Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm 2008 2009 môn: Toán46598

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2008-2009 MƠN: TỐN Thời gian làm 150 phút khơng kể giao đề Mã kí hiệu Đ01T- 09 – HSG9 (Đề gồm câu 01 trang) Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: a/ A =  +  b/ B = 15  35  21  15 c/ C = 182  33125 + 182  33125  d/ D =    x 1    :   x 1   x 1  a2  b2  với x = a > b > 2ab x 1  Bài 2: Giải phương trình: 2(x2 + 2x + 3) = x  3x  3x  Bài 3: Chứng minh xyz = 1thì: 1   1  x  xy  y  yz  z  zx Bài 4: Cho điểm C thuộc (O;R); AB = 2R thỏa mãn BC = R Trên đoạn thẳng CO lấy điểm M N cho CO = 2CM = 3NO Các đường thẳng AM AN cắt CB I K a/ Tính số đo  CMK b/ Chứng minh: Các điểm M, N, K, I thuộc đường tròn Bài 5: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a  4; b  5; c  a2 + b2 + c2 = 90 Chứng minh rằng: a + b + c  16 Bài 6: M điểm nằm miền tam giác ABC Các đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh BC, CA, AB A1, B1,C1 Tìm vị trí điểm M cho P = AM BM CM đạt giá trị nhỏ MA1 MB1 MC -Hết - DeThiMau.vn Mã kí hiệu HD01T- 09 – HSG9 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán Nội dung Bài a/ Điểm điểm A =  1    0,5 điểm = (  1)  (2  ) 1 + = b/ 2 = 0,5 điểm B =    7.5  7.3  5.3 = (   3) = c/ 0,5 điểm 1  = 7 5 = 7 5 Đặt x = 182  33125 ; y = 182  33125 Ta có : C = x + y suy C3 =x3 + y3 + 3xy(x+y) 0,5 điểm 0,5 điểm  C3 =364 +3A 182  33125  (C-7)(C2 + 7C + 52) (*)  C3 + 3C - 364 = Vì C2 + 7C + 52 = (C + 159 ) + > Nên (*)  C = Vậy C = d/ a2  b2 ( a  b) x- = -1= > với  a,b > 2ab 2ab a2  b2 ( a  b) x+1 = +1= > với  a,b > 2ab 2ab Nên x  ; x  Luôn xác định  a,b > x 1  x 1 D= x  x  x 1  x 1 = : 0,5 điểm 0,5 điểm x 1  x 1 x  x  = x + x2 1 x 1  x 1 a2  b2 b Thay x = vào D rút gọn D = 2ab a 0,5 điểm điểm Bài 2(x2 + 2x + 3) = x  3x  3x  ( đk x  -2) 0,5 điểm  2(x+2)+2(x2 + x + 1) = ( x  2)( x  x  1) Ta có: x2 + x + = (x + ) + > 0,5 điểm Chia hai vế phương trình cho x2 + x + > x2 x2 +2=5 (*) x  x 1 x  x 1 DeThiMau.vn 0,5 điểm Đặt t = x2  x  x 1 0,5 điểm (*)  2t2 -5t + = Giải t1 = 2; t2 = + t1 =  (Thỏa mãn đk: t  0,5 điểm x2 =2 x  x 1 0,5 điểm  4x2 + 3x + = (PT vô nghiệm) 1 x2 + t2 =  = x  x 1  x2 - 3x - =  37  37 Giải được: x1 = ; x1 = (tmdk: x  -2) 2 KL: … Vì xyz = nên suy x, y, z  1    x  xy  y  yz  z  zx z xz =   z  zx  xz   z  z  zx z  zx  =  (đpcm)  z  zx 0,25 điểm Xét A = I’ b a/ 0,25 điểm 0,25 điểm điểm c i k 0,5 điểm điểm 0,25 điểm Bài 3: Bài 0,5 điểm N’ m n o a Có C  (O,R) ; AB = 2R; BC = R (gt) Suy ra: BC2 = R2 = OB2 + OC2   OBC vuông O (Pitago) hay AB  OC O Mà OB = OC = R   OBC vuông cân O   BCO = 450 (1) Lại có CO = 2CM = 3NO (gt) (2)  M trung điểm CO N trọng tâm tam giác ABC  K trung điểm BC DeThiMau.vn 1,0 điểm 0,5 điểm b/ Bài  KM // BO (T/c đường trung bình tam giác)  KM  OC   CMK = 900 (Đpcm) + Kẻ N’ đối xứng N qua M R R R R Từ (2)  MN =   (3)  NN’ = MN = R  CN’ = (4) + Kẻ I’ đối xứng I qua K  IN’ // I’N // KM (Talet đảo)  IN’  CN’ N’ (vì KM  OC ) có (1)  BCO = 450   CIN’ vuông cân N’ (5) Từ (5)  IN’ = CN’ (Đn) R  IN’ = CN’ = NN’ = = CN có (1)  BCO = 450   CIN vuông cân I   KIN = 900 (bù với  CIN = 900 ) (6) Mặt khác, có KM  OC (cm a)   KMN = 900 (7) Từ (6) (7)  M, I  đường trịn đường kính KN  Tứ giác MNKI nội tiếp đường trịn đường kính KN (Đpcm) Đặt a = x + ; b = y + ; c = z + (với x, y, z  0) Vì a2 + b2 + c2 = 90 Suy ra: x2 + y2 + z2 + 8x + 10y + 12z = 13 (1) Vì x, y, z  nên ta có 2xy + 2xz + 2zx + 4x + 2y  (2) Từ (1) (2) suy ra: (x+ y + z)2 + 12(x + y + z) - 13   ( x + y + z - 1)(x + y + z + 13)   ( x + y + z - 1)  ( x + y + z + 13 > với x, y, z  0) x +y +z  Suy a + b + c = x + + y + + z +  16 (đpcm) Bài A C1 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm điểm B1 M B C D A1 E Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, AC cắt BC D E Đặt BD = x; DE = y; EC = z ( x, y, z > 0) DeThiMau.vn 0,5 điểm AM BD EC BD  EC x  z     MA1 DA1 A1 E DE y BM BD  DE x  y CM DE  ED y  z ;     MB1 EC z MC1 DB x Theo định lí ta lét ta có: Ta có: AM BM CM x  z x  y y  z xz xy yz   MA1 MB1 MC1 y z x xyz 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm (Bất đẳng thức cô si) AM BM CM  (Dấu " =" xảy x = y = z M trọng MA1 MB1 MC1 tâm tam giác ABC) Vậy P = AM BM CM đạt giá trị nhỏ M trọng MA1 MB1 MC tâm tam giác ABC Chú ý:- Điểm toàn 20 điểm - Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn 0,5 điểm 0,5 điểm Người đề Trịnh Văn Dũng Người duyệt đề Bùi Văn Chiến DeThiMau.vn Xác nhận nhà trường ...Mã kí hiệu HD01T- 09 – HSG9 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008- 20 09 Mơn: Tốn Nội dung Bài a/ Điểm điểm A =  1    0,5 điểm = ( ... ABC Chú ý:- Điểm toàn 20 điểm - Nếu học sinh làm cách khác cho điểm tối đa DeThiMau.vn 0,5 điểm 0,5 điểm Người đề Trịnh Văn Dũng Người duyệt đề Bùi Văn Chiến DeThiMau.vn Xác nhận nhà trường ... = NN’ = = CN có (1)  BCO = 450   CIN vuông cân I   KIN = 90 0 (bù với  CIN = 90 0 ) (6) Mặt khác, có KM  OC (cm a)   KMN = 90 0 (7) Từ (6) (7)  M, I  đường trịn đường kính KN  Tứ giác