Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội từ năm 1995 đến 2007 môn thi: Toán 1244784

SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 1995-1996 Mơn thi: Tốn 12 (vòng1) Ngày thi:23-12-1995 Thời gian làm bài:180 phút Bài I Xét đường cong: y  mx3  nx  mx  n (C) Tìm cặp số (m; n) cho giao điểm (C) với trục hồnh có hai giao điểm cách 1995 đơn vị khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến trục hoành 2000 đơn vị Bài II   Với giá trị m khoảng  0;  ta ln có:  2 m sin   2mcos 2  3m sin  cos 2 Bài III Cho hai dãy số  an   bn  với i = 1, 2, 3… ta ln có: 1   bi  Chứng minh rằng: có giá trị a i cho dãy  bn  có giới hạn khác Bài IV x2 y   với tâm O tiêu điểm F1 , F2 Qua O, F1 vẽ đường a b2 song song MOM', MF1N' Tính tỉ số: Cho hình Elíp OM OM ' F1 N F1 N ' DeThiMau.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 1996-1997 Mơn thi: Tốn 12 (vịng1) Ngày thi:21-12-1996 Thời gian làm bài:180 phút Bài I Cho dãy ( xn ) xác định điều kiện: x1 = a ; xn 1  xn  xn  ; ( n = 1; 2; 3…) Tìm giá trị a cho: x1996 = x1997 Bài II Hàm số f(x) xác định hệ thức: f (1  x)  f ( x)  sin x Chứng minh rằng: s inf(x)  2 Bài III Cho phương trình: cos2x+  m+3 cos2 =8sin 3  2cos x  2m s in +m+4 Hãy xác định giá trị m cho với giá trị  phương trình có nghiệm Bài IV Trên mặt phẳng toạ độ vng góc Oxy, cho điểm A(-1; 0); B(2; 0); H(-2; 0); M(-1; -0,6) Kẻ đường thẳng    vuông góc với AB H đường trịn (C) nhận AB làm đường kính Tìm quỹ tích tâm I đường tròn tiếp xúc với    tiếp xúc với (C) cho điểm M nằm bên ngồi đường trịn (I) DeThiMau.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 1997-1998 Mơn thi: Tốn 12 (vịng1) Ngày thi:25-12-1997 Thời gian làm bài:180 phút Câu (5 điểm): Cho hàm số f  x   e2 x e2  e Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số đoạn ln 2;ln  Tính tổng S  f ( ) 1998   f   1998    f     1998   1996  f   1998   1997  f   1998  Câu (5 điểm): Tìm a để phương trình sau có nghiệm:  x sin a 1     log x  x    x2  x log 0  x  sin a   1 Câu (5 điểm): Cho   x1 , x2 , x3 , x4   Chứng minh rằng:  1 1      c otgx1  c otgx  c otgx  c otgx     c otgx1 c otgx c otgx c otgx    1 Câu (5 điểm): Trong hệ toạ độ trực chuẩn xOy cho đường thẳng (d) có phương trình: y  17 x 12 Tìm điểm M(a; b) với a, b  Z cho khoảng cách từ M tới (d) nhỏ độ dài đoạn OM ngắn Cho đường tròn (C) tâm M(-2; 0) tiếp xúc với Oy Tìm tập hợp tâm đường trịn tiếp xúc với Ox tiếp xúc ngồi với đường trịn (C) DeThiMau.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 1998-1999 Mơn thi: Tốn 12 Ngày thi:9-12-1998 Thời gian làm bài:180 phút Câu (5 điểm): Cho họ đường cong (Cm): y  x3  x  mx   m ( m tham số) Đường thẳng (d): y=3-x cắt đường cong (C) họ (Cm) điểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến A tiếp tyuến B (C) cắt đường cong điểm thứ hai M N Tìm m để tứ giác AMBN hình thoi Câu (5 điểm): Giải hệ phương trình:  x  y s inx e  siny   10 x   y     x; y  5    Câu (5 điểm): Chứng minh bất đẳng thức: 1   2  cos4a  cos8a  cos12a Với a làm vế trái có nghĩa Có thể thay số vế phải số vơ tỷ để có bất đẳng thức mạnh không? Câu (5 điểm): Cho đường tròn thay đổi (C) (C') tiếp xúc với đường thẳng điểm A A' cố định Tìm quỹ tích giao điểm M (C) (C') biết chúng ln cắt góc  cho trước (  góc tạo hai tiếp tuyến hai đường tròn M ) DeThiMau.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 1999-2000 Mơn thi: Tốn 12 Ngày thi:11-12-1999 Thời gian làm bài:180 phút Câu (5 điểm): Cho hai hàm số f ( x)  x g ( x)  arctgx 1 x Cmr: đồ thị chúng tiếp xúc Giải bất phương trình: f ( x)  g ( x)  x Câu (5 điểm): Cho tam giác ABC thoả mãn:  ma  mb  mc   cot gA  cot gB  cot gC    abc  cot g A B C cot g cot g 2 Cmr: tam giác ABC Câu (5 điểm): Tìm tham số a cho phương trình:   a  4  log       x  x   a  2  x   4 a   x  5a  10  34     x  a      có nghiệm ngun Câu (5 điểm): Trong hệ toạ độ trực chuẩn Oxy cho đường trịn (C) có phương trình: x  y  Tìm tham số m để đường thẳng y=m có điểm cho qua điểm có đường thẳng tạo với góc 450 chúng tiếp xúc với đường tròn (C) Cho điểm A(a;b), B(c;d) thuộc đường tròn (C) chứng minh:  a  b   c  d   ac  bd  DeThiMau.