Phòng GD & ĐT Thanh Oai đề thi học sinh giỏi lớp Môn : Toán Năm học : 2014 -2015 Thêi gian lµm bµi: 120 Trêng THCS Thanh Thùy Bài 1.( đ) Cho biểu thức P= + ( víi x≥ ; x≠ 1) a) Rót gän biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức với x = + +2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Bài 2( đ) 1) Giải phương trình sau: a) x + 4x + = 2x + b) x - x - x = 2)Tìm nghiệm tự nhiên phương trình x + y + = xyz Bài 3( 4đ) a) Cho x;y;z số thỏa mÃn ®iỊu kiƯn 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = Tính giá trị biểu thức A = (x- 4) 2015 + ( y - 4) 2015 + (z - 4) 2015 b) Cho x,y,z > 0; x + y + z = Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc B= + + Bài ( đ ) Cho hai đường tròn ( O; R) ( O’; R’) tiếp xúc A( R > R’) Vẽ dây AM đường tròn (O) dây AN đường tròn ( O’) cho AM AN Gọi BC tiếp tuyến chung hai đường tròn (O)và (O’) với B (O)và C (O’) Chứng minh OM // O’N Chứng minh : Ba đường thẳng MN, BC, OO’ đồng qui Xác định vị trí M N để tứ giác MNO’O có diện tích lớn Tính giỏ tr ln nht ú Bài 5( 1đ) Không dùng máy tính, bảng số với 4chữ số thập phân CMR sin75 = ThuVienDeThi.com Híng dÉn chÊm Bài Bài (6 đ ) a P = - + Nội dung Điểm 0,5đ 0,5đ = = = 0,5đ = 0,5đ = = b Đặt y = 0,75 + y = 7+5 + - + 3( + ) 0,25đ y = 14 - 3y y +3y -14 = ………… (y- 2)( y + 2y + 7) = ( y + 2y + + ≥ 6) …… y = x = Thay x =4 vµo biĨu thøc rót gọn P ta P=4 c P = = … = x +3 + -6 0,25® Áp dụng bất ng thc Cụ si số dương ta cã P = x +3 + -6≥2 -6 0,25® 0,5® P ≥ 10 - = VËy Min P = x +3 = 0,25® 0,25® 0,25® 0,25® x=4 0,5đ 0,5đ 0,25đ Bi (4 2) Giải pt a x + 4x + = 2x + ®k : 2x+ 3≥ x ≥ … ( x +1) + ( 2x + - 1) = Giải pt tìm ®ỵc x = - ( x= -1) KL ThuVienDeThi.com 0,25® 0,25đ 0,5đ 0,25đ 3x - 3x - 3x = b x - x - x = 0,25® 0,25® 0,25® 4x = x + 3x + 3x + 4x = ( x + 1) x = x + x( - 1) = x= = 0,25đ 2)Tìm nghiệm tự nhiên phương trình x + y + = xyz (*) Ta thÊy x, y b×nh đẳng nên giả sử x y ta có x = y ta cã (*) 2x + = x z x(xz - 2) = x = vµ z = x > y Ta cã (*) 2x +1 > xyz 2x ≥ xyz 2≥ yz ( v× x ≠0) y = ; z = x = hc y =2 ; z =1 x =3 nghiƯm cđa pt lµ (x ;y ;z) = ( ;1 ;3) ; ( ;1 ;2) ;(1 ;2 ;2) ; (3 ;2 ;1) ;(2 ;3 ;1) 0,25® 0,25đ 0,5đ 0,5® 0,5® Bài (2đ) a 4x + 2y + 2z - 4xy - 4xz + 2yz - 6y -10z + 34 = 4x + y + z - 4xy -4xz + 2yz + y - 6y + + z - 10z +25 =0 ( 2x - y -z) + ( y - 3) + ( z - 5) = 1đ 0,5đ 2x-y-z =0 x =4 y- =0 y = z- 5= z =5 VËy ( 4- 4) 2015 + ( - 4) 2015 + ( - 4) 2015 = b Do x + y+ z = nªn B = ( x + y + z) B = ( x + y + z) ( + + ) 0,5đ 0,5đ 0,5® = + 4+ + ( + )+( + )+( + ) Áp dụng bt ng thc Cosi với số dương ta + ≥4; + ≥ 12 ; + ≥6 0,25® B ≥ + + + + 12 + = 36 0,25® Min B = 36 y = 4x y = 2x 4z = 9y z = 9x z = 3x x= y= x+y+z=1 x+y+z=1 ThuVienDeThi.com z= : 0,5đ Vậy Min B = 36 chØ x = ;y= ;z= 0,25® Bài (5đ = = ( 180 - => OM //O’N Gọi P giao điểm MN OO’ Có : 2,0đ PO' O' N R' PO OM R 0,75đ Gọi P’ giao điểm BC OO’ Do OB // O’C => P' O' O' C R' P' O OB R => P = P’ -> đpcm MNO’C hình thang có R R' R R' R R' O' H OO' 2 2 Dấu “ = “ xảy H O OM OO’ O’N OO’ S= OM O' N O' H 0,75đ Vậy Max S = Bài ( 1đ) 1,0 R R'2 0,5đ B H 1.VÏ tam gi¸c ABC cã A = 90 ; A C = 15 vµ BC = 2a ( a tïy ý ; a > 0) Gọi I trung điểm BC , ta cã = 30 IA = IB + IC = a vµ AIB = a cos 30 = Kẻ AH BC Thì IH = AIcos AIH I C 0,25® = a sin 30 = AH = AI sin AIH CH = CI + IH = a + 0,25® = AC = CH + AH = + = a (2 + ) = = AC = a Sin 75 = SinB = = = … = 0,25đ 0,5 0,25 ThuVienDeThi.com Chú ý: HS làm cách khác cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com ... + ( y - 3) + ( z - 5) = 1đ 0,5đ 2x-y-z =0 x =4 y- =0 y = z- 5= z =5 VËy ( 4- 4) 2015 + ( - 4) 2015 + ( - 4) 2015 = b Do x + y+ z = nªn B = ( x + y + z) B = ( x + y + z) ( + + ) 0,5đ 0,5đ 0,5®... 0,25® B ≥ + + + + 12 + = 36 0,25® Min B = 36 y = 4x y = 2x 4z = 9y z = 9x z = 3x x= y= x+y+z=1 x+y+z=1 ThuVienDeThi.com z= : 0,5® VËy Min B = 36 vµ chØ x = ;y= ;z= 0,25® Bài (5đ = = (... + ) = = AC = a Sin 75 = SinB = = = … = 0,25® 0,5đ 0,25đ ThuVienDeThi.com Chú ý: HS làm cách khác cho ®iÓm tèi ®a ThuVienDeThi.com