Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử47295

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐATHỨC THÀNH NHÂN TỬ Chú ý: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG Trong đa thức hạng tử có nhân tử giống ta đưa làm nhân tử chung theo công thức sau: A.B + A.C = A(B + C) a/ Các ví dụ: Ví dụ1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2x – 4y Giải : Ta có : 2x – 4y = 2.x – 2.2y = 2( x – 2y) Nhận xét : Ở nhân tử chung ta đưa ngồi làm nhân tử chung theo công thức A.B + A.C = A(B + C) dạy, cần ý học sinh xác định nhân tử chung Sau ví dụ nhận xét, giáo viên cho học sinh tiếp tục thực ví dụ Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3(a – b) – 5a(b – a) Giải : Ta có : 3(a – b) – 5a(b – a) = 3(a – b) + 5a (a – b) = (a – b)(3 + 5a) Nhận xét : Ở ví dụ đa thức cần phân tích có hai hạng tử 3(a – b) – 5a(b – a) nhìn qua ta chưa thấy nhân tử chung Ta đổi dấu – 5a(b – a) thành 5a (a – b) để xuất nhân tử chung đặt nhân tử chung Khi dạy học sinh thông qua ví dụ, giáo viên đưa thêm ví dụ để rèn luyện cho học sinh thành thạo bước phân tích Ví dụ3 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) Giải : Ta có : 5x(x – 2y)2 – 10y(x – 2y) = 5(x – 2y)2.x – 5(x – 2y).2y (Nhân tử chung 5(x – 2y)) = 5(x – 2y)[x (x – 2y) – 2y] = 5(x – 2y)( x2 – 2xy – 2y) Nhận xét: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com Đối với ví dụ sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung giáo viên cần ý cho học sinh cách tìm nhân tử chung với đa thức có hệ số nguyên sau: + Hệ số ƯCLN hệ số nguyên dương hạng tử + Các lũy thừa chữ có mặt hạng tử với số mũ lũy thừa số mũ nhỏ b/ Bài tập tự luyện: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, 4x – 16y b, a2 + ab – a c, 6x(x – y ) – 8y (y – x ) d, 7x2 – 14xy2 + 21x2y2 Bài 2: Tìm x biết x3 +2x = Bài 3: Chứng minh n2(n + 1) + 2n(n + 1) chia hết cho với số nguyên n c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Các bước giải kết sau: Bài 1: a, 4x – 16y = 4(x – 4y) b, a2 + ab – a =a(a + b -1) c, 6x(x – y) – 8y (y – x) = 2(x –y ).3x + 2(x – y).4y = 2(x –y )(3x + 4y) d, 7x2 – 14x y2 + 21x2y2 = 7x.x – 7x.2y2 + 7x.3xy2 = 7x(x – 2y2 + 3xy2) Bài 2: Ta có : x3 + 2x =  x(x2 + ) =  x = x2 + = + x=0 + x2 + = (vơ lý x2  với  x) Vậy x = Ta có: n2(n + 1) + 2n(n + 1) = n n (n + 1) + 2n(n +1) = n( n + 1)(n + 2) Khi n  Z n( n + 1)(n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên  2; mà(2,3) =1 n( n + 1)(n + 2)  Bài 3: PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com Các đẳng thức đáng nhớ : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A + B) (A – B) A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A+B)3 A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B) (A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B) (A2 + AB + B2) Phương pháp chủ yếu vận dụng đẳng thức để phân tích, học sinh phải học thuộc đẳng thức a/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a2 – 6ab + 9b2 Giải : Ta có : a2 – 6ab + 9b2 = a2 – 2.a 3b + (3b)2 = ( a – 3b)2 Nhận xét: Ở ta viết hạng tử thứ thứ ba đa thức dạng lũy thừa để áp dụng đẳng thức bình phương hiệu Qua ví dụ học sinh ý đa thức có ba hạng tử, có hai hạng tử viết dạng lũy thừa ta nghĩ đến đẳng thức bình phương hiệu bình phương tổng Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – Giải : Ta có : x2 – = x2 – 32 = (x – 3)(x + 