Đề thi học sinh giỏi lớp 8 năm học 2013 2014 môn thi: Toán28268

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2014 Thời gian: 150 phút ( Khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang)  x 1 2  x    x  1  : Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức P =    x  3x x   3x a Rút gọn P b Tìm x  Z để P có giá trị ngun c Tìm x để P  Câu 2(4,5 điểm): a Giải phương trình: x3 – 6x2 – x + 30 = x 1 2x  x   1 b Giải bất phương trình sau: x   3 c Cho biết x2  Hãy tính giá trị biểu thức: Q = x4  x2  x2  x  x Câu 3(5,0 điểm): a Tìm x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x +2 = b Cho a, b, c  Z, thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a5 + b5 + c5 M30       1      1    c Chứng minh rằng:  a    b    c     a    b    c   , a, b, c b c a a b c số thực không nhỏ Câu 4(4,5 điểm): Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b BH.BE + CH.CF = BC2 BC c AD.HD  d Gọi I, K, Q, R chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB, AD, CF, BC Chứng minh bốn điểm I, K, Q, R nằm đường thẳng Câu 5(2,0 điểm): Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA, CA lấy theo thứ tự điểm D, E cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thằng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh: AB = CK Hết Họ tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2: ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN HOẰNG HĨA Năm học: 2013-2014 MƠN THI: TỐN Câu Hướng dẫn Câu a) ĐKXĐ: x  0, x  1 (4đ) 2 x 1  x Ta có P     ( x  1)   3x x  3x x  2x 2  x     2   3x 3x  x 1 x 1 2x Vậy: P  x 1 b) Ta có P   Z x 1  x   Ư(2)= 1; 2  x 1 0,25 0,25 0,25 0,25 2x 2x x 1 c) P   1 1   0 x 1 x 1 x 1 Mà x – < x + nên x – < x +   x  x  1 Kết hợp với ĐKXĐ 1  x  x  a) Ta có x3 – 6x2 – x + 30 =  (x – 3)(x + 2)(x – 5) =  x-3=0 x+2=0 x-5=0  x=3 x= -2 x=5 Vậy tập nghiệm phương trình S = {-2; 3; 5} x 1 2x  x     6x-6-2x+2  6x+9+2x-6 3  4x  -7  x   Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  x / x    4  b) x   c) Từ x x2  x   x  0,75 0,75 Từ suy x  2;0;3; 1 Kết hợp với ĐKXĐ x  2;3 Câu (4,5đ) Điểm 0,25 x2  x    x  , x 0,25 0,25 0,5 0,25 0,75 0,5 0,25 0,75 0,5 0,25 0,25 1 25 21  1   x     x   1  1  x x x 4  x4  x2  1 21  x  1   x   1  Lại có 2 x  x x x2 Suy Q = = x  x  21 a) 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y – 2x +2 = Câu  25x2 + 25y2 + 40xy + 10y –10x +10 = (5,0đ)  (5x + 4y -1)2 + 9(y + 1)2 = ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Do (5x + 4y -1)2  9(y + 1)2  với x, y Nên (5x + 4y -1)2 = 9(y + 1)2 = Suy x = 1, y = -1 b) Ta có a5 – a = a(a2-1)(a2+1) = a(a2-1)(a2-4+5) = (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) + 5(a-1)a(a+1) Do (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, , chia hết cho 30 Lại có (a-1)a(a+1) chia hết 5(a-1)a(a+1) chia hết cho 30 Từ suy a5 – a chia hết cho 30 Tương tự b5 – b chia hết cho 30 c5 – c chia hết cho 30 Từ suy ra: (a5 + b5 + c5) – (a + b + c) = (a5 – a) + (b5 – b) + (c5 – c) chia hết cho 30 Mà a+b+c =0 nên a5 + b5 + c5 chia hết cho 30 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 1 1 1 c)  a    b    c     a    b    c    b  c  a  a  b  c (ab  1)(bc  1)(ca  1) (a  1)(b  1)(c  1)  abc abc 0,25  (ab  1)(bc  1)(ca  1)  (a  1)(b  1)(c  1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25   a2b2c2-abc(a+b+c) + (ab+bc+ca)  a2b2c2 +a2+b2+c2- (a2b2+b2c2+c2a2)  2(a2b2+b2c2+c2a2)- 2abc(a+b+c)  2(a2+b2+c2)- 2(ab+bc+ca)  (ab-bc)2 + (bc-ca)2 + (ca-ab)2  (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2  (a-c)2(b2-1) + (b-a)2(c2-1) + (c-b)2(a2-1)  (đúng với a,b,c  1) Câu (4,5đ) A E F H C B D a) Ta có AEB : AFC (g.g) 0,5 AE AB   AF AC Từ suy AEF : ABC (c.g.c) BD BH   BH BE  BC.BD (1) BE BC CD CH   CH CF  BC.CD (2) CDH : CFB (g.g) CF BC b) BDH : BEC (g.g)  Từ (1) (2) suy BH.BE + CH.CF = BC.BD + BC.CD = BC2 c) Chứng minh DBH : DAC (g.g)  DC  DB   Lại có: DC.DB   BC ThuVienDeThi.com DH DB   DH DA  DC.DB DC DA 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 Do AD.HD  BC 0,25 d) A I E K F H Q C B D R Từ giả thiết suy EI//CF, EK//BC, EQ//AB, ER//AD Áp dụng định lý Ta-let ta có: AI AE AK    IK//DF (3) AF AC AD BF BH BD    IR//DF (4) * BI BE BR CR CE CQ    RQ//DF (5) * CD CA CF 0,5 * 0,5 0,25 Từ (3), (4) (5) suy bốn điểm I, K, Q, R thẳng hàng Câu (2,0đ) 0,25 A K B C O M E D Vẽ hình bình hành ABMC  AB=CM (1) 1· · Ta có B¶1  C¶1  CBM nên BO tia phân giác CBM 2 · Tương tự CO tia phân giác BCM · Do MO tia phân giác BMC Suy OM song song với tia phân giác góc A, suy K, O, M thẳng hàng 1· ¶  BMC · ¶  BAC K Ta có M 1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 nên tam giác KMC cân C  CK  CM (2) Từ (1) (2) suy CK = AB Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN HOẰNG HÓA Năm học: 2013- 2014 MƠN THI: TỐN Câu Hướng dẫn Câu a) ĐKXĐ: x  0, x  1 (4đ) 2 x 1  x... C  CK  CM (2) Từ (1) (2) suy CK = AB Chú ý: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Bài hình khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 ... DB   Lại có: DC.DB   BC ThuVienDeThi.com DH DB   DH DA  DC.DB DC DA 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 Do AD.HD  BC 0,25 d) A I E K F H Q C B D R Từ giả thi? ??t suy EI//CF, EK//BC, EQ//AB, ER//AD