SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ-LỚP Năm học 2011-2012 Mơn Tốn Ngày thi: 04-4-2012 Thời gian làm Câu: 150 phút (Đề gồm 01 trang) Câu I (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức A=(a2012+b2012+c2012) – (a2008+b2008+c2008) với a, b, c số nguyên dương Chứng minh A chia hết cho 30 2) Cho f(x)=(2x3-21x-29)2012 49 49 Tính f(x) x=3 + + 78 Câu II (5,0 điểm) 1) Giải phương trình: x2 + 12 + = 3x + x2 + 2) Giải hệ phương trình: �2 + �� + � ‒ � ‒ 2�2 = �2 ‒ �2 + � + � = Câu III (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương x, y thỏa mãn: 2x2+3y2-5xy-x+3y-4=0 Câu IV (4,0 điểm) Cho A điểm thuộc nửa đường trịn tâm O đường kính BC (A khơng trùng với B, C) Gọi H hình chiếu A BC Đường trịn đường kính AH cắt AB, AC M, N 1) Chứng minh AO MN 2) Cho AH = 2cm, BC= 7cm Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC Câu V (4,0 điểm) 1) Gọi h1, h2, h3, r độ dài đường cao bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác khi: 1 1 + + = 3r h2 + 2h3 h3 + 2h1 h1 + 2h2 2) Trong mặt phẳng cho 8045 điểm mà diện tích tam giác với đỉnh điểm cho không lớn Chứng minh số điểm cho tìm 2012 điểm nằm nằm cạnh tam giác có diện tích khơng lớn Hết (Giám thị khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: ……………………………………Số báo danh: ………………… { ThuVienDeThi.com