3) Nhận xét: Để áp dụng đẳng thức hạng tử thứ hai đa thức phải viết dạng lũy thừa = 32.Khi đẳng thức sử dụng hiệu hai bình phương Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x – y)2 – (y – t)2 Giải: Ta có: (x – y)2 – (y – t)2 = [(x – y ) + (y – t )][(x – y ) – (y – t )] = (x – y + y – t )(x – y – y + t) = (x – t )(x – 2y + t) Nhận xét: Từ ví dụ ta ý áp dụng đẳng thức A2 – B2 =(A + B)(A – B) B đa thức viết A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc để không sai dấu b/ Bài tập tự luyện: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, x2 – 4y2 b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com c, 8x3 +12x2y + 6xy2 + y3 Bài 2: Tính nhanh a, 1052 – 25 b, 452 + 402 – 152 + 80.45 Bài 3: Rút gọn biểu thức a, ( 3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 b, (6x + )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + )( 6x - ) c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Một số bước giải kết quả: Bài : a, x2 – 4y2 = x2 – (2y)2 = (x + 2y)(x – 2y) b, (3x – y)2 – (x + 2y)2 = [(3x – y ) + (x + 2y)][(3x – y ) – (x + 2y)] = (3x – y + x + 2y )(3x – y – x – 2y) = (4x + y )(2x – 3y) 2 c, 8x +12x y + 6xy + y = (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3 Bài 2: a, 1052 – 25 = 1052 – 52 = (105 + 5)(105 – 5) = 110.100 = 11000 b, 452 + 402 – 152 + 80.45 = (452 + 2.40.45 + 402) – 152 = (45 + 40)2 – 152 = 852 – 152 = (85 + 15) (85– 15) = 100.70 = 7000 Bài 3: a (3x – 1)2 + 2(3x –1)(2x + 1) + (2x + 1)2 = [(3x –1) + (2x + 1)]2 = (3x – + 2x + )2 = (5x)2 = 25x2 b (6x + )2 + (6x -1 )2 – 2(6x + )( 6x - ) = [(6x + ) – ( 6x - )]2 = (6x + – 6x + )2 = PHƯƠNG PHÁP NHÓM CÁC HẠNG TỬ : Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com a/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2) – x + Giải : Ta có : 5x(x – 2) – x + = 5x(x – 2) – (x – ) = (x – 2) (5x – 1) Nhận xét : Với ba hạng tử đa thức ta nhóm hai hạng tử thứ hai thứ ba với ta nhân tử chung x – Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – x – y2 – y Giải : Ta có : x2 – x – y2 – y = (x2 – y2) – (x + y ) = (x + y ) (x – y) – (x + y ) = (x + y )(x – y – 1) Nhận xét: Hạng tử thứ thứ ba dạng đẳng thức nên ta nhóm hai hạng tử với nhau,vậy hai hạng tử cịn lại nhóm thành nhóm Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – y2 + 6x + Giải: Ta có: x2 – y2 + 6x + = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 – y2 = (x + + y)(x + – y) Nhận xét : Nếu ta tiếp tục nhóm hai hạng tử thành nhóm khơng phân tích đa thức thành nhân tử Như ta nhóm ba hạng tử x2 , 6x , thành nhóm để đưa đẳng thức, tiếp tục sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương để ta phân tích Sau ví dụ, giáo viên cho học sinh làm số tập sau : b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2 + 4x – y2 + b 3x2 – 3xy – 5x + 5y c x3 – 2x2 + x – xy2 d x2 – + (x – 2)2 Bài : Làm tính chia a (x2 – y2 + 6x + ) : (x + y + 3) b (x2 – 3x + xy – 3y ) : (x + y) Bài : Chứng minh x2 - 2xy + y2 + > với số thực x y c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com Các bước giải giáo viên mong đợi học sinh thực sau: Bài : a x2 + 4x – y2 + = (x2 + 4x + 4) – y2 = (x + 2)2 – y2 = (x + + y ) (x + – y) b 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x (x – y) – (x – y) = (x – y) (3x – 5) c x3 – 2x2 + x – xy2 = x(x2 - 2x + – y2) = x[(x2 - 2x + 1) – y2] = x[(x – 1)2 – y2] = x(x – + y )(x – – y) d x2 – + (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) + (x + 2) = (x + ) (x – + ) = (x + ) (x – 1) Bài 2: a (x2 – y2 + 6x + ) : (x + y + 3) Ta có : x2 – y2 + 6x + = (x2 + 6x + 9) – y2 = (x + 3)2 – y2 = (x + + y )(x + – y) Do (x + + y )(x + – y) : (x + + y ) = x + – y x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y) = x (x – 3) + y(x – 3) = (x – 3) (x + y) Do (x – 3x + xy – 3y) : (x + y) = x – Bài : Ta có : x2 - 2xy + y2 + = (x2 - 2xy + y2) + = (x – y)2 + Vì (x – y)2  với  x, y  R nên (x – y)2 + > với  x, y  R b Ta có: Nhận xét : Phương pháp nhóm hạng tử phương pháp mà học sinh sai sót nhầm lẫn nhầm từ cách nhóm hạng tử khơng hợp lý dẫn đến q trình phân tích khơng thực nhóm hạng tử với mà có dấu trừ hay sai dấu, mà giáo viên cần ý rèn luyện kỹ vận dụng cách nhóm cho học sinh 4.PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ KHÁC Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com Chú ý :Ở phương pháp có nhiều cách tách khác nhau, với tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a  0) tách hạng tử có bậc cao tách hạng tử tự thông thường ta tách hạng tử bx thành b1x + b2x cho : b1 + b2 = b b1 b2 = a c Trong thực hành ta làm sau : Bước 1: Tìm tích a.c Bước 2: Phân tích a.c thành tích hai số nguyên cách Bước : Chọn thừa số có tích a.c nói mà có tổng b - Đối với đa thức bậc lớn ta dùng phương pháp nhẩm nghiệm a/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16 Giải: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16 = (x2 – 2x) – (8x – 16) = x(x – ) – 8(x - 2) = (x – 2)(x – 8) Nhận xét: Ở ta tách -10x thành -2x -8x, sau dùng phương pháp nhóm đặt nhân tử chung Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - x – Giải: Ta có x2 – x – = x2 – 3x + 2x – = (x2 – 3x )+ (2x – 6) = x(x – 3) + 2(x – 3) = (x – 3)(x + 2) Nhận xét : Ở ta tách -x thành -3x 2x, sau dùng phương pháp nhóm đặt nhân tử chung Ví dụ 3: Tìm x biết : x2 + 5x + = Để tìm x trước hết ta phân tích đa thức x2 + 5x + thành nhân tử Giải : Ta có x2 + 5x + = x2 + 2x + 3x + = (x2 + 2x )+ (3x + 6) = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) Nên x + 5x + =  (x + 2)(x + 3) =  x + = x + = + x + =  x = -2 + x + =  x = -3 Vậy x = -2; -3 Nhận xét: Đối với ví dụ trên, ta giải nhiều cách, nhiên ví dụ sử dụng phương pháp tách hạng tử bx dựa vào cách hướng dẫn để thực hành giải toán, nhằm giúp học sinh biết vận dụng phương pháp Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com tách, rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp nhóm đặt nhân tử chung ,đặc biệt phải ý đến bước sử dụng phương pháp nhóm phối hợp phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Sau giáo viên dạy học sinh thơng qua ví dụ cụ thể phương pháp tách hạng tử, cho học sinh làm tập tự luyện sau: b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 16x – 5x2– b x2 – 7x + 12 c 2x2 + 3x – d 4x2 – 3x – Bài 2: Chứng minh a x(x – 6) + 10 > b -x2 - x - < Bài 3: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x2 – 6x + 11 B = 2x2 + 10x – C = 5x – x2 c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Các lời giải ngắn gọn yêu cầu học sinh thực được: Bài : a – 5x2 +16x – = -5x2 + 15x + x – = (-5x2 + 15x) + (x – 3) = -5x(x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (-5x + 1) b x – 7x + 12 = x2 – 3x – 4x + 12 = (x2 – 3x) – (4x – 12) = x(x – 3) – 4(x – 3) = (x – )(x – ) c 2x + 3x – = 2x2 + 5x – 2x – = (2x2 + 5x )– (2x + 5) = x(2x + 5) – (2x + 5) = (2x + 5) (x – 1) d 4x2 – 3x – = 4x2 – 4x + x – = (4x2 – 4x)+( x – 1) = 4x(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) Bài 2: a Ta có x(x – 6) + 10 = x2 – 6x + 10 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com = x2 – x + 32+ = (x – 3)2 + >  x b Ta có Bài : a Vậy Amin b 1 +( )2 + ] 2 = – [(x + ) + ] < -x2 - x - = -[( x2 + 2.x A = x2 – 6x + 11 = x2 – x + 32+ = (x – 3)2 +  = x = Ta có : 25 25 + – ) –1 4 25 = 2(x + )2 – –1 2 27 27 + 2(x + )2  –  x =– 2 B = 2x2 + 10x – = 2(x2+ 5x ) – = 2(x2 + 2.x Vậy Bmin = – 27 x = - 2 c C = 5x – x2 = - [x2 – 2.x = Vậy Cmax = 5 25 + ( )2]+ 2 25 25 – (x – )2  4 25 x = MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ THỂ GIẢI ĐƯỢC NHIỀU CÁCH HOẶC TRONG MỘT CÁCH CĨ PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2 Giải : Ta có 3x2 + 6xy + 3y2– 3z2 = 3(x2 + 2xy + y2– z2) (Đặt nhhân tử chung ) = [( x2 + 2xy +y2) – z2] (Nhóm) = 3[(x + y)2– z2] ( Dùng đẳng thức ) = 3(x + y + z)(x + y– z) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 -10x +16 Giải : Cách 1: Ta có x2 -10x +16 = x2 – 2x – 8x + 16 (Tách -10x thành -2x -8x) = (x – 2x) – (8x – 16) = x(x – ) – 8(x - 2) = (x – 2)(x – 8) Cách 2: Ta có x -10x +16 = x2 – – 10x + 20 (Tách 16 thành -4 20 ) Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com = (x2 – 4) – (10x – 20) = (x – 2) (x + 2) – 10 (x – 2) = (x – 2) (x + – 10) = (x – 2) (x – 8) Cách 3: Ta có x -10x +16 = x2 – 4x + – 6x + 12 (Tách -10x thành -4x 6x ;16 thành 12) = (x2 – 4x + 4) – (6x – 12) = (x – 2)2 – 6(x – 2) = (x – 2) (x – – 6) = (x – 2) (x – ) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2 – 3x – Giải : Cách1: 4x2 – 3x – = 3x2– 3x + x2 – (Tách 4x2 thành3x2 x2 ) = 3x(x – 1) + (x +1)(x– 1) = (x – 1)(3x + x +1) = (x – 1)(4x + 1) Cách : 4x2 – 3x – = 4x2 – 4x + x – (Tách -3x thành -4x x) = (4x – 4x) + ( x – 1) = 4x(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) Cách : 4x2 – 3x – = 4x2– – 3x + (Tách -1 thành -4 3) = 4(x – 1) – 3( x –1) = 4(x – 1)(x + 1) – (x – 1) = (x – 1)(4x + 1) Nhận xét : Một tốn có nhiều lời giải khác cuối có chung kết Như tiết luyện tập, giáo viên cho học sinh giải số tập dạng khác nhau, sử dụng phương pháp khác nhau, sau nhận xét so sánh, lời giải hay ngắn gọn Giáo viên cho học sinh làm số tập sau : b/ Bài tập tự luyện : Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x3 – 2x2y + xy2 – 9x b 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 c x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y Bài : Tìm x biết a 7x – 6x2 – = c 2x2 + 3x – = b 16x – 5x2 – = PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN SỐ PHỤ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 10 ThuVienDeThi.com Phân tích đa thức thành nhân tử ta phải dùng biến phụ việc phân tích đơn giản a/ Các ví du: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) +128 Giải : Ta có A = x(x +10)(x + 4)(x + 6) +128 = (x2 + 10x )(x2 + 10x + 24) +128 Đặt x2 + 10x + 12 = y Khi đa thức cho trở thành : (y – 12)(y +12) +128 = y2 -144 +128 = y2 - 16 = (y - 4)(y + 4) = (x2 + 10x + 8)(x2 + 10x + 16) Nhận xét : Ở ta dùng biến phụ y = x2 + 10x + 12 Như dùng biến phụ để phân tích đa thức thành nhân tử sau phân tích xong ta phải đổi biến cũ * Ta có tốn tổng qt sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x + a) (x + b )(x + c)(x + d) + m - Đối với toán thường dùng phương pháp đặt biến số phụ ý : + Khi a + b = c + d ta ghép [(x + a)(x + b)] ; [(x + c )(x + d)] đặt y = x2 + (a + b)x + ab  cd + Khi a + c = b + d ta ghép [(x + a)(x + c)] ; [(x + b)(x + d)] đặt y = x2 + (a + c)x + ac  bd + Khi a + d = b + c ta ghép [(x + a)(x + d)] ; [(x + b)(x + c)] Và đặt y = x2 + (a + d)x + ad  bc Áp dụng toán tổng quát giáo viên cho học sinh làm ví dụ sau : Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x(x – 1)(x + 1)(x + 2) – 24 Giải : Ta có A = [x(x + 1)][(x – 1)(x + 2)] – 24 (Do + = -1+ 2) = (x2 + x )(x2 + x – 2) – 24 Đặt x2 + x – = y Đa thức cho có dạng : (y +1) (y – 1) – 24 = y2 – – 24 = y2– 25 = (y – 5)(y + 5) = (x2 + x + – 5)(x2 + x + + 5) = (x2 + x – 4)( x2 + x + 6) b/ Bài tập tự luyện : Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com 11 Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 b (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 c (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 Bài : Giải phương trình (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) = Bài : Tìm giá trị nhỏ A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Các bước giải kết cần hướng dẫn cho học sinh: Bài 1: a Ta có : (x + 2) (x – 2)( x2 – 10) – 72 = (x2 – 4)( x2 – 10) – 72 Đặt x2 – = y, đa thức trở thành : (y – 3)( y + 3) – 72 = y2 – – 72 = y2 – 81 = (y – )(y + 9) Vậy (x + 2) (x – 2)( x – 10) – 72 = (x2 – + 9) (x2 – – 9) = (x2 + ) (x2 – 16) = (x2 + 2) (x + 4) (x – 4) b (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = [(x – 7) (x – 2)][ (x – 5) (x – 4) ] - 72 = (x2 – 9x + 14)( x2 – 9x + 20) - 72 Đặt x2 – 9x + 17 = y Đa thức trở thành (y – 3)(y + 3) – 72 Làm tương tự câu a ta kết sau: (x – 7) (x – 5) (x – 4) (x – 2) – 72 = (x2 – 9x + 26)( x2 – 9x + 8) = (x2 – 9x + 26)(x – 8) (x – 1) c Đặt a – b = x ; b – c = y; c – a = z suy x + y + z = hay z = -(x + y) Từ đa thức có dạng : x3 + y3 + z3 = x3 + y3 – (x + y)3 = (x + y)(x2 – xy + y2) – (x + y)(x2 + 2xy + y2) = (x + y)[(x2 – xy + y2) – (x2 + 2xy + y2) = (x + y)(x2 –xy + y2 – x2 – 2xy – y2 ) = -3xy(x + y) = 3xyz Vậy B = 3(a – b)(b – c)(c – a) Qua ta suy : Nếu có X + Y + Z = ta ln có X3 + Y3 + Z3 = 3XYZ Bài : Giải phương trình (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) =  (6x + )2(3x + 4) ( x + 1) 12 = 12  (6x + )2(6x + 8) ( 6x + 6) = 72 Đặt 6x + = y, phương trình trở thành y2(y + 1)( y – 1) = 72 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 12 ThuVienDeThi.com  y4 – y2 – 72 =  y4 – 9y2 + 8y – 72 =  y2(y2 – 9) + 8(y2 – 9) =  (y2 – 9)(y2 + 8) =  y = -3 y = 5 2 Với y =  x = Với y = -3  x = Vậy phương trình có nghiệm Bài : 5 2 3 Ta có : A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = [(x – 1)(x + 6)][( x + 2)(x + 3)] = (x2 + 5x – 6)( x2 + 5x + 6) Đặt x2 + 5x = y A = y2 – 36  -36 Amin = -36  x2 + 5x =  x = , x = -5 PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Mệnh đề : Nếu hai đa thức A B hạng tử bậc hai đa thức phải có hệ số a/ Các ví dụ: Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x3 – 5x2 + 8x – Giải : Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – x2+ 2x + 6x – = (2x3 – x2) – (4 x2– 2x) + (6x – 3) = x2(2x – 1) – 2x(2x – 1) + 3(2x – 1) = (2x – 1) (x2– 2x+ 3) Nhận xét : Đa thức bậc ba ví dụ phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai, ta cịn có cách