ĐỀ SỐ Thời gian làm bài: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 2(m 1) x m (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; 3) Câu II (2 điểm) Giải phương trình: cos x 2(2 cos x)(sin x cos x) x x( y 1) y y ( x 3) Giải hệ phương trình: ( x, y R) x xy y Câu III (2 điểm) e x ( x 2) ln x dx Tính tích phân: I = x(1 ln x) Cho ba số thực dương a , b , c thay đổi thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng: 1 1 1 + + + + 1 a b 1 b c 1 c a 2a 2b 2c Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết AC 3a , BD a , khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu V.a (3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C x y x y Tìm tọa độ đỉnh B , C tam giác ABC x 1 t x y 1 z 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 : y t d : 2 z Viết phương trình mp(P) song song với d1 d , cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d đến (P) Giải phương trình: B Theo chương trình Nâng cao Câu V.b (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ): x y x y Viết phương trình đường trịn ( C ') tâm M (5, 1) biết ( C ') cắt ( C ) hai điểm A , B cho AB x t Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: (d1): y t ( d2) : z x t y t Chứng minh z (d1) ( d2) chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng (d1) ( d2) x 1 x 1 Giải phương trình: (3 x 2) log 3 - Hết - DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I ( đ) ( đ) ( đ) y' = x 4(m 1) x y' = x 4(m 1) x = x x (m 1) TH1: Nếu m- m Hàm số đồng biến khoảng (0; + ) Vậy m thoả mãn ycbt TH 2: m - > m> y' = x = 0, x = m Hàm số đồng biến khoảng (- m ; ) ( m ; + ) Để hàm số đồng biến khoảng (1; ) m m Vậy hàm số đồng biến khoảng (1; ) m ;2 Câu II: (2 đ) (1 đ) cos x 2(2 cos x)(sin x cos x) 2cos2x - + = 4sinx - 2sinxcosx - 4cosx + 2cos2x =0 2(sinx - cosx) - sinxcosx -2 = Đặt t = sinx - cosx ( - t ) 1 t2 sinxcosx = Phương trình trở thành t2 + 4t - = t = 1; t = -5 (loại) Với t = sinx - cosx = sin x = sin x = 4 4 x k 2 x k 2 x 3 k 2 x k 2 4 (1 đ) x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = (x-y)2 + 3(x-y) - + x y x y 4 x y * Với x- y = 1, ta có x xy y x = 1; y = x= -1; y = -2 x y 4 * Với x - y = -4 ta có (Hệ PT vô nghiệm) x xy y DeThiMau.vn Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) (x; y) = (-1; -2) Câu III: ( đ) (1 đ) e e e x(1 ln x) ln x ln x dx dx -2 I= dx x ( ln x ) x ( ln x ) 1 Ta có e dx e 1 e Tính J = ln x x(1 ln x)dx Đặt t = + lnx 2 t 1 dt = (1 )dt = (t - ln t ) = - ln2 J= t t 1 Vậy I = e - - 2(1- ln2) = e - + 2ln2 (1 đ) Do vai trị a, b, c bình đẳng nên ta giả thiết < a b c Khi < + a + b + a + c + b + c < + a + b + c Ta có 1 1 1 + + - = a b c 1 a b 1 b c 1 c a b 1 c 1 a 1 = + + (2 a )(1 a b) (2 b)(1 b c) (2 c)(1 a c) b 1 c 1 a 1 abc3 + + = (2 c)(1 b c) (2 c)(1 b c) (2 c)(1 b c) (2 c)(1 b c) 33 abc 0 (2 c)(1 b c) 1 1 1 Vậy + + + + 1 a b 1 b c 1 c a 2a 