Họ tên thí sinh: SBD: KHẢO SÁT NĂNG KHIẾU HỌC SINH - LỚP Đề thi mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Câu (2,5 điểm) x2 1 Cho biểu thức A : x x 3x 27 3x a) Nêu điều kiện xác định rút gọn A b) Tìm giá trị x để giá trị A < -1 Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình: x3 – 3x – = b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 Câu (1,0 điểm) Cho số: x, y, x thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx x2014 + y2014 + z2014 = Tính giá trị biểu thức: P = x25 + y4 + z2015 Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh: ∆OEM vuông cân b) Chứng minh: ME // BN c) Từ C, kẻ CH BN (H BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) minh rằng: 4S + 1là bình phương số tự nhiên (với k N*) Chứng - THƯ VIỆN SEN VÀNG ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI Câu 1a Nội dung ĐKXĐ: x ≠ -3;0;3 Điểm 0,5 x 3x x 3x x3 : A= x( x 3) 3(3 x)(3 x) x Với x ≠ {-3;0;3} ta có: 1b 2a 2b A 1 x3 1 x x x 0,5 Kết hợp với điều kiện ta có < x ≠ A < -1 x3 - 3x - = (x3 + 1) – 3(x + 1) = (x + 1)(x2 – x – 2) = (x - 2)(x + 1)2 = x = 2; x = - P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + + 4y2 – 4y + + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 => Giá trị nhỏ P = 2010 x ; y 2 Ta có: x2 + y2 + z2 2(x2 + (x - y )2 = xy + yz + zx y2 0,5 + z2) = 2(xy + yz + zx) 0,25 +( y – z)2 + (z – x)2 0,25 =0 x = y = z 0,25 Thay vào biểu thức: x2014 + y2014 + z2014 = => x = y = z = Với x = y = z = thi P = 0,25 Với x = y = z = -1 P = -1 E A B 1 O M H' H D C THƯ VIỆN SEN VÀNG N ThuVienDeThi.com 4a Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có OB = OC Và B1 C1 450 BE = CM ( gt ) Suy ∆OEB = ∆OMC ( c g.c) O OE = OM O O BOC Lại có O 900 tứ giác ABCD hình vng O EOM O 900 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuông cân O Từ (gt) tứ giác ABCD hình vuông AB = CD AB // CD AM BM ( Theo ĐL Ta- lét) (*) MN MC Mà BE = CM (gt) AB = CD AE = BM thay vào (*) AM AE Ta có : ME // BN ( theo ĐL đảo đl Ta-lét) MN EB + AB // CD AB // CN 4b Gọi H’ giao điểm OM BN ' B ( cặp góc đồng vị) Từ ME // BN OME OH Mà OME 450 ∆OEM vng cân O ' B 450 C MH 4c ∆OMC ∆BMH’ (g.g) OM MC ,kết hợp OMB CMH ' ( hai góc đối đỉnh) BM MH ' ' C 450 ∆OMB ∆CMH’ (c.g.c) OBM MH ' C BH ' M MH ' C 900 CH ' BN Vậy BH Mà CH BN ( H BN) H H’ hay điểm O, M, H thẳng hàng (điều phải chứng minh) Ta có: k(k + 1)(k + 2) = 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 k (k + 1)(k + 2) 4= k(k + 1)(k + 2) 4 (k 3) (k 1) = 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 4 0,5 => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) 0,25 => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Mặt khác k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + = (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + = (k2 + 3k + 1)2 Suy điều phải chứng minh THƯ VIỆN SEN VÀNG 0,25 ThuVienDeThi.com ... + y2014 + z2014 = => x = y = z = Với x = y = z = thi P = 0,25 Với x = y = z = -1 P = -1 E A B 1 O M H' H D C THƯ VIỆN SEN VÀNG N ThuVienDeThi.com 4a Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có... 3(x + 1) = (x + 1)(x2 – x – 2) = (x - 2)(x + 1)2 = x = 2; x = - P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + + 4y2 – 4y + + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010... (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + = (k2 + 3k + 1)2 Suy điều phải chứng minh THƯ VIỆN SEN VÀNG 0,25 ThuVienDeThi.com