giải tổng qt sau : Với đa thức bậc : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 (a1  0) ta phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai sau : a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = (ax + b ) (cx2 + dx + m) (*)  a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ac  a1 ad  bc  b  Đồng hệ số với ta được:  am  bd  c1  bm  d1 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com 13 Giải ta tìm giá trị a, b, c, d, m, thay vào vế phải (*) ta có kết cần tìm.(Ta chọn giá trị cho thỏa mãn toán) Ap dụng : Bài toán ví dụ ta có cách giải khác sau : Ta có 2x3 – 5x2 + 8x – = (ax + b ) (cx2 + dx + m)  2x3 – 5x2 + 8x – = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm Đồng thức ta có : ac = 2, ad + bc = -5, am + bd = 8, bm = -3 Giả thiết a > (nếu a < ta đổi dấu hai nhân tử ) a = a = Xét a =  c = 1, 2d +b = -5 , 2m + bd = , bm = -3 , b  1;  Xét b = -1 m = , d = -2 thỏa mãn điều kiện Vậy a = 2, c = 1, b = -1, m = 3, d = -2 ta có : 2x3 – 5x2 + 8x – = (2x – 1)(x2 – 2x + 3) Ví dụ2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3+ 3x2 + 3x + Giải: Đặt x3 + 3x2 + 3x + = (ax + b ) (cx2 + dx + m)  x3 + 3x2 + 3x + = cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ac  ad  bc  Đồng thức ta có:  am  bd  bm  Giả thiết a > (nếu a < ta đổi dấu hai nhân tử ) a = Xét a =  c = 1, d + b = , m + bd = , bm = , b  ;  Xét b = m =1, d = thỏa mãn điều kiện Vậy a =1, c = 1, b = 2, m = 1, d = ta có : x3 + 3x2 + 3x + = (x + 2)(x2 + x + 1) Nhận xét: Khi sử dụng phương pháp hệ số bất định dựa vào mối quan hệ hệ số để ta đưa giá trị tương ứng a,c từ ta tìm giá trị hệ số lại b/ Bài tập tự luyện : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp dùng hệ số bất định a 2x3 – 12x2 + 17x – b 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + Bài : Tìm số nguyên a cho đa thức (x + a)(x – 5) + phân tích thành (x + b)(x + c) với b, c số nguyên Bài 3: Tìm số nguyên m cho đa thức (x + m)(x + 5) + phân tích thành (x + a)(x + b) với a, b số nguyên c/ Hướng dẫn giải tập tự luyện: Các lời giải mong đợi học sinh trình bày được: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com 14 Bài : a Đồng đa thức với đa thức cax3 + (ad + bc )x2 + (am + bd)x + bm ta : ac = 2, ad + bc = -12, am + bd = 17, bm = -2 Giả thiết a > (nếu a < ta đổi dấu hai nhân tử ) a = a = Xét a =  c = 2, d + 2b = -12 , m + bd = 17, bm = -2, b  ;  Xét b = -2 m = 1, d = -8, thỏa mãn điều kiện Vậy a = 1, b = -2,c = 2, d = -8, m = 2x3 – 12x2 + 17x – = (x – 2)(2x2 – 8x + 1) Đa thức 3x2 – 22xy– 4x + 8y + 7y2 + phân tích thành nhân tử có dạng (3x + ay + b)(x + cy + d) Phép nhân cho ta kết 3x2 + (3c + a)xy + (3d +b)x + (ad + cb)y + acy2 + bd Đồng đa thức với đa thức 3x2 –22xy– 4x + 8y + 7y2 + ta : 3c + a = -22; 3d + b = -4 ; ad + cb = 8; ac = 7; bd = Từ bd = 3d + b = -4 nên b = d = -1 ac = mà a + c = -8 nên c = -7, a = -1 Thỏa mãn 3c + a = -22 Vậy a = b = d = -1; c = -7 Nên 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + = (3x - y - 1)(x - 7y - 1) Bài : Với x ta có (x + a)(x – 5) + = (x + b)(x + c) (1) Khi x = = (5 + b)(5 + c) Vì b, c nguyên nên (5 + b)(5 + c) tích hai số nguyên Số viết dạng tích hai số nguyên hai cách 1.2 (-1).