Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố lớp 9 Năm học 2015 2016 môn: Toán42701

MÃ KÝ HIỆU [*****] ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Lớp - Năm học 2015-2016 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 05 câu 01 trang) Câu (2 điểm) 1.1 Rút gọn biểu thức sau : P = x 3 2x  x    2x  2x  x   a b4   1.2 Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn a  b  c d cd a2 d   Chứng minh c b2 2 Câu (2 điểm) 2.1 Cho phương trình (ẩn x): x  2(m  2) x  4m   có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm m cho biểu thức A  x12  x2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ 3xy = x+ y   2.2 Giải hệ phương trình : 5yz =  y + z   4zx = z + x  I  Câu (2 điểm) 3.1 Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương 3.2 Chứng minh :  31     5   7   2007 4015 2007  2008 2009    Câu (3 điểm) Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB vng góc với dây cung MN H (H nằm O B) Trên tia MN lấy điểm C nằm ngồi đường trịn (O;R) cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) điểm K khác A, hai dây MN BK cắt E Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp CAE đồng dạng với CHK Qua N kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt tia MK F Chứng minh NFK cân Giả sử KE = KC Chứng minh: OK//MN KM2 + KN2 = 4R2 Câu (1 điểm) Sau bữa tiệc, người bắt tay lần với người khác phòng Hệ thống camera tự động đếm thấy có tất 66 bắt tay Hỏi phịng có người? -Hết - ThuVienDeThi.com MÃ KÝ HIỆU [*****] ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Lớp - Năm học 2015-2016 MÔN: TOAN Thời gian làm bài: 150 phút (Hướng dẫn chấm gồm 04trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm cho điểm tối đa - Điểm thi 10 Câu Đáp án 1.1 (1điểm) x 3 2x  x   Có : A =  A= x 3 2  x 3  Tương tự có:  x 3 x   2 3  2  0,25 2x  B= Điểm 2x  x    2x   x  32   Từ  Tập xác định x  x  x 3 0,25 2x     2 x  3  x  32   2 x   x  3  x  6 x  3 =  x  3 x  32   Ta có P = A+B = (2 điểm) = x  x  x   x  x  x  18 = x  92  x  92  Vậy P= x  92   x  2 x   0,25 x9 Với x  x  x9 0,25 1.2 (1điểm) a b4 a b (a  b )2      a  b  c d cd c d cd 4 2  d (c  d )a  c(c  d )b  cd (a  b )  dca  d a  c 2b  cdb  cd (a  b  2a 2b )  d a  c 2b  2cda 2b   (da  cb )  2 2 a b  Do c d 2 a d b d (b  d ) a2 d  2  2  Vậy  2 c b2 d b db c b2  da  cb  hay ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 2.1 (1điểm)  '  ( m  2)  4m   m  Phương trình có nghiệm   '   m    m Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1  x2  2m  4; x1 x2  4m  0,25 Ta có: A  x12  x2  x1 x2  ( x1  x2 )  10 x1 x2 0,25 A  (2m  4)  10(4m  9)  4m  24m  74  4(m  3)  110  110 0,25 Dấu “ =” xảy m = > Vậy A đạt giá trị nhỏ 110 m = 0,25 Ghi chú: Nếu thí sinh khơng tìm ĐK : m   m  m = vào biểu thức  ' = > thỏa mãn điều kiện có nghiệm khơng bị trừ điểm 2.2 (1điểm) (2 điểm) + Hiển nhiên hệ có nghiệm x = y = z = x  y 1  xy  x  y    y z   1  + Với xyz  (I) viết lại:   (II)     yz y z z  x 1       zx z x Cộng ba phương trình hệ (II) theo