PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC : 2013 - 2014 MƠN : TỐN Thời gian làm : 120 phút Bài (5,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử : A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 Cho đa thức F(x) = x3 + ax2 + bx + c (với a, b, c R) Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x - dư 5, chia cho đa thức x + dư -4 Hãy tính giá trị (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) ? Bài (4,0 điểm) - x2 - x2 x2 - -1= 2012 2013 2014 1 1 Giải phương trình nghiệm nguyên : + + = x y 2xy Giải phương trình : Bài (3,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c có tích Hãy rút gọn biểu thức : a b c S= + + ab + a + bc + b +1 ac + c + 2 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y 10 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : P = 2x + y + 30 + x y Bài (5,5 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm nằm B C Kẻ AN vng góc với AM, AP vng góc với MN (N P thuộc đường thẳng CD) Chứng minh tam giác AMN vuông cân AN2 = NC NP Tính tỉ số chu vi tam giác CMP chu vi hình vng ABCD Gọi Q giao điểm tia AM tia DC Chứng minh tổng điểm M thay đổi cạnh BC 1 không đổi + AM AQ2 Bài (2,5 điểm) Cho tam giác ABC O điểm tam giác Các tia AO, BO, CO cắt OA OB OC cạnh BC, CA, AB thứ tự điểm P, Q, R Chứng minh OP OQ OR ThuVienDeThi.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP NĂM HỌC : 2013 - 2014 MƠN : TỐN Bài (5,0 điểm) A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 = [(x - 1)(x + 2)].[(x - 3)(x + 4)] - 144 = (x2 + x - 2)(x2 + x - 12) - 144 = (x2 + x - + 5)(x2 + x - - 5) - 144 = (x2 + x - 7)2 - 25 - 144 = (x2 + x - 7)2 - 169 = (x2 + x - - 13)(x2 + x - + 13) = (x2 + x - 20)(x2 + x + 6) = (x2 - 4x + 5x - 20)(x2 + x + 6) = (x - 4)(x + 5)(x2 + x + 6) Gọi thương phép chia F(x) cho x - x + P(x) Q(x) Suy : x3 + ax2 + bx + c = (x - 2) P(x) + (1) x3 + ax2 + bx + c = (x + 1) Q(x) - (2) Thay x = vào (1) ta có : + 4a + 2b + c = 4a + 2b + c = -3 (3) Thay x = -1 vào (2) ta có : -1 + a - b + c = -4 a - b + c = -3 (4) Từ (3) (4) => 4a + 2b + c = a - b + c => 3a = -3b => a = -b => a3 = -b3 => a3 + b3 = => (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) = 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài (4,0 điểm) - x2 - x2 x2 - -1= 2012 2013 2014 - x2 - x2 x2 - +1= +1+1 2012 2013 2014 2017 - x 2017 - x x - 2017 = 2012 2013 2014 2 2017 - x 2017 - x 2017 - x =0 2012 2013 2014 1 (2017 - x )( )=0 2012 2013 2014 1 2017 - x = ( 0) 2012 2013 2014 x = 2017 x = 2017 Vậy tập nghiệm phương trình S = { 2017 ; 2017 } 1 1 + + = ĐKXĐ : x , y x y 2xy => 2y + 2x + = xy xy - 2x - 2y - = x(y - 2) - (2y - 4) - = (y - 2)(x - 2) = ThuVienDeThi.com 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Vì x, y Z => x - 2, y - Z Do ta có bảng giá trị : x-2 -1 -5 y-2 -5 -1 x -3 y -3 Thử lại chọn chọn chọn chọn Vậy phương trình có nghiệm nguyên (3 ; 7) , (7 ; 3) , (1 ; -3) , (-3 ; 1) 0.5 0.25 Bài (3,0 điểm) a b c + + ab + a + bc + b +1 ac + c + Thay = abc ta có : a b c.abc S= + + ab + a + abc bc + b +1 ac + c.abc + abc a b c.abc = + + a(b +1+ bc) bc + b +1 ac(1+ bc + b) b bc = + + b +1+ bc bc + b +1 1+ bc + b 1+ b + bc = b +1+ bc =1 Vậy S = 30 P = 2x + y + + x y y 30 = x+ x+ y+ + + 5 5 x y 30 y = (x + y) + ( x + ) + ( + ) 5 x y S= Vì x, y > nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta có : 30 30 x+ 2 x = 12 x x 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 30 y , x x y (1) y y + 2 =2 (2) y y Từ (1), (2) từ giả thiết x + y 10 => P + 12 + = 22 x,y > 6 x = 30 x = x 5 Dấu "=" xảy y = y = 5 y x + y = 10 0.25 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 22 x = y = 0.25 ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 Bài (5,5 điểm) B A M N D P C Q *) Chứng minh tam giác AMN vuông cân - Chứng minh DAN = BAM 0.25 - Chứng minh ADN = ABM (g.c.g) => AN = AM (hai cạnh tương ứng) 0.75 - Tam giác AMN có AM = AN (chứng minh trên) MAN = 90 (giả thiết) => Tam giác AMN vuông cân A *) Chứng minh AN2 = NC NP o - Tam giác AMN cân A (chứng minh trên) AP MN (giả thiết) 1 = MAP = MAN = 45o => AP tia phân giác MAN => NAP o = 45o - Vì ABCD hình vng (giả thiết) => ACD = 45 hay ACN - Chứng minh ACN ∽ PAN (g.g) AN CN = => AN2 = NP.NC => PN AN - Chứng minh PM = PN - Chu vi tam giác CMP : CM + MP + CP = CM + PN + CP (vì MP = NP) = CM + PD + DN + CP = (CP + PD) + (BM + CM) (BM = DN ADN = ABM) = CD + CB = 2BC - Chu vi hình vng ABCD 4BC => Tỉ số chu vi tam giác CMP chu vi hình vng ABCD : 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 2BC = 4BC - Tam giác ANQ vng A, có đường cao AD => AN.AQ = AD.NQ (=2SABC) NQ NQ2 => = => = AD AN.AQ AD2 AN2 AQ2 Mà NQ2 = AN2 + AQ2 (ĐL Py-ta-go tam giác vuông ANQ) AN2 + AQ2 1 1 => (vì AM = AN) = = + = + 2 2 2 AD AN AQ AN AQ AM AQ2 Do hình vng ABCD cho trước nên độ dài cạnh AD không đổi 1 => không đổi M thay đổi cạnh BC + = 2 AM AQ AD2 ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài (2,5 điểm) A R O B H Q K P C - Đặt SABC = S, SBOC = S1, SCOA = S2, SAOB = S3 - Kẻ AH OK vng góc với BC (H, K BC) => AH // OK (từ vng góc đến song song) PA AH => (hệ định lý Ta-let) OP OK PA S ABC => ( ABC OBC có chung cạnh đáy BC, hai chiều cao tương ứng AH OK) OP SOBC PO + OA S S1 + S2 + S3 => OP S1 S1 S + S3 OA => 1+ 1 OP S1 => SS S S OA S2 S3 2 (BĐT Cauchy cho số dương ) S1 OP S1 S1 S1 S1 Vậy : SS OA 2 223 OP S1 (1) Tương tự : SS OB 32 OQ S2 (2) SS OC 22 OR S3 (3) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (S1S2S3 )2 OA OB OC Từ (1), (2) (3) => 8 8 OP OQ OR S12S22S32 0.25 Dấu "=" xảy S1 = S2 = S3 O trọng tâm tam giác ABC 0.25 Chú ý - Trên hướng dẫn chấm điểm theo bước cho cách giải; Các cách giải xác khác, giám khảo cho điểm tương ứng - Điểm toàn thi tổng điểm câu thành phần (không làm tròn) ThuVienDeThi.com ... -1= 2012 2013 2014 - x2 - x2 x2 - +1= +1+1 2012 2013 2014 2017 - x 2017 - x x - 2017 = 2012 2013 2014 2 2017 - x 2017 - x 2017 - x =0 2012 2013 2014 1 (2017 - x )( )=0 2012 2013 2014 1...PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP NĂM HỌC : 2013 - 2014 MƠN : TỐN Bài (5,0 điểm) A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 = [(x - 1)(x +... S1 S1 S1 S1 Vậy : SS OA 2 223 OP S1 (1) Tương tự : SS OB 32 OQ S2 (2) SS OC 22 OR S3 (3) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (S1S2S3 )2 OA OB OC Từ (1), (2) (3) => ? ?8 ? ?8 OP OQ OR S12S22S32