Thông tin tài liệu
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2021 - 2022 Mơn: Tốn – (Thời gian làm 120 phút) Bài (4.0 điểm) Cho biểu thức P = x +1 x2 + x − x2 : + + ÷ x2 − 2x + x x − x2 − x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P.(x – 1) = 6x – Bài (6.0 điểm) a) Giải phương trình: 1 1 + + = 18 x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 b) Không thực phép tính, chứng minh rằng: 20223 + 223 2022 + 22 = 3 2022 + 2000 2022 + 2000 c) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn a3 + b3 = 5c3 + 11d3 Chứng minh rằng: a + b + c + d M6 Bài (3.0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2x2 + 3y2 + 4xy – 8x – 2y + 18 b) Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 3( b + c ) 4a + 3c 12( b − c ) + + 2a 3b 2a + 3c Bài (6.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Gọi D E hình chiếu vng góc H AB, AC Gọi M N trung điểm BH, CH Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC F Gọi O giao điểm AH DE a) Chứng minh rằng: AH2 = BH.CH AD.AB = AE.AC · b) Giả sử BC cố định, A di động thỏa mãn BAC = 900 Chứng minh rằng, đường thẳng qua O vng góc với AF ln qua điểm cố định c) Chứng minh rằng, trực tâm tam giác AMN trung điểm OH Bài (1.0 điểm) Chứng minh rằng, 29 số nguyên dương khác nhỏ 100 ta chọn số có ước chung lớn khác Hết HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LỚP I Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý học sinh phải trình bày, học sinh giải theo cách khác mà đủ bước cho điểm tối đa 2) Điểm tồn tổng điểm ý, câu khơng làm trịn II Đáp án thang điểm: Bài Ý Nội dung trình bày ĐKXĐ: x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ −1 (Sai điều kiện tính 0,25đ) a x ( x + 1) ( x + 1)( x − 1) x − x2 : + + ÷ x( x − 1) x( x − 1) ( x − 1) x( x − 1) 0,5 P= x ( x + 1) x − + x + − x : x( x − 1) ( x − 1) 0,5 x ( x + 1) ( x − 1) : x ( x + 1) x( x − 1) x +1 = × x( x − 1) ( x − 1) x +1 x2 x −1 Ta có: P( x − 1) = x − b 0,5 P= 0,5 x2 ( x − 1) = x − ⇒ x − x + = x −1 ⇒ ( x − 1)( x − 5) = 0,5 x = ⇒ x = Đối chiếu điều kiện xác định ta x = Vậy x = ĐKXĐ: x ∉ { −4; −5; −6; −7} (6,0đ) 0,5 P= P= (4,0đ) Điểm 0,5 0,5 0,25 Biến đổi phương trình thành: 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 a + 1 + 1 = − − − ⇒ ÷ ÷ ÷ x + x + x + x + x + x + 18 ⇒ 1 = − x+4 x+7 18 0,5 0,25 ⇒ (x + 4)(x +7) = 54 0,25 ⇒ (x + 13)(x – 2) = ⇒ x = -13 x = (thỏa mãn 0,5 Đặt 2022 = a, 22 = b, 2000 = c Ta có a = b + c 0,25 Xét vế phải đẳng thức ta có: 2 20223 + 223 a + b3 ( a + b ) ( a − ab + b ) = = 20223 + 20003 a + c ( a + c ) ( a − ac + c ) 0,5 Vậy nghiệm phương trình: S = { −13; 2} b 0,25 a − ab + b = ( b + c ) − ( b + c ) b + b = b + bc + c Thay a = b + c vào a − ac + c = ( b + c ) − ( b + c ) c + c = b + bc + c 2 2 2 Nên a − ab + b = a − ac + c 2022 + 22 a +b = 3 3 2022 + 2000 a +c ( a + b ) ( a − ab + b2 ) a + b 2022 + 22 = = = ( a + c ) ( a − ac + c ) a + c 2022 + 2000 ⇒ 3 0,25 0,25 0,25 0,5 Vậy ta có đpcm a3 + b3 = 5c3 + 11d3 ⇒ a3 + b3 + c3 + d3 = 6c3 + 12d3 0,25 ⇒ a3 + b3 + c3 + d3 M6 0,25 3 3 Xét hiệu : (a + b + c + d ) – (a + b + c + d) c = (a3 – a) + (b3 – b) + (c3 – c) + (d3 – d) 0,25 = a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1) + d(d - 1)(d + 1) 0,25 Với a nguyên a, a – 1, a + số nguyên liên tiếp nên tích a(a - 1)(a + 1) M6 Tương tự : b(b - 1)(b + 1) M6, c(c - 1)(c + 1) M 6, d(d - 1)(d + 1) M6 3 3 Khi : (a + b + c + d ) – (a + b + c + d) M6 a 3 0,25 0,25 0,25 Mà a + b + c + d M6 nên a + b + c + d M6 Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 - 8x - 2y + 18 A = 2[(x + y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y + 9) + A = 2(x + y - 2)2 + (y + 3)2 + Chứng minh A ≥ Dấu xảy x = 5, y = - Vậy Amin = x = 5; y = -3 0,25 Đặt: x = 2a, y = 3b, z = 3c ⇒ x, y, z > 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Biểu thức cho viết lại: (3,0đ) y + z 2x + z y − 4z + + x y x+z y + z + x − x 2x + z y + 4x − 4x − 4z P= + + x y x+z P= b 0,25 y x z+x x+z 4x 4y = + ÷+ + + + ÷− x y x y x + z x + z 0,25 Lập luận chứng minh P ≥ Dấu xẩy x = y = z hay 2a = 3b = 3c Vậy Pmin = 2a = 3b = 3c 0,25 a b (6,0đ) - Chứng minh được: VABH ∼ VCAH ⇒ AH2 = BH.CH - Chứng minh được: VABH ∼ VAHD ⇒ AH2 = AD.AB - Chứng minh được: VHAE ∼ VCAH ⇒ AH2 = AE.AC ⇒ AD.AB = AE.AC Gọi P trung điểm BC ⇒ P cố định 1,0 0,5 0,5 0,5 0,25 Chứng minh AP ⊥ DE 0,5 0,5 0,5 Chứng minh O trực tâm tam giác FAP ⇒ PO ⊥ AF Suy đường thẳng qua O vng góc với AF ln qua điểm cố định P Gọi I trung điểm OH; gọi K giao điểm MI AN ABC vuông A, đường cao AH ⇒ AH2 = BH.CH ⇒ ⇔ c AH CH = BH AH AH CH OH NH = ⇔ = 2.BH 2AH BH AH Chứng minh BHO ∼ AHN (c.g.c) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 · · ⇒ BO ⊥ AN 0,25 ⇔ OBH = NAH Lại có MI đường trung bình HBO ⇒ MI// BO ⇒ MK ⊥ AN Mặt khác AH ⊥ MN 0,25 Vậy trực tâm tam giác AMN trung điểm I OH Chứng minh rằng, 29 số nguyên dương khác nhỏ 100 ta ln chọn số có ước chung lớn khác (1,0đ) Từ đến 100 có tất 26 số nguyên tố Khi phân tích 29 số nguyên dương cho thừa số nguyên tố, có số chứa thừa số nguyên tố 26 số nguyên tố Hai số có ước chung lớn khác Vậy đpcm 0,25 0,5 0,25
Ngày đăng: 05/01/2023, 21:05
Xem thêm:
