Phòng giáo dục đào tạo Huyện nga sơn Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp năm học 2009 - 2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Đề bài: x 1 x 16 x 16 x3 x : Câu (4 điểm): Cho biÓu thøc A= 2x 2x 4x 1 4x 4x 1 a Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b Rút gọn biểu thức A c Tìm giá trị x để biểu thức A có giá trị dương Câu (4 điểm): Giải phương trình: a (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2) x2 b 8x2 2x 8x 3(1 x ) x x Câu (4 điểm): Bình thường, bạn An học từ nhà đến trường với vận tốc 5km/h đến lớp sớm vào học Nhng h«m nay, dËy mn so víi bình thường 29 phút nên bạn An phải chạy với vận tốc 7,5 km/h đến lớp vừa kịp vào học Tính quÃng đường từ nhà bạn An đến trường Câu (6 điểm): Cho hình vuông ABCD điểm E, F cạnh AB, AD cho AE = AF Gọi H hình chiÕu cđa A trªn DE a Chøng minh AD2 = DH.DE b Chứng minh hai tam giác AHF DHC đồng dạng c Xác định vị trí điểm E F để diện tích tam giác CDH gấp lần diện tích tam giác AFH Câu (2 ®iÓm): Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x y Tính giá trị M biết xy = x y đạt giá trị nhỏ Hết Đề thi gồm 01 trang ThuVienDeThi.com híng dÉn chÊm Kú thi chän häc sinh giái líp năm học 2009 2010 Môn thi: Toán Câu ý Néi dung 1(4®) a x 1 x 16 x 16 x3 x : 1.5® A = x x 4x 1 4x 4x 1 2x 1 1 2x x(4 x 1) 16 x = : x x 1 x 1 x (2 x 1) §K: x §iĨm 0.5 1đ b Với điều kiện câu a ta cã: 1.5® 2 x 12 1 x 2 16 x x(2 x 1)(2 x 1) : A= c 1® a 2® 1 x 1 x (2 x 1) 16 x x x(2 x 1) = : (1 x)(1 x) 2x 1 8x 2x 1 = x x(2 x 1) 2 = 2x 1 2 A>0 0 2x 1 2x 1 1 x (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2) x2 (x + 2)(x2 – 3x + – x2) = (x + 2)(-3x + 5) = x 2 x b 2® 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 8x2 2x 8x 3(1 x ) x x 8x2 2x 8x (1) 3(1 x)(1 x) 3(2 x 1) 4(1 x) §K: x 2 (1) 32 x 8 x(1 x) 3(1 x) (1 – 2x) 26x + = 3 x= 26 ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5 0.5 4® Gäi qu·ng ®êng từ nhà bạn An đến trường x (km) ĐK x > 0.25 x Thêi gian ®i qu·ng ®êng x víi vËn tèc 5km/h lµ 0.5 x Thêi gian ®i qu·ng ®êng x víi vËn tèc 7.5 km/h 7.5 0.5 Thời gian quÃng đường x với vận tốc 7.5 km/h thời gian với vËn tèc km/h lµ 24 hay 0.4 giê Ta có phương trình: 6đ a 2đ x x = 0.4 7.5 0.5 Giải x = x = thoả mÃn đk x > Vậy quÃng đường cần tìm km 0.25 Xét hai tam giác vuông ADE Và HAD có chung góc nhọn ADH nên chúng đồng dạng AD DE DH AD AD DH DE Suy A E B H 0.5 F 0.5 D b 2đ c 2đ C Từ hai tam giác ADE HAD đồng dạng ta có: AD AE HD HA DC AF (1) ( Do AD = DC; AF = AE theo bµi cho ) HD HA 0.5 Mặt khác HDC = HAD (2) ( phụ với HAD ) Tõ (1) vµ (2) suy hai tam giác AHF DHC đồng dạng (Trường hợp c - g - c) 0.5 Theo chøng minh c©u (b) ta có hai tam giác CDH AFH đồng dạng nên ta cã: S CDH CD S AFH AF 0.5 0.5 0.5 S CDH CD 9 9 S AFH AF 0.5 0.5 CD = AF VËy, để diện tích tam giác CDH gấp lần diện tích tam giác AFH E, F thuộc AB AD cho AE = AF = ThuVienDeThi.com AB 0.5 2® BiÕn ®ỉi M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y – = 2(x + y)2 -(x + y) - xy - Ta cã (x - y)2 (x + y)2 0.5 4xy Mà xy = nên (x + y)2 x y x y = 0.5 0.5 Khi x y = ta cã x + y = hc -2 + Thay x + y = vµ xy = vµo biĨu thøc M ta M = + Thay x + y = -2 vµ xy = vµo biĨu thøc M ta M =8 Vậy M = M = ThuVienDeThi.com 0.5 ...híng dÉn chÊm Kú thi chän häc sinh giái líp năm học 2009 2010 Môn thi: Toán Câu ý Néi dung 1(4®) a x 1 x 16 x 16 x3 x : 1.5®... 0.5 0.5 8x2 2x 8x 3(1 x ) x x 8x2 2x 8x (1) 3(1 x)(1 x) 3(2 x 1) 4(1 x) §K: x 2 (1) 32 x ? ?8 x(1 x) 3(1 x) (1 – 2x) 26x + = 3 x= 26 ThuVienDeThi.com... + y = vµ xy = vµo biĨu thøc M ta M = + Thay x + y = -2 vµ xy = vµo biĨu thøc M ta M =8 Vậy M = M = ThuVienDeThi.com 0.5