Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008 2009 môn thi: Toán19294

phòng gd & đt tam dương đề thức Đề thi chọn học sinh giỏi lớp năm học 2008-2009 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Không kể thời gian giao đề Bài Đa thức bËc cã hƯ sè bËc cao nhÊt lµ thoả mÃn f(1) = 5; f(2) =11; f(3) = 21 Tính f(-1) + f(5) Bài a)Tìm tất số nguyên n cho : n4+ 2n3 + 2n2+ n +7 số phương b)Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2+ xy+y2=x2y2 Bài Chứng minh r»ng : (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 > víi mäi x Bài a) Cho tam giác ABC gọi M,N trung điểm BC, AC Gọi O,H,G giao ba đường trung trực, ba đường cao, ba đường trung tuyến tam giác ABC Tính tỉ sè GH : GO b)Cho h×nh thang ABCD cã hai ®¸y AB = 2a, CD= a, H·y dùng ®iĨm M đường thẳng CD cho đường thẳng AM cắt hình thang làm hai phần có diện tích Bµi Cho x  0,y  0,z  vµ x+y+ z =1 Chøng minh r»ng xy+yz+zx-2xyz - Giám thị không giải thích thêm ThuVienDeThi.com 27 Phòng GD-ĐT Tam Dương Hướng dẫn chÊm chän Hoc sinh giái líp : 2008-2009 M«n: Toán Câu Điểm toàn Nội dung Nhận xét: g(x) = 2x2 + tho¶ m·n g(1) = 5; g(2) = 11; g(3) = 21 điểm Điểm thành phần 0,5 Q(x) = f(x) - g(x) đa thức bËc cã nghiÖm x = 1,x = 2, x = 0,5 VËy Q(x) = (x - 1)(x - 1)(x - 3)(x - a); ta cã: 0,5 f(-1) = Q(-1) + 2(-1)2 + = 29 + 24a f(5) = Q(5) + 2.52 + = 173 - 24a => f(-1) + f(5) = 202 0,5 a) (0,75 ®iĨm) Gi¶ sư n4+ 2n3 + 2n2+ n +7= y2 ( y  N) Ta cã y2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7  y2 > (n2+ n)2  y > n2  n  y  n  n +1 1, ®iĨm 1,5 ®iĨm V× ( y  N)  y2  n  n  0,25  y2  (n2+ n +1)2 thay y2 = (n2+ n)2 + n2+ n +7  n2 + n -6 <  (n-2) (n+3)  0,25  -3  n  Thö trùc tiÕp n = 2, n=-3 tháa m·n VËy sè nguyên n cần tìm n = 2;-3 0,25 b) (0,75 điểm) Thêm xy vào hai vế PT ta cã x2 + 2xy + y2 = x2y2 + xy  (x+y)2 = xy(xy+1) 0,25 Ta thÊy xy vµ xy+1 hai số nguyên liên tiếp có tích số phương nên tồn số TH1 xy =0 => x2 + y2 = => x=y = 0,25 TH2 xy+1 = ta cã xy = -1 nên (x,y) (1;-1) (-1;1) Thử lại ba cặp số (0;0); (-1;1), (1;-1) nghiệm phương trình 0,25 đà cho Ta có (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 = (x-1) (x-6) (x-3)(x-4) + 10 = (x2 - 7x+6)(x2 -7x +12) +10 0,25 2 = (x - 7x+ -3)(x -7x + +3) +10 0,5 ThuVienDeThi.com = (x2 - 7x+ 9)2 -9 +10 = (x2 - 7x+ 9)2 + > víi mäi x V× ( x  x  9)2  víi mäi x Do ®ã (x2 - 7x+ 9)2 + > với x (bài toán chứng minh) Ta có OM//AH ( vuông góc với BC) ON//BH ( vuông góc với AC) NM//AB ( đường trung bình tam giác) Xét ABH vµ  MNO ฀ ฀ Cã BAH  NMO ( góc có cạnh tương ứng song song) ABH MNO ( góc có cạnh tương ứng song song) =>  ABH ฀  MNO ( gãc - gãc) NM OM   BA AH XÐt  AGH vµ  MOG ฀ ฀ Cã GAH ( So le trong)  GMO => GM  GA OM  AH (1) ( TÝnh chÊt träng t©m) (2) (Cmt) (3) Từ (4) (5) => H,G,O thẳng hµng vµ GH AH  2 GO OM b)Gäi h đường cao hình thang ABCD Giả sử đà dựng điểm M thuộc CD cho đường thẳng AM cắt hình thang thành hai phần có diện tích Gọi N giao điểm AM BC Đăt S1 = SADCN ; S2 = SANB;; S = SABCD 3điểm 0,5 0,5 Từ (1) (2) (3) suy  AHG ฀  MOG ( c-g-c) ฀ => AGH MGO (4) Măt khác A,G,M thẳng hàng (5) 0,25 0,5 0,25 0,25  s1  s2  s Ta cã  s  s => S2 = S: (1) Kẻ đường cao NH tam giác ANB đặt NH= x ta cã: 0,5 3ah 2a  a h  2 s2  2a.x  ax s 3ah 3h  x  2 NB áp dụng định lí ta lét => suy cách dựng: NC Thay vào (1) : ax Chia đoạn BC làm phần nhau, Lấy ®iĨm N trªn BC cho NC  BC 0,5 0,25 Đường thẳng AN cắt đường thẳng CD điểm M cần dựng 0,25 ThuVienDeThi.com áp dụng bất đẳng thức cô si ta có xyz  x yz      27 0,5 Mặt khác : điểm xyz (x+y-z)(y+ z-x)(z+x-y)  xyz  (1-2z)(1-2x)(1-2y)  xyz  1- 2(x+y+z)+ (xy+yz+zx)-8xyz  xyz  1- + (xy+yz+zx)-8xyz  1+ xyz  (xy+yz+zx)-8xyz  1+  (xy+yz+zx)-8xyz 0,5 27   27 xy+yz+zx-2xyz (ĐPCM) 0,5 0,5 Hình 4a A H N G O B C M Hình 4b D a C K M N x A 2a H Ghi chó: HS giải theo cách khác cho điểm ( câu phần ) ThuVienDeThi.com h B ...Phòng GD-ĐT Tam Dương Hướng dẫn chấm chọn Hoc sinh giỏi lớp : 20 08- 2009 Môn: Toán Câu Điểm toàn bµi Néi dung NhËn xÐt: g(x) = 2x2 + tho¶ m·n g(1) = 5;... (1-2z)(1-2x)(1-2y)  xyz  1- 2(x+y+z)+ (xy+yz+zx)-8xyz  xyz  1- + (xy+yz+zx)-8xyz  1+ xyz  (xy+yz+zx)-8xyz  1+  (xy+yz+zx)-8xyz 0,5 27 27 xy+yz+zx-2xyz (ĐPCM) 0,5 0,5 Hình bµi 4a A H N G O B C... ThuVienDeThi.com áp dụng bất đẳng thức cô si ta cã xyz   x yz  27 0,5 Mặt khác : ®iĨm  xyz  (x+y-z)(y+ z-x)(z+x-y)  xyz  (1-2z)(1-2x)(1-2y)  xyz  1- 2(x+y+z)+ (xy+yz+zx)-8xyz 