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 2001-2002 Mơn thi: Tốn 12 Ngày thi: 8-12-2001 Thời gian làm bài:180 phút Câu (4 điểm): Cho hàm số y  x  2m x  n Tìm giá trị tham số m n để đồ thị có điểm cực trị đỉnh tam giác ngoại tiếp đường trịn có tâm gốc toạ độ Câu (4 điểm): Tìm tất giá trị a b thoả mãn điều kiện: a  cho biểu thức P  a 1  b 2a  đạt giá trị nhỏ b a  b Tìm giá trị nhỏ Câu (4 điểm): Giải bất phương trình:  log x  x 1 2x 1 Câu (4 điểm): Tìm giá trị x, để với giá trị y tồn giá trị z thoả mãn:   sin  x  y  z   y  cos  2x+    2cosx  y Câu (4 điểm): Cho Elíp (E) có tiêu điểm F1 F2 Hai điểm M N (E) Chứng minh rằng: đường thẳng MF1, MF2, NF1, NF2 tiếp xúc với đường tròn DeThiMau.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 2003-2004 Mơn thi: Tốn 12 Ngày thi: 5-12-2003 Thời gian làm bài:180 phút Câu (4 điểm): Giải biện luận theo tham số a số nghiệm phương trình: (n  2) x n 3  2003(n  3) x n   a n 3  ( với n số tự nhiên lẻ ) Câu (4 điểm): Cho đường cong (C) có phương trình y   x  x  Tìm m n để đường thẳng y  mx  n cắt đường cong (C) điểm phân biệt A, B , C, D ( theo thứ tự ) cho AB  CD  BC Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi R R' bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác có độ dài cạnh GA, GB, GC Cmr: Nếu có 9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) tam giác ABC Câu (4 điểm): Giải phương trình sau: 2cosx+sin19x-5  sin 21x  sin10 x 32 x5  40 x3  10 x   Câu (4 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P): y  px ( p>0 ), tiêu điểm F Từ điểm I kẻ đường thẳng tiếp xúc với (P) M N Cmr: FIM đồng dạng với FIN Một đường thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) T cắt IM, IN Q Q' Cmr: FQ.FQ' khơng phụ thuộc vị trí (d) FT DeThiMau.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 2004-2005 Môn thi: Toán 12 Ngày thi: 3-12-2004 Thời gian làm bài:180 phút Bài (4 điểm): m2 x  g ( x)  x  2004 x  12 có đồ thị (C) (C’) Hẵy tìm tất cac giá trị tham số m để tồn đường thẳng khác nhau, song song với trục tung đường chúng cắt (C) (C’) hai điểm cho tiếp tuyến tương ứng (C)và (C’) hai điểm song song với Cho hàm số: f(x)= mx  Bài (4điểm): Cho bất phương trình: x x  x  x  ax x  a x x  x 1.Giải bpt a=-1 2.Tìm a để bpt có nghiệm x>1 Bài (4điểm): Giải phương trình: 3cos x  sin x 2 x ( ) 3  2 x 94( )  Bài (4điểm): Một tứ giác có độ dài ba cạnh diện tích độ lớn góc tư giác 3 Hãy tính độ dài cạnh lại Bài (4điểm): Cho tứ diện ABCD DA=a, DB=b, DC=c đơi vng góc với nhau.Một điểm M tuỳ ý thuộc khối tứ diện 1.Gọi góc tạo tia DM với DA, DB, DC  ,  ,  Cmr: sin   sin   sin   2.Gọi S A , S B , S C , S D diện tích mặt đối diện với đỉnh A, B, C, D khối tư diện Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q  MA.S A  MB.S B  MC.S C  MD.S D DeThiMau.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 2006-2007 Môn thi: Toán 12 Ngày thi:15-11-2006 Thời gian làm bài:180 phút Câu (5 điểm): Gọi  Cm  đồ thị hàm số y  x  6m x  4mx  6m ( m tham số) Tìm giá trị m để  Cm  có điểm cực trị A, B, C Chứng minh tam giác ABC có trọng tâm cố định tham số m thay đổi Câu (3 điểm): Giải phương trình sau: 15 x5  11x3  28   x  x  1  x  x  x  Câu (3 điểm): Tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c bán kính R đường tròn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức: bc  R   b  c   a  Chứng minh tam giác tam giác Câu (4 điểm): Tìm giá trị tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm:    x  y  1 y y y  12 cos   12 cos   24 cos  13  11  sin 2    2 2 2  x   y  a     x   y  a    Câu (5 điểm): Cho tứ diện ABCD có cạnh Các điển M, N chuyển động đoạn AB, AC cho mặt phẳng (DMN) ln vng góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM=x, AN=y Cmr: mặt phẳng (DMN) chứa đường phẳng cố định x + y = 3xy Xác định vị trí M, N để diện tích toàn phần tứ diện ADMN đạt giá trị nhỏ lớn nhất.Tính giá trị DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... MD.S D DeThiMau.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 2006 -2007 Mơn thi: Tốn 12 Ngày thi: 15-11-2006 Thời gian làm bài:180 phút Câu (5 điểm): Gọi  Cm  đồ thị hàm số... đường tròn M ) DeThiMau.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 1999-2000 Mơn thi: Tốn 12 Ngày thi: 11-12-1999 Thời gian làm bài:180 phút Câu (5 điểm): Cho hai hàm số f ( x)...  ac  bd  DeThiMau.vn SỞ GD-ĐT HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ HỘI Năm học 2001-2002 Mơn thi: Tốn 12 Ngày thi: 8-12-2001 Thời gian làm bài:180 phút Câu (4 điểm): Cho hàm số y  x 