(-2) b Giả sử b  c ta xét hai trường hợp : * 5  b  b  4   5  c  c  3 Thay vào (1) ta dược (x + a)(x – 5) + = (x – 3)(x – 4) với x Với x = a = -2 Vậy đa thức phân tích thành (x – 2)(x – 5) + = (x – 4)(x – 3) * 5  b  2 b  7   5  c  1 c  6 Thay vào (1) ta (x + a)(x – 5) + = (x – 7)(x – 6) với x Với x = a = -8 Vậy đa thức phân tích thành (x – 8)(x – 5) + = (x – 7)(x – 6) Bài 3: Bài giáo viên yêu cầu học sinh tự giải Kết quả: (x + 9)(x + 5) + = (x + 8)(x + 6) với m = (x +1)(x + 5) + = (x + 2)(x + 4) với m = Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com 15 C/ MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC: Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy số học sinh tiếp thu dễ dàng nội dung trên, nhờ cụ thể hóa phương pháp nên học sinh biết cách vận dụng vào giải tập Tuy nhiên, số học sinh cịn sai xót, làm thiếu xác cần phải khắc phục, chẳng hạn như: chưa biết đặt nhân tử chung, nhóm số hạng với hay sai dấu … Sau ví dụ minh họa: Bài giải học sinh Những sai sót cách khắc phục Bài giải Bài tốn 1: Phân tích đa thức 3x2 – 6x thành nhân tử Thiếu sót : Học sinh : 2 Ta có: 3x – 6x = 3(x – x ) Cả hai học sinh đặt nhân Học sinh : Ta có: 3x – 6x = x(3x – ) tử chung nhiên cịn thiếu Ta có: 3x2 – 6x = 3x(x - 2) Cụ thể :Ở học sinh 1thiếu nhân tử x Ở học sinh thiếu nhân tử Khắc phục : Nhắc lai cách tìm nhân tử chung Bài tốn 2: Phân tích đa thức x2 – y2 + 4x + thành nhân tử Giải: Học sinh : Sai sót : Ta có : x2 – y2 + 4x + = (x2 – y2) Cả học sinh sử dụng cách + (4x + 4) = (x + y) (x – y nhóm khơng hợp lý, nên bước )+ 4(x + 1) phân tích Học sinh : Ta có : x2 – y2 + 4x + Ta có : =(x2 + 4x + 4) – y2 x2 – y2 + 4x + = (x2 + 4x) Khắc phục : = (x – 2)2 – y Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 16 ThuVienDeThi.com + (4 – y2) = x (x + 4) + (2 – = (x – + y)(x – – y ) y) (2 + y) Gv cần lưu ý cho hs nhóm hạng tử thích hợp : + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích phải tiếp tục Bài tốn 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Sai sót : a x2 – 9y2 a b (x – y ) – (2y – z)2 Học sinh 1, có lời giải sai, Giải: học sinh định hướng Học sinh : đẳng thức áp dụng Ta có : x2 – 9y2 Ta có : = x2 – (3y)2 chưa x2 – 9y2 = (x + 9y)( x – 9y) = (x + 3y )(x – 3y ) Học sinh : Khắc phục: Ta có : Ta có : 2 (x – y ) – (2y – z) = (x – y * Chú ý 9y chưa viết (x – y )2– (2y – z)2 dạng lũy thừa, 9y2  = [(x – y) +( 2y – z)][(x – + 2y – z)(x – y – 2y – z ) (9y)2 y) – (2y –z)] = (x + y – z)(x – 3y – z ) * Khi hạng tử B = (x – y + 2y – z)(x – y – đẳng thức đa thức 2y + z ) viết =(x + y – z )(x - y + z) A – B ta phải dùng thêm dấu ngoặc * Trong trình giảng dạy, xuất trường hợp học sinh mắc phải sai lầm, tuỳ theo đối tượng mà giáo viên chấn chỉnh, uốn nắn có biện pháp, phương pháp phù hợp với mục đích em học sinh hiểu biết cách vận dụng giải tập Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com 17 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com 18 ... 16x – 5x2 – = PHƯƠNG PHÁP ĐẶT BIẾN SỐ PHỤ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 10 ThuVienDeThi.com Phân tích đa thức thành nhân tử ta phải dùng biến phụ việc phân tích đơn giản... biện pháp, phương pháp phù hợp với mục đích em học sinh hiểu biết cách vận dụng giải tập Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com 17 Một số phương pháp phân tích đa thức. .. = (6x + – 6x + )2 = PHƯƠNG PHÁP NHÓM CÁC HẠNG TỬ : Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ThuVienDeThi.com a/ Các ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 5x(x – 2) –