PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP BN MA THUỘT ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng tính giao đề) Ngày thi: 24/02/2017 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức 3x x 1 2x x P : x x x x 1 x x a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn P b) Tính giá trị P x 18 4 c) Tính giá trị lớn P Bài 2: (5,5 điểm) a) Chứng minh với B n 3n n 3 48 với n số nguyên lẻ b) Giải phương trình ( x x 2)(1 x 7x 10) c) Tìm tất cặp số tự nhiên n k để n 42k 1 số nguyên tố (trong n ) Bài 3: (2,5 điểm) a) Cho đường thẳng (d) có phương trình 2m(m + 1)x – y = –m đường thẳng (d ' ) có phương trình 4(m – 2)x + y = 3m – 1, x, y ẩn số, m tham số, cho biết m 1 , ) Hãy xác định giá trị m để (d) // (d’) b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x y 6x 4y 13 m , m m Bài 4: (4,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định, thẳng hàng, B nằm A C Vẽ đường tròn (O;R) cho (O;R) nhận BC làm dây cung (BC < 2R) Từ A kẻ tiếp tuyến AF AE đến (O;R), (F nằm nửa mặt phẳng bờ AO có chứa dây BC) Gọi I trung điểm dây BC, EF cắt BC N cắt AO K Chứng minh: a) AF AB.AC b) điểm A, E, O, I, F thuộc đường trịn c) Khi đường trịn (O;R) thay đổi đường trịn ngoại tiếp KOI ln qua điểm cố định Bài 5: (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường trịn (C thuộc AB) cho MA < MB (M khác A B) Vẽ MC tia phân giác AMB Qua C vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng AM BM D H Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AH BD cắt điểm N nằm đường trịn (O) b) Gọi E hình chiếu H tiếp tuyến A (O), gọi F hình chiếu D tiếp tuyến B đường tròn (O) Chứng minh tứ giác ACHE CBFD hình vng c) Chứng minh bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng d) Gọi S1 ,S2 diện tích tú giác ACHE BCDF Chứng minh: CM S1S2 G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 11 BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1: (4,0 điểm) x 0, x x x x 1 a) P có nghĩa x 0, x x 1 2x x 0 x 1 3x x 1 2x x 3x x x x 2x x P : : x x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x x 2x x 2x x 18 18 (TMĐK) 4 1 26 Do P 109 26 8 5 1 b) Ta có: x 1 Dấu “=” xảy 2x x 5 15 15 2 x 4 25 Vậy max P = x 15 16 c) P x 25 0 x (TMĐK) 16 Bài 2: (5,5 điểm) a) B n 3n n n 1 n 1 n 2k 2k 2k 8k k 1 k (n lẻ, n 2k ) Vì k k 1 k B 48 2 a b b) ĐK: x 2 Đặt a x 5, b x a 0, b ta có: a b 1 ab a b a b a b 1 ab a b a b ab a b a 11 b a b 2 +) a b x x 0x (vô nghiệm) +) a b 2 (vơ lí) +) b a a (vì a ) Ta có: x x 1 (TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm x = –1 c) Tìm tất cặp số tự nhiên n k để n 42k 1 số nguyên tố (trong n ) Ta có: n 42k 1 n 2n 22k 1 22 2k 1 2n 22k 1 n 22k 1 k 1 n G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 22 2 n 22k 1 2k 1 n n 22k 1 2k 1 n n 2k 22k n k 22k +) Nếu n 1, k n 42k 1 số nguyên tố 2 +) Nếu n 1, k n 2k 2k 2; n k 22k n 42k 1 hợp số Vậy n = 1, k = Bài 3: (2,5 điểm) a) Ta có : 2m(m + 1)x – y = –m y = 2m(m + 1)x + m (d) 4(m – 2)x + y = 3m – y = –4(m – 2)x + 3m – (d’) m 1 m 2m(m 1) 4 m m 1 Do (d) // (d ) m 3m m m 4 ’ Vậy m = m = –4 (d) // (d’) 2 x3 (thỏa mãn x, y Z) y 2 b) x y 6x 4y 13 x y Bài 4: (4,0 điểm) E A B K O N I C F a) AF2 AB.AC FAB (góc chung), ACF AFB (góc nội tiếp góc ….) ACF AFB có: CAF Vậy ACF AFB AF AB AF AB AC AC AF b) điểm A, E, O, I, F thuộc đường tròn AFO 900 (AE, AF tiếp tuyến (O)); AIO 900 (do IB IC BC ) AEO Vậy điểm A, E, O, I, F thuộc đường tròn đường kính OA c) Khi đường trịn (O;R) thay đổi đường trịn ngoại tiếp KOI ln qua điểm cố định Vì B, C cố định I cố định, nên đường trịn ngoại tiếp KOI ln qua điểm cố định I đường tròn (O;R) thay đổi Bài 5: (4,0 điểm) G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 33 D F N M E A H C O B a) Các đường thẳng AH BD cắt điểm N nằm đường tròn (O) 900 , góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) ABD: DC AB (gt), BM AD ( AMB 900 N nằm đường tròn (O) H trực tâm ABD AN BD ANB b) Chứng minh tứ giác ACHE CBFD hình vng AEH 900 (gt), AMH 900 (cmt) A, C, H, M, E thuộc đường trịn Ta có: ACH CMH AMB 450 AH phân giác góc CAE đường kính AH CAH Tứ giác ACHE: A C E 90 , AH phân giác góc CAE tứ giác ACHE hình vng 450 , ANB 900 ABN vuông cân N CBD 450 CBF BD phân giác Do CAH góc CBF C F 900 , BD phân giác góc CBF tứ giác CBFD hình vng Tứ giác CBFD: B c) Chứng minh bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng đường trịn đường kính AH) AHE 450 (góc nội tiếp chắn cung AE AME BAN 450 (góc nội tiếp chắn cung BN đường tròn (O)) BMN AME AMB BMN 450 900 450 1800 E, M, N thẳng hàng (1) EMN 900 (BM AD), tứ giác CBFD hình vng M nằm đường trịn Lại có BMD 900 FM CM , lại có NM CM ngoại tiếp hình vng CBFD CMF BMN BMC 450 450 900 ) F, M, N thẳng hàng (2) ( NMC Từ (1), (2) E, M, N, F thẳng hàng (đpcm) d) Gọi S1 ,S2 diện tích tú giác ACHE BCDF Chứng minh: CM S1S2 FCH 450 (ACHE; CBFE hình vng) ECF 900 Ta có ECH 900 , CM EF (cmt) ECF: ECF 1 2 CM CE CF CE CF 2AC 2BC AC BC CM S1S2 S1S2 1 CE CF AC = BC MA = MB (không thỏa mãn MA < CE CF MB) Vậy CM S1S2 Dấu “=” xảy G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 44 ... Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 22 2 n 22k 1 2k 1 n n 22k 1 2k 1 n n 2k 22k... Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 33 D F N M E A H C O B a) Các đường thẳng AH BD cắt điểm N nằm đường trịn (O)... Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 44