Đề thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008 – 2009 môn: Toán42553

TRNG THCS NAM Đề thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp năm học 2008 2009 H tªn : Líp :…… Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu ( 2,0 điểm) Giải phương trình : x(x+2)(x2+2x+5) = Câu : ( 4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức : A = x8 – 31x7 + 31x6 – 31x5 +31x4 – 31x3 + 31x2 – 31x + 27 víi x = 30 b) Cho a - b = tính giá trị biểu thức B = a3 12ab - b3 Câu : ( 2,0 điểm) Rút gän ph©n thøc : 2a  a  12a  45 3a  19a  33a Câu : ( 3,5 điểm) Một người quÃng đường tử A đến B với vận tốc 15km/h , phần lại víi vËn tèc 30km/h TÝnh vËn tèc trung b×nh người toàn quÃng đường AB Câu : ( 2,0 điểm) Chứng minh : a  b2 a) S  víi S lµ diện tích tam giác có độ dài hai cạnh b»ng a , b C©u :( 6,5 điểm) Cho tam giác IKP cân A có KP = cm , M trung điểm KP lấy D, E thứ tự thuộc cạnh Kˆ IK , IP cho DME a) Chøng minh tích KD PE không đổi b) Chứng minh DM tia phân giác góc KDE c) TÝnh chu vi  IED nÕu  IKP tam giác - ( Giám thị không giải thích thêm ) ThuVienDeThi.com hướng dẫn chấm thi môn toán kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 2008-2009 Câu (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm a) Ta cã A = x6 – 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25 = x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) – x2( x-18) + x(x- 18) - ( x – 18 ) + Do ®ã víi x = 18 giá trị biểu thức A = 1,00 1,00 b) Víi x+y = ta cã : B = ( x3 + y3 )+ 3xy = ( x +y ) ( x2 - xy +y2) + 3xy = x2 +2xy +y2 = ( x+y )2 = 1,00 1,00 Câu (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải a) ta có = = Điểm x x  12 x  45 (2 x  x )  (12 x  30 x)  (18 x  45) = = 3 x  19 x  33 x  (3 x  x )  (18 x  x)  (27 x  9) 1,00 x (2 x  5)  x(2 x  5)  9(2 x  5) (2 x  5)( x  x  9) (2 x  5)( x  3) = = x (3 x  1)  x(3 x  1)  9(3 x  1) (3 x  1)( x  x  9) (3 x  1)( x  3) 0,50 3 2 2x  3x 0.50 b) Giải phương trình : (x2-x+1)(x2-x+2) = 12 (1) Đặt t = x -x+1 thay vào phương trình (1) ta pt : t ( t+1 ) = 12  t2 + t – 12 =  ( t2 - 3t ) + (4t – 12) =  t( t - 3) + 4(t – 3) =  (t - 3) (t+ 4) =  t = t = - - Víi t = => x2-x+1 =  x2-x-2 =  x2-2x + x -2 =  x(x-2) + (x -2 ) =  (x-2) (x +1 ) =  x = x = - 1 19 - Víi t = - => x2-x+1 = -  x2-x + =  ( x- ) + = phương trình 19 vô nghiệm ( x- ) + > với x Vậy phương trình (1) cã hai nghiƯm lµ : x = , x = -1 ThuVienDeThi.com 0.50 0.75 0.25 0.25 0.25 C©u : ( 4,5 điểm ) Gọi vận tốc mà ô tô dự định từ A đến B : x ( ®iỊu kiƯn : x(km/h ) , x > ) Ta cã : VËn tèc « t« đầu quÃng đường : x+10 ( km/h ) Vận tốc ô tô sau quÃng đường lµ : x – (km/h ) 30 Thêi gian ô tô đầu quÃng đường : (h) x 10 30 Thời gian ô tô sau quÃng đường : (h) x6 60 Thời gian ô tô quÃng đường từ A đến B : (h) x 30 30 60 Ta có phương trình : + =  x  10 x  x x( x  6) x( x  10) 2( x  10)( x  6) + = x( x  10)( x  6) x( x  10)( x  6) x( x  10)( x  6) 2 => x – 6x + x + 10x = 2x + 8x – 120  x2 – 6x + x2 + 10x - 2x2 - 8x = -120  4x = 120  x = 30 ( km/h ) 60 Vậy thời gian ô tô dự định quÃng đường AB : = ( ) 30 0.50 1.00 0.75 0.75 0.50 0.50 0.50 C©u (3,5 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm HS vẽ hình ghi GT,KL A D H I B 0.5 E K C M ˆ  DME ˆ  CME , mặt khác DMC B BDM , mà DME B nên Ta có DMC ˆ  BDM ˆ CME Do ®ã  BDM CME đồng dạng ( gg ) a) => BD BM => BD CE = CM BM = a a = a2  CM CE 0.50 0.50 VËy tÝch BD CE lu«n kh«ng đổi b) BDM CME đồng dạng cßn suy : DM BD  ME CM => DM BD  ME BM 0.50 ( v× CM = BM ) ˆ  BDM ˆ hay DM lµ tia phân giác Do DME DBM ®ång d¹ng => MDE gãc BDE ThuVienDeThi.com 0.50 c) Từ câu b suy DM tia phân giác góc BDE , EM tia phân giác gãc CED KỴ MH  DE , MI  AB , MK  AC Ta cã DH = DI , EH = EK , ®ã chu vi  AED b»ng AI + AK = 2AK Ta l¹i cã CK = MC a  , AC = 2a nªn AK = 1,5a 2 0.50 0.50 Vậy chu vi tam giác ADE 3a Câu : HS vẽ hình ghi GT,KL B A a 0.50 h d b D c C a) Gọi h chiều cao tương ứng với cạnh a , ta cã S = => 4S = 2ah  2ab  a2 + b2 a  b2 VËy S  ah DÊu b»ng x¶y  h = b , a = b ABC vuông cân a b2 c2  d ; SADC  4 2 2 a b c d a  b2  c2  d  Mµ S = SABC + SADC => S  => S  4 DÊu b»ng x¶y   ABC vuông cân B , ACD vuông cân D b) Theo c©u a ta cã : SABC  ABCD hình vuông Lưu ý : Nếu thí sinh làm theo cách khác đầy đủ xác điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 ... chấm thi môn toán kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp THCS năm học 20 08- 2009 Câu (4,0 điểm) Tóm tắt lời giải Điểm a) Ta cã A = x6 – 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25 = x5 ( x – 18 ) – x4(... 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25 = x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x- 18) – x2( x- 18) + x(x- 18) - ( x – 18 ) + Do ®ã víi x = 18 giá trị biểu thức A = 1,00 1,00 b) Víi x+y = ta cã : B = (... = x( x  10)( x  6) x( x  10)( x  6) x( x  10)( x  6) 2 => x – 6x + x + 10x = 2x + 8x – 120  x2 – 6x + x2 + 10x - 2x2 - 8x = -120  4x = 120  x = 30 ( km/h ) 60 Vậy thời gian ô tô dự định