Đề thi học sinh giỏi bậc THCS cấp thành phố năm học 2016 2017 môn: Ttoán39345

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP BN MA THUỘT ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-2017 MƠN: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng tính giao đề) Ngày thi: 24/02/2017 Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức  3x  x 1   2x  x   P     :  x    x    x x 1 x  x  a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn P b) Tính giá trị P x  18 4 c) Tính giá trị lớn P Bài 2: (5,5 điểm) a) Chứng minh với B  n  3n  n  3 48 với n số nguyên lẻ b) Giải phương trình ( x   x  2)(1  x  7x  10)  c) Tìm tất cặp số tự nhiên n k để n  42k 1 số nguyên tố (trong n  ) Bài 3: (2,5 điểm) a) Cho đường thẳng (d) có phương trình 2m(m + 1)x – y = –m đường thẳng (d ' ) có phương trình 4(m – 2)x + y = 3m – 1, x, y ẩn số, m tham số, cho biết m  1 , ) Hãy xác định giá trị m để (d) // (d’) b) Tìm nghiệm nguyên phương trình x  y  6x  4y  13  m  , m  m  Bài 4: (4,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định, thẳng hàng, B nằm A C Vẽ đường tròn (O;R) cho (O;R) nhận BC làm dây cung (BC < 2R) Từ A kẻ tiếp tuyến AF AE đến (O;R), (F nằm nửa mặt phẳng bờ AO có chứa dây BC) Gọi I trung điểm dây BC, EF cắt BC N cắt AO K Chứng minh: a) AF  AB.AC b) điểm A, E, O, I, F thuộc đường trịn c) Khi đường trịn (O;R) thay đổi đường trịn ngoại tiếp KOI ln qua điểm cố định Bài 5: (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, lấy điểm M thuộc đường trịn  (C thuộc AB) cho MA < MB (M khác A B) Vẽ MC tia phân giác AMB Qua C vẽ đường thẳng vng góc với AB cắt đường thẳng AM BM D H Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng AH BD cắt điểm N nằm đường trịn (O) b) Gọi E hình chiếu H tiếp tuyến A (O), gọi F hình chiếu D tiếp tuyến B đường tròn (O) Chứng minh tứ giác ACHE CBFD hình vng c) Chứng minh bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng d) Gọi S1 ,S2 diện tích tú giác ACHE BCDF Chứng minh: CM  S1S2 G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 11 BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1: (4,0 điểm) x  0, x x     x  x 1  a) P có nghĩa   x  0, x  x 1    2x  x  0  x 1       3x  x 1   2x  x   3x   x   x  x  2x  x  P     : :  x    x   x 1 x 1 x  x 1  x x 1 x  x    x  x 1    x 1  x  x  x  2x  x  2x  x       18  18      (TMĐK) 4 1 26  Do P    109 26  8 5 1  b) Ta có: x        1   Dấu “=” xảy 2x  x  5  15 15  2 x    4  25 Vậy max P =  x  15 16 c) P  x 25 0 x (TMĐK) 16 Bài 2: (5,5 điểm) a) B  n  3n  n    n  1 n  1 n    2k  2k   2k    8k  k  1 k   (n lẻ, n  2k  ) Vì k  k  1 k     B  48 2  a  b  b) ĐK: x  2 Đặt a  x  5, b  x   a  0, b   ta có:   a  b 1  ab   a  b  a  b   a  b 1  ab    a  b  a  b   ab     a  b  a  11  b     a   b  2 +) a  b  x   x   0x  (vô nghiệm) +) a   b  2 (vơ lí) +) b   a   a  (vì a  ) Ta có: x    x  1 (TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm x = –1 c) Tìm tất cặp số tự nhiên n k để n  42k 1 số nguyên tố (trong n  ) Ta có: n  42k 1  n  2n 22k 1  22 2k 1   2n 22k 1   n  22k 1    k 1 n  