n g u y ễ n t r u n g t h à n h n g u y ễ n t r u n g t h à n h THI KHO ST LP 12 NM HC 2010 2011 LN TH NHT. Mụn thi: Toỏn. Thi gian lm bi: 180 phỳt. Cõu 1. (2 im) Cho hm s ( ) 422 21 m yxmxC=-++ (m l tham s). 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s vi 1. m = 2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m ( ) m C cú ba im cc tr v ba im cc tr ú to thnh mt tam giỏc u. Cõu 2. (3 im) 1) Gii phng trỡnh: 2 4 2 1tan 16cos42sin4. 41tan x xx x p - ổử +=- ỗữ + ốứ 2) Gii phng trỡnh: ( ) 2 212 xxxx-+-= 3) Gii bt phng trỡnh: ( ) +Ê- 24 0.5216 log4log24log.xxx Cõu 3. (3 im) 1) Cho lng tr ng ABCABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn nh A. Gúc gia AA v BC bng 30 0 v khong cỏch gia hai ng thng ú l a. Gi M l trung im AA. Tớnh th tớch t din MABC. 2) Trong mt phng Oxy, cho im E(-1;0) v ng trũn ( C ): x 2 + y 2 8x 4y 16 = 0. Vit phng trỡnh ng thng i qua E ct ( C ) theo dõy cung MN cú di ngn nht. 3) Trong khụng gian Oxyz cho vect ( ) 1;6;2 u r v mt phng ( ) :4110 Pxyz ++-= . Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song hoc cha giỏ ca vect ( ) 1;6;2 u r v vuụng gúc vi (P), ng thi tip xỳc vi mt cu ( ) 222 :26420. Sxyzxyz ++-+ = Cõu 4. (2 im) 1) Tớnh tớch phõn: 2 0 sin2. 34sincos2 xdx xx p +- ũ . 2) Tỡm m h phng trỡnh sau cú nghim: 13 13 xym yxm ỡ ++-= ù ớ ++-= ù ợ . HT n g u y ễ n t r u n g t h à n h n g u y ễ n t r u n g t h à n h P N CHNH THC MễN TON THI TH LN 1. Cõu Nụi dung Thang im Vi m = 1 ta cú hm s: 42 21yxx=-++ 1. Tp xỏc nh: R. 2. S bin thiờn. a) Gii hn: limlim xx yy đ-Ơđ+Ơ ==-Ơ b) Bng bin thiờn: 3 0 '44;'0 1 x yxxy x = ộ =-+= ờ = ở 0,25 x -Ơ - 1 0 1 +Ơ y + 0 - 0 + 0 - y 2 2 -Ơ 1 -Ơ 0,25 Hm s ng bin trờn mi khong ( ) ;1 -Ơ- v ( ) 0;1 , nghch bin trờn ( ) 1;0- v ( ) 1; +Ơ . Hm s t cc i ti ( ) 1;12 CD xyy === , t cc tiu ti ( ) 0;01 CT xyy===. 0,25 1. 1) 3. th - Giao im ca th vi Oy: ( ) 0;1 Giao im ca th vi Ox: ( ) ( ) 12;0;12;0-++ . Nhn xột: th nhn Oy lm trc i xng. 0,25 Ta cú: 32 '44 yxmx =-+ ; 32 '0440 yxmx =-+= ( ) 22 40 xxm -= . Hm s cú 3 cc tr khi v ch khi '0 y = cú 3 nghim phõn bit. 0,25 Tc l phng trỡnh 22 0 xm -= cú 2 nghim phõn bit khỏc 0. iu kin l 0.m ạ Vi 0m ạ ta cú: 0 '0 x y xm = ộ = ờ = ở . 