Đề thi học sinh giỏi môn: Toán học 849068

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TĨNH GIANĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi : Tốn học Thời gian: 120 phút khơng kể thời gian phát đề Câu 1:(4 điểm) Cho biểu thức: 16  x x  2x x 1  3x  :   A = x   2 x x   x  x  x  x 4 a) Rút gọn A b) Tìm x để A  Câu 2:(4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) Giải phương trình sau : x (x - 7) - 36x    x  x  x  10 x  24 x  x  18 Câu :(4 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên 6x  2xy  y  10 b) Cho a1 , a2 , a2013 số tự nhiên có tổng 20132014 Chứng minh rằng: B  a13  a23   a2013 chia hết cho Câu : (6,0 điểm) 1) Cho ABC đều,H trực tâm, đường cao AD M điểm cạnh BC Gọi E,F hình chiếu M AB, AC Gọi I trung điểm AM; ID cắt EF K a)Chứng minh: DEIF hình thoi b)Chứng minh: Ba điểm M,H,K thẳng hàng 2) Cho hình bình hành ABCD.Trên cạnh AB BC lấy hai điểm M N cho AN = CM.Gọi K giao điểm AN CM CMR: KD tia phân giác góc AKC Câu 5(2,0 điểm) Cho số dương a,b thỏa mãn a+b 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= + + + ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TĨNH GIA ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2016- 2017 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm)   x3   x2  x  : Cho biểu thức A =  với x khác -1  1 x  1 x  x  x a, Rút gọn biểu thức A b, Tính giá trị biểu thức A x  1 c, Tìm giá trị x để A < Bài (4 điểm) 1)Giải phương trình x  4x  x  5x  2 x 1 2x  2)Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x  dư 10, f(x) chia cho x  dư 24, f(x) chia cho x  thương 5x cịn dư Bài (4 điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  2x  3x   y3 Tìm số nguyên a cho a  số nguyên tố Bài (6 điểm) Cho hình vuông ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE  CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Bài 5(2 điểm) Cho số a, b thỏa mãn hệ thức sau :�3 ‒ 3�2 + 5� ‒ 2017 =0 ,�3 ‒ 3�2+5b +2011=0 Hãy tính : a  b PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS HAI HÀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2016-2017 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 1,5 điểm) Thực phép tính: a) 216 – ( + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) b) ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) ThuVienDeThi.com  x y 1  x  y c)    : x  y       :  y x  y  y x  Bài 2: ( điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (xy + 1)2 – 2(x + y)2 b) 3x2 + 11x + c) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 10 Bài 3: (2 điểm) a) Xác định hệ số a b cho đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + dư -6, chia cho x – dư 21 4x2  2x  b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x2 Bài :(1 điểm) Cho 3a2 + b2 = 4ab Tính giá trị biểu thức P  a b ab Bài 5: ( 2,5 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, H I hình chiếu B D AC, gọi M, O, K trung điểm AH, HI CD a) Chứng minh: B D đối xứng qua O b) Chứng minh: BM  MK Bài 6: ( điểm) Cho hình bình hành ABCD M điểm cạnh CD AM cắt BD O Chứng minh rằng: SABO = SDMO + SBMC -Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG TRƯỜNG THCS HAI HÀ MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2016-2017 ĐÁP ÁN Bài a) –(2+ + 1)(24 + 1)(28 + 1) ( 1,5 đ) =216 – (2 – 1)( + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) 216 1)(22 ThuVienDeThi.com ĐIỂM (Mỗi ý 0,5 đ) =216 – ( 22 - 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) =216 – (24 - 1)(24 + 1)(28 + 1) =216 – (28 - 1)(28 + 1) =216 – (216 - 1) =1 b) ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) Đặt phép chia: Vậy: ( 2x3 – 26x – 24) : ( 2x – 8) = x2 + 4x + 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 đ 0,25 đ  x y   1  x  y c )    :  x  y       :  y x  y  y x  Bài 2: ( đ)  x2  y 2( x  y )  y    x  y xy x y xy    0,125đ  x  y 2( x  y )  y   xy  x  y  xy 1  x 0.125đ 0,25đ a) (xy + 1)2 – 2(x + y)2 =( xy + 1)2 -  x  y  0,25 đ =[ xy + + (x + y)].[xy + - (x + y)] b) 3x2 + 11x + = (3x2 + 9x )+ (2x + 6) = 3x( x + 3) + 2(x + 3) = (x+ 3)(3x + 2) Bài 3: (2 đ) c) x2 + 2xy + y2 – 3x – 3y – 10 = (x2 + 2xy + y2 ) – (3x + 3y) – 10 =( x + y)2 – 3(x + y) – 10 =[ ( x + y)2 + 2(x + y)] – [5(x + y) + 10] =(x + y) (x + y + 2) – 5(x + y + 2) =(x + y + 2)(x + y – 5) a) Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + dư -6 => - a + b = -4 (1) Đa thức 2x3 + ax + b chia cho x - dư 21 => 2a + b = (2) Từ (1) (2), suy a = 3; b= -1 PHÒNG GDDT TĨNH GIA TRƯỜNG THCS LƯƠNG CHÍ 0,25 đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ 0,125 đ 0,125 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MƠN: TỐN Năm học: 2016-2017 Thời gian làm bài: 120 phút ThuVienDeThi.com Câu I (4,0 điểm) Cho biểu thức P  x 1 x2  x  x2  :     x2  x   x x 1 x2  x  a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P  1 c) Tìm giá trị nhỏ P x > Câu II (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + y + z) – x3 – y3 – z3 Giải phương trình : 1 1    x  x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18 Câu III (4,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  xy  y  x y 2 Chứng minh rằng: Nếu 2n + 3n + (n  N) số phương n chia hết cho 40 Câu IV (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân b) Chứng minh : ME // BN c) Từ C kẻ CH  BN ( H  BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Câu V: (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thoả mãn abc  Chứng minh : 1    a (b  c) b (c  a ) c (a  b) HẾT ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM THI Mơn thi: Tốn Năm học: 2016– 2017 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu Đáp án Ý x  ĐKXĐ :  x   x  1  a đ 0,5đ Khơng có đk x  -1 trừ 0,25đ Câu 1( điểm) P x x  1  ( x  1)( x  1)  x2  x :     x( x  1) x( x  1)  x  1  x( x  1) 0,5đ P x x  1 x   x   x : x( x  1) x  1 0,5đ P b đ Điểm x x  1 x  1 : x x  1 x( x  1) x 1 x2    x( x  1) x  12 x 1 x 1 1 x2 1   P P với x 1 2  2x2   x   2x2  x 1  x  ĐKXĐ 0,5đ 0,25đ 0,25đ  2x2  2x  x 1   2 x  1x  1  0,25đ ThuVienDeThi.com x ( TM ĐKXĐ) Hoặc x = - ( không TM ĐKXĐ) (Nếu không loại x = - trừ 0,25 điểm ) Vậy P  P c đ 1 x 2 0,25đ x2 x   x  1x  1  1    x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 P  x 1 1  x 1  2 x 1 x 1 Vì x > nên x   0,25đ > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho x 1 số dương x – ta có: x 1 Dấu “ = “ xẩy x – =     a đ 0,25đ x 