G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 22 2   n  22k 1  2k 1 n  n  22k 1  2k 1 n    n  2k   22k   n  k   22k     +) Nếu n  1, k  n  42k 1  số nguyên tố 2 +) Nếu n  1, k   n  2k   2k  2;  n  k   22k   n  42k 1 hợp số Vậy n = 1, k = Bài 3: (2,5 điểm) a) Ta có : 2m(m + 1)x – y = –m  y = 2m(m + 1)x + m (d) 4(m – 2)x + y = 3m –  y = –4(m – 2)x + 3m – (d’)  m  1 m    2m(m  1)  4  m    m 1  Do (d) // (d )     m  3m  m  m  4   ’ Vậy m = m = –4 (d) // (d’) 2  x3 (thỏa mãn x, y  Z)  y  2 b) x  y  6x  4y  13    x     y      Bài 4: (4,0 điểm) E A B K O N I C F a) AF2  AB.AC   FAB  (góc chung), ACF   AFB  (góc nội tiếp góc ….) ACF AFB có: CAF Vậy ACF AFB  AF AB   AF  AB  AC AC AF b) điểm A, E, O, I, F thuộc đường tròn   AFO   900 (AE, AF tiếp tuyến (O)); AIO   900 (do IB  IC  BC ) AEO Vậy điểm A, E, O, I, F thuộc đường tròn đường kính OA c) Khi đường trịn (O;R) thay đổi đường trịn ngoại tiếp KOI ln qua điểm cố định Vì B, C cố định  I cố định, nên đường trịn ngoại tiếp KOI ln qua điểm cố định I đường tròn (O;R) thay đổi Bài 5: (4,0 điểm) G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 33 D F N M E A H C O B a) Các đường thẳng AH BD cắt điểm N nằm đường tròn (O)   900 , góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) ABD: DC  AB (gt), BM  AD ( AMB   900  N nằm đường tròn (O)  H trực tâm ABD  AN  BD  ANB b) Chứng minh tứ giác ACHE CBFD hình vng   AEH   900 (gt), AMH   900 (cmt)  A, C, H, M, E thuộc đường trịn Ta có: ACH    CMH   AMB  450  AH phân giác góc CAE đường kính AH  CAH    Tứ giác ACHE: A  C  E  90 , AH phân giác góc CAE  tứ giác ACHE hình vng    450 , ANB   900  ABN vuông cân N  CBD   450  CBF  BD phân giác Do CAH góc CBF C   F  900 , BD phân giác góc CBF  tứ giác CBFD hình vng Tứ giác CBFD: B c) Chứng minh bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng  đường trịn đường kính AH)   AHE   450 (góc nội tiếp chắn cung AE AME   BAN   450 (góc nội tiếp chắn cung BN  đường tròn (O)) BMN   AME   AMB   BMN   450  900  450  1800  E, M, N thẳng hàng (1)  EMN   900 (BM  AD), tứ giác CBFD hình vng  M nằm đường trịn Lại có BMD   900  FM  CM , lại có NM  CM ngoại tiếp hình vng CBFD  CMF   BMN   BMC   450  450  900 ) F, M, N thẳng hàng (2) ( NMC Từ (1), (2)  E, M, N, F thẳng hàng (đpcm) d) Gọi S1 ,S2 diện tích tú giác ACHE BCDF Chứng minh: CM  S1S2   FCH   450 (ACHE; CBFE hình vng)  ECF   900 Ta có ECH   900 , CM  EF (cmt) ECF: ECF  1     2 CM CE CF CE  CF  2AC  2BC AC  BC   CM  S1S2 S1S2 1   CE  CF  AC = BC  MA = MB (không thỏa mãn MA < CE CF MB) Vậy CM  S1S2 Dấu “=” xảy  G GVV:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg Hả Hảii –– TTH HC CSS PPhhaann C Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 44 ... Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 22 2   n  22k 1  2k 1 n  n  22k 1  2k 1 n    n  2k   22k... Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 33 D F N M E A H C O B a) Các đường thẳng AH BD cắt điểm N nằm đường trịn (O)... Chhuu TTrriinnhh –– BBM MTT –– Đ Đăăkk LLăăkk ((SSưưuu ttầầm m và ggiiớớii tthhiiệệuu)) ThuVienDeThi.com ttrraanngg 44