0,25 I. 2) th hm s cú 3 im cc tr l: ( ) 0;1;A ( ) ( ) 44 ;1;;1BmmCmm-++. D thy ABAC = nờn tam giỏc ABC cõn ti A. tam giỏc ABC u ta phi cú ABBC = hay l: 0,25 ( ) 282 6 6 0 43 3 mloai mmmm m ộ = ờ +== ờ = ở g Vy 6 3m = . 2 4 2 1tan 16cos42sin4 41tan x xx x p - ổử +=- ỗữ + ốứ (1) iu kin: 2 xk p p ạ+ . () 2 11cos2cos2sin2cos2 2 xxxx p ộự ổử ++=- ỗữ ờỳ ốứ ởỷ 0,25 ( ) ( ) 2 1sin2cos21sin2 xxx -=- 0,25 ( ) ( ) 1sin21sin2os20 sin21 12cos2 4 xxcx x x p = = ộ ờ ổử ờ =- ỗữ ờ ốứ ở 0,25 II. 1) 4 xk xk p p p ộ =+ ờ ờ = ở . Kt hp iu kin ta cú: ; 4 xkxk p pp ==+ . 0,25 ( ) 2 212 xxxx-+-=- (2) iu kin: 1 x . t ( ) 1,0 txt =- , ta cú phng trỡnh: ( ) ( ) 2 222 131tttt+-+=- 432 320tttt-+-+= 0,25 ( ) ( ) 2 2 120 ttt -++= 0,25 ( ) 2 1 1 20 t t ttVN = ộ = ờ ++= ở 0,25 II. 2) Vi 1t = ta cú 112xx -== . Vy 2.x = 0,25 iu kin 0 x > . Bt phng trỡnh ó cho tng ng vi ( ) 2 222 log2log24log xxx +Ê- t 2 logtx = ta cú: ( ) 2 224ttt +Ê- 0,25 ( ) 2 2 2 20 40 224 tt t ttt ỡ + ù ù - ớ ù +Ê- ù ợ 0,25 II. 3) ( ] [ ) ( ] ( ] [ ) 2 2 ;20; 20 4;4 18320 ;216; t tt tt tt t ỡ ẻ-Ơ-ẩ+Ơ ỡ + ù ù Êẻ-Ơ ớớ ùù -+ ẻ-Ơẩ+Ơ ợ ợ 0,25 n g u y ễ n t r u n g t h à n h n g u y ễ n t r u n g t h à n h 02 t ÊÊ hoc 2 t Ê- . Vi 02t ÊÊ ta cú 2 0log214xx ÊÊÊÊ . Vi 2 t Ê- ta cú 2 1 log20 4 xx Ê-<Ê Vy 14x ÊÊ hoc 1 0 4 x<Ê. 0,25 M I C' B' A B C A' Gi I l trung im BC, O l trung im BC. ABC.ABC l lng tr ng v tam giỏc ABC vuụng cõn ti A nờn ta cú: ( ) '//'' AABCCB v ( ) ' '' ', AIAA AIBC AIBCCB AIBB ^ ỡ ^ ỡ ù ị ớớ ^ ^ ù ợ ợ , suy ra ( ) ';' AIdAABCa == , do ú 22 ABAIa == v 22 BCAIa == . 0,25 Ta cú gúc gia AA v BC bng gúc gia BB v BC. Do ú: ã 0 ''30BBC = . 0 '''cot3023BBBCaị== 0,25 2 '' 116 '.''.3.2 222 MAC a SMAACaaị=== Ta cú ( ) '' AA' BAAC BAACCA BA ^ ỡ ị^ ớ ^ ợ ( ) ( ) ;''2 dBMACBAa ị== 0,25 III 1) 23 '''' 116 2. 332 3 MABCMAC aa VBASaị=== 0,25 Ta cú ( ) 4;2,6IR = ln lt l tõm v bỏn kớnh ca (C). Thay ta im E(-1; 0) vo v trỏi ca phng trỡnh ng trũn (C) ta c s -23 < 0. Do ú E nm trong ng trũn (C). 0,25 Gi d l ng thng i qua E cn tỡm, H l hỡnh chiu ca I trờn d, A, B l cỏc giao im ca d vi (C). Ta cú: 2 22 ; 2 AB RIHIHIE ổử =-Ê ỗữ ốứ 0,25 III 2) suy ra AB bộ nht khi v ch khi IH ln nht, khi v ch khi HE , 0,25 Khi ú d l ng thng qua E v vuụng gúc vi IE nờn d cú phng trỡnh: ( ) ( ) 512005250xyxy++-=++=. 