1 2 x 1 2 x  1 x 1 x 1 ( x – 1)2 = x – = ( x – > ) x = ( TM ) Vậy giá trị nhỏ P x = 0,25đ 0.5đ (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = x  y  z   x    y3  z3     = y  z x  y  z   x  y  z x  x   y  z  y  yz  z   Câu 2( điểm)    = y  z  3x  3xy  3yz  3zx = y  z  x x  y   z x  y  = x  y y  z z  x  0,25đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ x2+9x+20 = ( x+4)( x+5) ; b đ x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; ĐKXĐ : x  4; x  5; x  6; x  7 ThuVienDeThi.com 0,5đ điểm) Phương trình trở thành : 1 1    ( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18 1 1 1       x  x  x  x  x  x  18 0,5đ 1   x  x  18 Suy ra: 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) 0,5đ  (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2 ( Thỏa mãn ĐKXĐ) 0,5đ Thêm xy vào hai vế: x  xy  y  x y  xy  ( x  y )  xy ( xy  1) 0,5đ a đ Ta thấy xy xy + hai số nguyên liên tiếp, có tích số phương nên tồn số 0,5đ Xét xy = Từ (1) có x  y  nên x = y = Xét xy + = Ta có xy = -1 nên (x , y) = (1 ; -1) (-1 ; 1) 0,5đ Câu 3(4,0 điểm) Thử lại, ba cặp số (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; 1) nghiệm phương trình cho 0,5đ b) (2,0 điểm) Do 2n + số phương lẻ nên 2n + chia cho dư 1, suy n số chẵn Vì 3n + số phương lẻ nên 3n + chia cho dư 1, suy 3n   n  (1) b đ Do 2n + 3n + số phương lẻ nên có tận 1; 5; chia cho có dư 1; 0; ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,5đ 0,25đ Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + , 2n + 3n + chia cho dư Suy 2n  3n   n  (2) 0,5đ Từ (1) (2)  n  BCNN(5; 8) hay n  40 0,5 E A B Hình vẽ O M H' H D C Câu 4( điểm) a đ b 2đ Xét ∆OEB ∆OMC 0,25đ Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC 0,5đ ฀ C ฀  450 Và B 1 0,5đ BE = CM ( gt ) 0,25đ Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) 0,25đ ฀ O ฀  OE = OM O ฀ O ฀  BOC ฀  900 tứ giác ABCD hình vng Lại có O 0,5đ ฀ O ฀  EOM ฀ O  900 kết hợp với OE = OM  ∆OEM vuông cân O 0,5đ Từ (gt) tứ giác ABCD hình vng  AB = CD AB // CD 0,5đ 0,5đ AM BM  + AB // CD  AB // CN  ( Theo ĐL Ta- lét) (*) MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD  AE = BM thay vào (*) Ta có : AM AE  ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét)  MN EB Gọi H’ giao điểm OM BN ฀ ฀ ' E ( cặp góc so le trong)  OH Từ ME // BN  OME ฀  450 ∆OEM vuông cân O Mà OME ฀ ' B  450  C ฀  MH c N  ∆OMC ฀ ∆BMH’ (g.g) ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 1đ 0,25đ OM MH ' ฀ ฀  CMH ' ( hai góc đối đỉnh)  ,kết hợp OMB OB MC ฀ ฀ ' C  450  ∆OMB ฀ ∆CMH’ (c.g.c)  OBM  MH  0,25đ ฀ ' C  BH ฀ ' M  MH ฀ ' C  900  CH '  BN Vậy BH Mà CH  BN ( H  BN)  H  H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng 0,25đ ( đpcm) Câu ( điểm) Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c  R x, y, z > ta có a b c a  b  c     x y z x yz a b c Dấu “=” xảy    x y z Thật vậy, với a, b  R x, y > ta có (*) 0,75đ a b a  b    x y x y  a (**) y  b x x  y   xy a  b   bx  ay   (luôn đúng) Dấu “=” xảy  a b  x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a b c a  b  c a  b  c       x y z x y z x yz a b c Dấu “=” xảy    x y z 1 2 1 Ta có:    a  b  c a (b  c) b (c  a ) c (a  b) ab  ac bc  