vế ta được:  1  11 1 11     (*) 2     x y z x y z 0,25 0,25 0,25 Trừ phương trình (*) cho phương trình hệ (II) theo vế ta có : x = 1, y = 2, z = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0; 0) (1; 2; 3) (2 điểm) 3.1 (1điểm) Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m 0,25  N) Từ suy m2 – n2 = 2006  (m + n)(m - n) = 2006 Như số m n phải có số chẵn (1) 0,25 Mặt khác m + n + m – n = 2m  số m + n m – n tính chẵn lẻ (2) Từ (1) (2)  m + n m – n số chẵn  (m + n)(m - n)  Nhưng 2006 không chia hết cho  Điều giả sử sai Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 3.2 (1điểm) Ta có với n  2n  1 n  n 1    n 1  n  < 2 n   n   nn  1 4n  4n  n n 1 0,25 Từ ta có : Sn =        2n  1 n  n  31  2  1 1  < 12 n 1 4n  n  4n  n = 1 n2 n2 n Vậy Sn < n2  0,25 0,25 Áp dụng cho n = 2007 ta có (3 điểm) S2007 < 2007 điều phải chứng minh 2009 a 0,25 A f k o m h O P e n c M b H K E N C B 4.1 (1điểm)  Ta có: + ฀AHE  900 (theo giả thiết AB  MN ) 0,25 + ฀AKE  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  ฀AHE  ฀AKE  900  H, K thuộc đường trịn đường kính AE Vậy tứ giác AHEK tứ giác nội tiếp 0,25  Xét hai tam giác  CAE  CHK: + Có chung góc C ฀ ฀  EHK + EAC (góc nội tiếp chắn cung EK)  CHK (g - g) Suy  CAE 0,5 4.2 (1điểm) ฀ suy Do đường kính AB  MN nên B điểm cung MN ta có ฀ ฀ MKB  NKB (1) 0,25 ThuVienDeThi.com Lại có BK // NF (vì vng góc với AC) nên ฀ ฀  NKB  KNF (2)  ฀ ฀ 0,25  MFN (3)  MKB ฀ ฀  KFN ฀ ฀ Từ (1), (2), (3) suy MFN  KNF  KNF Vậy  KNF cân K 4.3 (1điểm) ฀  900  KEC vng K * Ta có ฀AKB  900  BKC Theo giả thiết ta lại có KE = KC nên tam giác KEC vuông cân K ฀ ฀ ฀ BEH  KEC  450  OBK  450 Mặt khác  OBK cân O ( OB = OK = R) nên suy  OBK vuông cân O dẫn đến OK // MN (cùng vng góc với AB) 0,5 0,25 0,25 * Gọi P giao điểm tia KO với đường trịn ta có KP đường kính KP // MN Ta có tứ giác KPMN hình thang cân 0,25 nên KN = MP Xét tam giác KMP vng M ta có: MP2 + MK2 = KP2  KN2 + KM2 = 4R2 (1 điểm) Gọi số người phịng cần tìm n (người) người bắt tay với n-1 người cịn lại Mỗi “Cái bắt tay” phải có người với ( lần ) Như n người có n(n-1) lần bắt tay Và số “Cái bắt tay” A= Thay A = 66 giải pt bậc ta tìm n = 12 (người) -Hết - ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,5 Người đề (ký, ghi rõ họ tên) Người thẩm định (ký, ghi rõ họ tên) ThuVienDeThi.com Lưu kiếm, ngày 16 tháng năm 2016 BGH nhà trường (ký tên, đóng dấu) ...MÃ KÝ HIỆU [*****] ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ Lớp - Năm học 2015- 2016 MÔN: TOAN Thời gian làm bài: 150 phút (Hướng dẫn chấm gồm 04trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho... P = A+B = (2 điểm) = x  x  x   x  x  x  18 = x  9? ??2  x  9? ??2  Vậy P= x  9? ??2   x  2 x   0,25 x? ?9 Với x  x  x? ?9 0,25 1.2 (1điểm) a b4 a b (a  b )2      a  b  c... minh 20 09 a 0,25 A f k o m h O P e n c M b H K E N C B 4.1 (1điểm)  Ta có: + ฀AHE  90 0 (theo giả thi? ??t AB  MN ) 0,25 + ฀AKE  90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  ฀AHE  ฀AKE  90 0  H,