0,25 (S) cú tõm ( ) 1;3;2 I - bỏn kớnh 4 R = . (P) cú vect phỏp tuyn l ( ) 1;4;1 n r . Ta cú: ( ) 411114 ;;;2;1;2 622116 anu ổử ộự ===- ỗữ ởỷ ốứ rrr 0,25 III Vỡ (Q) vuụng gúc vi (P) v song song hoc cha giỏ ca u r nờn ( ) 2;1;2a - r l mt vect phỏp tuyn ca (Q), (Q) cú phng trỡnh dng: 220xyxD -++= . 0,25 Vỡ (Q) tip xỳc vi (S) nờn: ( ) ( ) ;4 dIQ = 0,25 3) ( ) ( ) 2 22 2.11.32.2 3 4 21 212 D D D ++ = ộ = ờ =- ở +-+ Vy cú hai mt phng cn tỡm l: 2230;22210xyzxyz -++=-+-= 0,25 22 2 00 sin2.2sin.cos. 34sincos22sin4sin2 xdxxxdx I xxxx pp == +-++ ũũ 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 22 000 sin.sinsinsin 1sin 1sin1sin xdxdxdx x xx ppp ==- + ++ ũũũ 0,5 IV 1) 2 2 0 0 11 ln1sinln2 1sin2 x x p p =++=- + 0,25 iu kin: 13;13 xy -ÊÊ-ÊÊ . Tr phng trỡnh mt cho phng trỡnh hai theo v ta cú: 1313xxyy+ =+ (*) 0,25 Xột hm s ( ) 13 fttt =+ trờn [ ] 1;3 - . () ( ) 11 '0,1;3 2123 ftt tt =+>"ẻ- +- Suy ra ( ) ft ng bin trờn [ ] 1;3 .Phng trỡnh (*) cú dng ( ) ( ) fxfy= , do ú xy = th vo h ta cú phng trỡnh: 13 xxm ++-= (**). 0,25 IV 2) Bi toỏn tr thnh tỡm m phng trỡnh (**) cú nghim. Xột hm s ( ) 13 gxxx =++- trờn [ ] 1;3 - . Ta cú: () 11 ' 2123 gx xx =- +- ( ) '01gxx==. Ta cú bng bin thiờn: x -1 1 3 g(x) + 0 - g(x) 22 2 2 0,25 n g u y Ô n t r u n g t h µ n h n g u y Ô n t r u n g t h µ n h . Dựa vào bảng biến thiên ta có [ ] ( ) [ ] ( ) 1;31;3 max22;min2gxgx == Hệ có nghiệm khi và chỉ khi: 222m££ Vậy 222 m££ . 0,25 TỔNG 10,0 CHÚ Ý: HS giải theo cách khác mà vẫn đúng thì vẫn được điểm tối đa. HẾT . 0,25 iu kin: 13; 13 xy -ÊÊ-ÊÊ . Tr phng trỡnh mt cho phng trỡnh hai theo v ta cú: 131 3xxyy+ =+ (*) 0,25 Xột hm s ( ) 13 fttt =+ trờn [ ] 1 ;3 - . () ( ) 11 '0,1 ;3 21 23 ftt tt =+>"ẻ- +- . trỡnh (**) cú nghim. Xột hm s ( ) 13 gxxx =++- trờn [ ] 1 ;3 - . Ta cú: () 11 ' 21 23 gx xx =- +- ( ) '01gxx==. Ta cú bng bin thi n: x -1 1 3 g(x) + 0 - g(x) 22 2 2 . THC MễN TON THI TH LN 1. Cõu Nụi dung Thang im Vi m = 1 ta cú hm s: 42 21yxx=-++ 1. Tp xỏc nh: R. 2. S bin thi n. a) Gii hn: limlim xx yy đ-Ơđ+Ơ ==-Ơ b) Bng bin thi n: 3 0 '44;'0 1 x yxxy x = ộ =-+= ờ = ở