ab ac  bc 2 0,5đ Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 1 1 1 1 1         a  b2  c2   a b c    a b c  ab  ac bc  ab ac  bc 2(ab  bc  ac) 1 1 2    a b c 1 2 11 1 a Hay  b  c      ab  ac bc  ab ac  bc  a b c  1 2 1 Mà    nên a  b  c  a b c ab  ac bc  ab ac  bc ThuVienDeThi.com (Vì abc  ) 0,25đ 0,25đ Vậy 1    a (b  c) b (c  a ) c (a  b) (đpcm) Lưu ý : Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TĨNH GIA NĂM HỌC 2016 – 2017 Mơn thi : Tốn học Thời gian: 150 phút không kể thời gian phát đề Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: x 1  16  x x  x  x   :  A= x  2 x x   x  4x2  4x  x 4 a) Rút gọn A b) Tìm x để A  Câu 2: (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) Giải phương trình sau : Câu : (4 điểm) x (x - 7) - 36x    x  x  x  10 x  24 x  x  18 a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x2+(x+y)2 = (x+9)2 b) Chứng minh rằng: B = n - 14n + 49n - 36n chia hết cho 210 với n  Z Câu : (6,0 điểm) 1) Cho ABC đều,H trực tâm, đường cao AD M điểm cạnh BC Gọi E,F hình chiếu M AB, AC Gọi I trung điểm AM; ID cắt EF K a)Chứng minh: DEIF hình thoi b)Chứng minh: Ba điểm M,H,K thẳng hàng 2) Cho hình bình hành ABCD.Trên cạnh AB BC lấy hai điểm M N cho AN = CM.Gọi K giao điểm AN CM CMR: KD tia phân giác góc AKC Câu (2,0 điểm) Cho số dương a,b thỏa mãn a+b 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= + + + ThuVienDeThi.com 0,25đ HƯỚNG DẪN CHẤM Toán Câu Đáp án hướng dẫn chấm ý 0.25đ ĐKXĐ: x≠  2; x≠ ;x ≠ 16 x  x  3  x x   2  x x   x 1 A= x   : x  2x  2   xx   x2 xx   x  2x  2 x  xx  2 = x x 1  3x 3x  = x 1 1 x 3x Vậy A = 1 x A 0 a (2đ) = x 0.25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ   0.25đ 0.25đ  b (2đ) Điểm 0,25đ  0,25đ Kết hợp với đk x ≠ với < x < A  0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ThuVienDeThi.com   x x   36 x  0.5đ    xxx   6.xx   6  xx  x   x  x  6  xx  x  x  x  x  x    x x x   36 2 2 a (2đ) 0.5đ 3  xx  1xx  1 6x  1xx  1 6      xx  1 x  x  x  1 x  x   xx  1( x  2)( x  3)( x  1)( x  2)( x  3) ĐKXĐ: x≠ -1;-4;-6;3     x  1x  4 x  4x  6 x  3x  6   1   1             x 1 x    x  x    x  x      x 1 x  3x  3 4x  1x  3 3x  1    3x  1x  3 3x  1x  3 3x  1x  3 b (2đ) 0.5đ 0.5đ 0,25đ 0,25đ  x2  8x   xx     x = x = (thỏa mãn điền kiện) 0,25đ Vậy tập nghiệm phương trình: S = {0;2} 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ a (2đ) (x+y)2- 18x = 81 (x+y)2 -18(x+y)+81 = 162 – 18y (x+y-9)2 = 9(18 - 2y) (1) Suy 18 – 2ylà số phương chẵn nhỏ 18( Vì y>0) 18-2y = 0suy y = 9.Từ (1) x= 0(Loại) 18-2y = suy y =7.Từ (1) x=8 18-2y=16 suy y=1 Từ(1) x=20 Thửlại phương trình cóhai cặp nghiệm ngun dương là: (8;7) (20;1) ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Ta có: B= n - 14n + 49n - 36n = n (n - 7) - 36n  b (2đ)  B = n3 n   36n  n  3n  n  1nn  1n  n  3 Do đó: B tích số nguyên liên tiếp  B  2; B  ; B  ;B  Mà số 2;3;5;7 đôi nguyên tố  B  (2.3.5.7) hay B  210 Với n  Z EMA vng E có EI đường trung tuyến  EI=IM=IA= AM  IAE cân I Góc EIM = góc EAI (Góc ngồi tam giác) Tương tự: Góc MID = 2góc IAD DI = AM 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.5đ A a) (2đ) 0.5đ 0.5đ N I H F K E B Suy ra: CMTT ta có: M D