 0   sin 2t  sin 6t   sin 2t  6t Câu IV: ( điểm ) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh a , SA   ABCD  và SA  a Gọi H và K là hình chiếu A trên SB và SD Giả sử N là giao điểm đường thẳng SC và  AHK  Chứng minh AN  HK và tính thể tích khối chóp S AHNK Chứng minh tứ giác AHNK có đường chéo vuông góc là AN  HK a3 (đvtt) dtS AHNK  dtAHNK SN  Hoặc dùng tỷ số thể tích : VSAHNK SH SN SK a3 (đvtt)    VABCD SB.SC SD Cách : Đặt t  x  Lop12.net Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục Câu V: ( điểm ) Cho số thực dương a,b, c Chứng minh : a3 b3 c3    a  b  c  b c  a  c a  b  a b  c  Phân tích bài toán :  Đẳng thức cần chứng minh đưa dạng : a3 b3 c3  m a  c   nb   k b  a   pc   i b  c   ja  b c  a  c a  b  a b  c   Giả sử  a  b  c Dự đoán đẳng thức xảy a  b  c a3  m a  c   nb  3 mna Đẳng thức xảy b c  a  m   a3    m a  c  nb  a     m a  a   na   b c  a  a a  a  a  b  c n    Tương tự cho các trường hợp khác Từ đó gợi mở hướng giải : Giải : a3 1  b  c  a   b c  a  b 1  c  b  a   c a  b  c 1  a  b  c   a b  c  a3 1 a Đẳng thức xảy khi:  b  c  a  b c  a  3 b 1 b Đẳng thức xảy khi:  c  b  a  c a  b  3 c 1 c Đẳng thức xảy khi:  a  b  c  a b  c  3 a b c Cộng vế theo vế ta :    a  b  c  b c  a  c a  b  a b  c  Dấu đẳng thức xảy : a  b  c  II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh làm hai phần ( phần ) Theo chương trình Chuẩn : Câu VI.a ( điểm ) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến mặt phẳng  P  : x  4y   và Q  : 3x  y  z   , đồng thời vuông góc với mặt phẳng R  : 2x  z   Giả sử đường thẳng d  là giao tuyến mặt phẳng  P  và Q  nên phương trình đường thẳng d  có dạng x   4t  x  4y   hay d  : y  t t R d  :  3x  y  z    z  13  13t   d  qua điểm M  5; 0; 13  và có vtcp u   4;1;13  , mặt phẳng R  có vtpt n R   2; 0; 1    Mặt phẳng cần tìm qua điểm M  5; 0; 13  có vtpt là n  u; n R   1;22; 2  nên phương trình có dạng 1  x    22  y     z  13    x  22y  2z  21  Chú ý : Bài toán này có thể giải theo dạng chum mặt phẳng , nhiên phương pháp này không đề cập chương trình Lop12.net Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục Tìm trên giao tuyến hai mặt phẳng  P  , Q  câu điểm M cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng  S  : 2x  2y  z   khoảng ? x   4t  Giao tuyến hai mặt phẳng  P  , Q  là d  : y  t t R  z  13  13t M  d   M   4t ; t ; 13  13t  , t  R d M ;S     4t   t    13  13t   2 2   2       30  23t 20   20  t  23 , M  ; 23 ;  Theo bài toán d M ;S   t  40 , M  ; 40 ;     23  23  Câu VII.a ( điểm ) Cho tập A  0;1;2; 3; 4; 5 ,từ A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác 30  23t  10 30  23t 2   30  23t  10    30  23t  10 ,trong đó thiết phải có mặt chữ số và ? Cách 1: Gọi số tự nhiên có chữ số khác lập từ tập A là: a 1a 2a 3a 4a , a  Số cách chọn a1 có cách Số cách chọn a 2a 3a 4a là số chỉnh hợp chập : A54 Suy : có 5.A54  600 (số) Trong 600 số trên thì: Số không có chữ số lập từ tập B  1;2; 3; 4; 5 là số chỉnh hợp chập : A54  120 (số) Số không có chữ số lập từ tập A  0;1;2; 4; 5 :Số cách chọn a1  có cách Số cách chọn a 2a 3a 4a là số hoán vị P4 Suy : có 4.P4  96 (số) Vậy theo yêu cầu bài toán ta có : 600- (120 + 96) = 384 (số) Cách 2: Số cách chọn số tự nhiên gồm chữ số khác ,trong đó thiết phải có mặt chữ số và 3,chính là số cách xếp chữ số từ tập A vào ô liên tiếp Vì thiết phải có mặt chữ số và nên ta chọn số và xếp trước Vì số không đứng vị trí đầu tiên nên có cách xếp Số có cách xếp vào vị trí còn lại.Số cách xếp số còn lại chính là số chỉnh hợp chập : A43 Vậy theo yêu cầu bài toán ta có : 4.4A43  384 (số) Theo chương trình Nâng cao : Câu VI.b ( điểm ) Viết phương trình mặt phẳng  P  qua O ,vuông góc với mặt phẳng Q  : x  y  z  và cách điểm M 1;2; 1 khoảng   Mặt phẳng  P  qua O nên có phương trình:  P  : ax  by  cz  0, a  b  c  , vtpt : n  a ;b; c        Mặt phẳng Q  có vtpt m  1;1;1 Vì  P   Q  nên n  m  n.m   a  b  c  1 Lop12.net Đề thi thử Đại học năm 2009 Bám sát cấu trúc Bộ Giáo Dục Mặt phẳng  P  cách điểm M 1;2; 1 khoảng a.1  b.2  c  1 a  b2  c2    hay 2   a  2b  c 2  a  b  c     Nếu c  thì 1  a  b , thay vào    b  loại vì a  b  c  a b  Nếu c  , chia vế phương trình 1 vế cho c , đặt u  , v  ta c c u  v    u  v    Chia vế phương trình   vế cho c ,ta    u  2v  12  u  v  12    Từ   ,   , ta tìm v  v   a  v   u  1   1  a  c   P  : x  z  c  v    u   5x  8y  3z  3 Chú ý : Bài toán này có thể giải theo dạng chum mặt phẳng , nhiên phương pháp này không đề cập chương trình x   7t x   u   Cho hai đường thẳng d1  : y   2t và d2  : y   2u Lập phương trình đường thẳng d  đối xứng   z   3t z   u với đường thẳng d1  qua d2  - Lấy điểm A, B phân biệt thuộc d1  - Xác định tọa độ các điểm A1, B1 đối xứng với A, B qua d2  - d  chính là đường thẳng qua A1, B1 Cho số phức z   3i Hãy viết dạng lượng giác số phức z   Dạng lượng giác z là z   cos  i sin  Theo công thức Moa-vrơ, ta có dạng lượng giác z là  3 5 5        z  32  cos  i sin   32  cos     i sin      3   3    Câu VII.b ( điểm ) Lop12.net