PHỊNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO HUYỆN BN ĐƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN Thời gian làm bài:150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (3 điểm): Cho a, b, c > thỏa a + b + c = Chứng minh rằng: 1 1 1 1 64 a b c Câu (3 điểm): Tìm tất số thực x, y, z thỏa mãn phương trình: x + y + z + = x2 + y 3 + z 5 Câu (4 điểm): Giải hệ phương trình sau: xyz x y xyz 1 y z xyz 1 x z Câu (2 điểm): Cho x 2 1 1 Tính giá trị biểu thức: A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003 Câu (4 điểm): Cho hình thoi ABCD có góc A = 1200, tia Ax tạo với tia AB góc BAx 150 cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng DC N Chứng minh: 1 2 AM AN AB Câu (4 điểm): Cho tam giác ABD vuông D, lấy C điểm thuộc cạnh AB Kẻ CH vng góc với AD (H AD) Đường phân giác góc BAD cắt đường trịn đường kính AB E, cắt CH F; DF cắt đường tròn K a) Chứng minh tứ giác AFCK nội tiếp b) Chứng minh ba điểm K, C, E thẳng hàng c) Cho BC = AD, kẻ CI song song với AD (I DK) Chứng minh CI = CB DF đường trung tuyến tam giác ADC Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Mơn: TỐN Câu (3 điểm): Ta có a 1 aabc = = a a a (0,5 điểm) Do a, b, c > 0, theo bất đẳng thức Cauchy ta có: aabc a bc 2.2 1 = a a a Vậy: a bc 44 a bc = a a 44 a bc a a (0,5 điểm) Tương tự: 44 b ac b b (0,5 điểm) 44 c ab 1 c c (0,5 điểm) 1 Từ đó, suy ra: 1 a 4b c = 64 (đpcm) 1 1 1 64 a b c abc (1 điểm) Câu (3 điểm): ĐK: x ; y ; z Ta có: x + y + z + = x 2 + y 3 + z 5 (x - - x + 1) + (y - - 2.2 y + 4) + (z-5 - 2.3 z + 9) = ( x2 -1)2 + ( y 3 - 2)2 + ( z 5 - 3)2 x 1 y 3 2 z x 1 y 3 z x y z = (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) ThuVienDeThi.com x y z 14 (0,5 điểm) Câu (4 điểm): Giải hệ phương trình: x y 1 1 xyz yz xz (1) y z 1 (2) xyz xz xy x z 1 (3) xyz yz xy xyz x y xyz 1 y z xyz 1 x z (1 điểm) 1 (4) xz xy yz 1 (4) – (1): xy 1 (4) – (2): yz 1 (4) – (3): xz (1) + (2) + (3): (0,5 điểm) Lấy (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) Vậy xy = 2, yz = 6, xz = Ta có: (xyz)2 = 36 xyz = hay xyz = -6 Trường hợp 1: xyz = Ta có: x = 1, y = 2, z = Trường hợp 2: xyz = -6 Ta có: x = -1, y = -2, z = -3 (0,5 điểm) (0,5 điểm) Câu (2 điểm): Ta có x 1 1 1 = 1 1 (0,5 điểm) 1 1 11 = 2 (0,5 điểm) Ta lại có: A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2003 2003 = x 1x x 1 Thay x = vào A, ta được: A= 12 1 2003 = (0,5 điểm) 1 1 ThuVienDeThi.com 2003 = 12003 = (0,5 điểm) Câu (4 điểm): Vẽ hình; viết GT, KL (0,75 điểm) Trên cạnh DC lấy điểm E cho góc DAE 150, suy NAE = 900 (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) DAE BAM (g.c.g) AE =AM Xét tam giác EAN vuông A, đường cao AH, 1 2 AE AN AH 1 suy ra: 2 AM AN AH (0,5 điểm) ta có: (1) (0,5 điểm) 3 AB (2) 4 1 Từ (1), (2) suy (Đpcm) 2 AM AN AB (0,5 điểm) Xét tam giác ADC, đường cao AH ta có: AH2 = AD (0,5 điểm) Câu (4 điểm): Vẽ hình viết giả thiết kết luận đầy đủ E D H (0,5 điểm) F A C I K ThuVienDeThi.com B a) Ta có CH AD BD AD (gt) HCA DBA ( hai góc đồng vị) mà DKA DBA Sđ DA HCA DKA Mà HCA, DKA chắn FA nên tứ giác AFCK nội tiếp b) Ta có DKE DAE FAC DKC (0,5 điểm) Sđ DE SđFC tứ giác AFCK nội tiếp (0,5 điểm) (0,5 điểm) Mà FAC DAE (gt) DKE DKC hai tia KC KE trùng Vậy K, C, E thẳng hàng (0,5 điểm) c) Ta có AD//IC (gt) suy DAB ICA (đồng vị) Mà DAB DKB Sđ DEB (0,25 điểm) DKB ICA ICB ICA ICB DKB 180 nên tứ giác KBCI nội tiếp 1 EKB CIB Sđ BC DKE IBA Sđ IC 2 (0,25 điểm) Mặt khác EKB DKE ( chắn hai cung EB, ED nhau) IBA CIB tam giác BIC cân C nên BC = IC (0,5 điểm) * Ta có AD = BC AD//IC (gt) IC = AD AD//IC nên tứ giác ADCI hình bình hành DF qua trung điểm AC (tính chất đường chéo hình bình hành ) Vậy DF đường trung tuyến tam giác ADC (0,5 điểm) Ghi chú: Thí sinh giải nhiều cách khác đúng, chặt chẽ, điểm tối đa ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2009-2010 Mơn: TỐN Câu (3 điểm): Ta có a 1 aabc = = a a a (0,5... cao AH ta có: AH2 = AD (0,5 điểm) Câu (4 điểm): Vẽ hình viết giả thi? ??t kết luận đầy đủ E D H (0,5 điểm) F A C I K ThuVienDeThi.com B a) Ta có CH AD BD AD (gt) HCA DBA ( hai góc... ) Vậy DF đường trung tuyến tam giác ADC (0,5 điểm) Ghi chú: Thí sinh giải nhiều cách khác đúng, chặt chẽ, điểm tối đa ThuVienDeThi.com