C EI = DI góc EID = 600  IED  EI=ED=ID IDF  ID=DF=IF  DEIF hình thoi Vì DEIF hình thoi  K trung điểm EF ID Gọi N trung điểm AH b (2đ) Do ABC có H trực tâm  H trọng tâm  AN=NH=HD MH  KH CM : NI //MH  theo tiên đề Ơclit NI // KH hay: M,H,K thẳng hàng 2) (2đ) ThuVienDeThi.com 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0,25đ 0.25đ 0,25đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0,25đ A M l B K J D N C Kẻ DI AK ; DJ  CK Ta có: SAND = AN.DI = 0.5đ (do chung đáy CD,cùng đườngcao hạ từ M ) Từ (1) (2) suy ra: AN.DI = CM.DJ  DI = DJ (do AN = CM) CM: DIK = DJK  Góc IKD = Góc JKD  KD tia phân giác góc AKC + Vậy  + 0.5đ SABCD (1) (do chung đáy AD,cùng đườngcao hạ từ N ) SCDM = CM.DJ = SABCD (2) Ta có: 0.25đ   (*) 0.25đ 0.25đ 0,25đ 0,25đ  (x+y)  4xy (vì x > ; y > 0)  (x-y)  (Đúng)  0,25đ Từ (*)  (2đ) 0,5đ  Với a,b >0 nên ta áp dụng bất đẳng thức câu a ta có: 1 1    M  ab a  ab b  ab a  b   1          2ab a  b   a  ab b  ab  2ab 4 10      10 2 a  b  a  b  a  b  a  b 2 Dấu xảy  a  b  Vậy Min M = 10  a  b  ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn Thời gian làm 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức B =  - x3  - x2 (với x  1 ) - x :  1-x  1-x-x +x 1) Rút gọn biểu thức B 2) Tìm giá trị x để B < 3) Tính giá trị biểu thức B với x thỏa mãn: x - = Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x + 3x + 4x + 3x + = b) Chưng minh đa thức x4-4x3+5ax2-4bx+c chia hết cho x3+3x2-9x-3 a+b+c=0 Bµi 3(4,0điểm a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 + 3xy – 2y2 = b) Tìm số tự nhiên x cho x2+2x +200 số chình phương Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E 1) Chứng minh: EA.EB = ED.EC 2) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD+CM.CA có giá trị khơng đổi 3) Kẻ DH  BC H  BC  Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ  PD Bài 5: (2,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn biểu thức: Q = 2x + +  Tìm giá trị nhỏ x y + 3y2 + 2 x y ThuVienDeThi.com PHÒNG GD&ĐT Bài HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Tốn Nội dung 1) Với x  1 thì:    1+x 1-x+x  -x 1+x   1-x A= 1+x+x -x : 1+x     1+x 1-2x+x  1,0  1-x  1-x  = x 0,5 = x +1 : 1-x 1+x    1-x  +1  2) Với x  1 B < x +1 1-x   (1) Vì x +1 với x nên (1) xảy  x   x  Vậy B < x > Tại x = -1 không thỏa mãn điều kiện x  1 Tại x = thỏa mãn điều kiện x  1 Tính B = - 656 x + 3x + +     x2  x + x2 1 = y x  = y2 – 2, ta PT: y2 + 3y + = (*) x x Giải (*) y1= -1 ; y2 = -2 Với y1= -1 ta có x  = -1 nên x2 + x + = PT vô nghiệm x Với y1= -2 ta có x  = -2 nên x+1  , x = -1 x Vậy S= 1 ThuVienDeThi.com 0,5 =0  1   x    4  x2  x  Đặt x  2b (2.0) 0,5 0,25 0,25 1) x + 3x + 4x + 3x + = Ta thấy x = không nghiệm PT Chia hai vế phương trình cho x2  0, ta 2a (2,0đ) 0,25 0,5 0,25 3) Với x - = x = -1; x = 0,5  = x +1 : (4,0đ) Điểm 0,5 0,5 0,25 0,25 x4-4x3+5ax2-4bx+c =(x3+3x2-9x-3)(x+m) =x4+(3+m)x3+(3m-9)x2-(9m+3)x-3m Suy m+3=-4  m=-7 3m-9=5a  a=-6 9m+3=4b  b=-15 -3m=c  c=21 Vay a+b+c=-6-15+21=0 0,25 0,5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 2) Ta có 2x2 + 3xy – 2y2 =  x  xy  xy  y   x( x  y )  y ( x  y )   (2 x  y )( x  y )  3a ( 2đ ) 0,5 Vì x, y nguyên nên 2x-y, x+2y nguyên ước Mà = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1) Ta có bảng sau: 2x-y -1 x+2y -7 x 1,8(loại) -1,8(loại) y 2,6(loại) -2,6(loại) Vậy nghiệm phương trình ( x, y )  (3; 1);(3;1) Giả sử x2+2x +200 =a2 (a  N; a >14)  a2-(x+1)2=199 (a+x+1)(a-x-1)=199.1 a  x   199  x=198 Vì a+x+1>a-x-1 nên  a  x   Vậy với x=198 x2+2x +200 số chình phương b(2đ) ThuVienDeThi.com 0,5 -1 -7 -1 -3 0,75 0,25 0.5 0.5 0.5 0,5 E D A M Q B C P I H 1) Chứng minh EA.EB = ED.EC - Chứng minh  EBD đồng dạng với  ECA (g-g) EB ED (6,0đ) - Từ suy EC  EA  EA.EB  ED.EC 2) Kẻ MI vng góc với BC ( I  BC ) Ta có BM BI    BM BD  BI BC (1) BC BD 0,5  BIM đồng dạng với  BDC (g-g) CM CI   CM CA  CI BC (2) Tương tự:  ACB đồng dạng với  ICM (g-g)  BC CA Từ (1) (2) suy BM BD  CM CA  BI BC  CI BC  BC ( BI  CI )  BC (không đổi) 3) Chứng minh  BHD đồng dạng với  DHC (g-g) BH BD BP BD BP BD       DH DC DQ DC DQ DC ฀ ฀ - Chứng minh  DPB đồng dạng với  CQD (c-g-c)  BDP  DCQ ฀ ฀ ฀ ฀  PDC  90o  DCQ mà BDP  PDC  90o  CQ  PD ( 2đ ) Ta có Q = 2x + = 2x + 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 + 3y2 + 2 x y x + 3y2 + y + + x y2       =  x +  +3  y +  +  +  x   y  x y   Ta có    x +   2.2  Dấu “=” xảy x =1  x =1 ( Vì x > 0) x      y +   3.2  Dấu “=” xảy y =1  y =1 ( Vì y > 0) y   +  (gt) Khi x =1 ; y =1 dấu “=” xảy x y => Q    = 19 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com Vậy giá trị nhỏ Q 19 x  y =1 Nếu học sinh có cách giải khác đáp án mà cho điểm tương đương DỰ KIẾN CÁC MỨC ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút GV đề: Nguyễn Thị Thanh – THCS Tân Dân A.Đề Câu (4 điểm) : Cho biểu thức A = x  3x x4   x 1 x  x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh giá trị A dương với x ≠ - Câu2.(4 điểm) a Phân tích đa thức sau thành nhân tử  x   x   x   x    24 b Giải phương trình: x  30x  31x  30  Câu : (4 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x2+(x+y)2 = (x+9)2 b) Chứng minh rằng: B = n - 14n + 49n - 36n chia hết cho 210 với n  Z Câu4 (6 điểm): 1.Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Vẽ hình vng MNPQ có M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P Q thuộc cạnh BC Gọi E F giao điểm BN MQ; CM NP Chứng minh rằng: a) DE song song với AC b) DE =DF; AE =AF 2) Cho hình bình hành ABCD.Trên cạnh AB BC lấy hai điểm M N cho AN = CM.Gọi K giao điểm AN CM CMR: KD tia phân giác góc AKC Câu5 (2 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: a b c    Với a  b  c  ab bc ca B HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: Tốn ThuVienDeThi.com ... 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com Vậy giá trị nhỏ Q 19 x  y =1 Nếu học sinh có cách giải khác đáp án mà cho điểm tương đương DỰ KIẾN CÁC MỨC ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán Thời gian làm... xảy  a  b  Vậy Min M = 10  a  b  ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: Tốn Thời gian làm 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Cho...PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TĨNH GIA ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2016- 2017 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (4 điểm)   x3   x2