2b 2c Câu IV: (1 đ) Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD)nên giao tuyến chúng SO (ABCD) VSABCD = SO.SABCD Diện tích đáy S ABCD AC.BD 3a Ta có tam giác ABO vng O AO = a ; BO = a , ABD 60 tam giác ABD Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH AB a DH = a ; OK // DH OK DH OK AB AB (SOK) 2 Gọi I hình chiếu O lên SK ta có OI SK; AB OI OI (SAB) , hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) 1 a Tam giác SOK vuông O, OI đường cao SO 2 OI OK SO DeThiMau.vn Đường cao hình chóp SO Thể tích khối chóp S.ABCD: 3a VS ABC D S ABC D SO 3 a S I D A a O H a C B K Câu Va: (3 đ) (1đ) Gäi C = (c; 3c - 9) vµ M trung điểm BC M(m; 1-m) Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c) 2m c 2m 3c Gọi I lµ trung ®iĨm cđa AB, ta có I( ; ) 2 Vì I nằm đường thẳng 3x - y - = nªn 3( m = M(2; -1) Phương trình BC: x y - 3=0 2m c 2m 3c )( )9 2 3 x y Tọa độ C nghiệm cđa hƯ: x y Täa ®é cđa C = (3; 0), toạ độ B(1; -2) (1đ) x y Ta có : d1 qua điểm A(1 ; ; 1) vtcp : u1 1; 1;0 d qua điểm B (2; 1; -1) vtcp là: u2 1; 2; Gọi n vtpt mp(P), (P) song song với d1 d nên n = [ u1 ; u2 ] = (-2 ; -2 ; -1) pt mp(P): 2x + 2y + z + m = d( d1 ;(P)) = d(A ; (P)) = 7m ; d( d ;( P)) = d( B;(P)) = d( d1 ;(P)) = d( d ;( P)) m m m 3 7 m 2(5 m) m 17 7 m 2(5 m) Với m = -3 mp(P) : 2x + 2y + z – = 17 17 Với m = mp(P) : 2x + 2y + z =0 3 (1đ) Câu Vb: ( 3đ) DeThiMau.vn 5 m (1đ) Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2), bk R Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB IM trung điểm H đoạn AB AB Ta có AH BH 2 MI 1 1 2 5 IH IA AH R AH Trường hợp 1: MH = MI – IH = 3 2 Khi bán kính đường trịn (C’) R’ = MH AH = 13 Phương trình đường trịn (C’) là: ( x 5) ( y 1) 13 13 Trường hợp : MH = MI + IH = 2 Khi bán kính đường tròn (C’) R’ = MH AH = 43 Phương trình đường trịn (C’) là: ( x 5) ( y 1) 43 Vậy có đường trịn (C') thỏa mãn ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13 (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43 (1đ) (d1) qua điểm A(0; 0; 4) có vectơ phương u1 (2; 1; 0) (d2) qua điểm B(3; 0; 0) có vectơ phương u2 (3; 3; 0) AB (3; 0; 4) AB.[u1; u2 ] 36 AB, u1 , u2 không đồng phẳng Vậy, (d1) (d2) chéo Gọi MN đoạn vuông góc chung (d1) (d2) M (d1 ) M(2t; t; 4) , N (d ) N(3 t / ; t / ; 0) MN (3 t / 2t; t / t; 4) / / MN u1 t / 1 M(2; 1; 4) 2(3 t 2) (t t) Tacoù: / / N(2; 1; 0) t 3 t 2t (t t) MN u2 Tọa độ trung điểm I MN: I(2; 1; 2), bán kính R MN 2 2 Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x 2) (y 1) (z 2)2 (1đ) Điều kiện: x > x 1 x 1 2 x (3 2) log (3 x 2)log ( x 1) log 3 x 1 3 x x x x (3 2)log ( x 1) 1 2.3 (3 2) log ( x 1) (3 x 2)log ( x 1) 1 x log 2(l ) 3 x x log ( x ) 3 Vậy PT có nghiệm x = DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... 1 x log 2(l ) 3 x x log ( x ) 3 Vậy PT có nghiệm x = DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... ln2 J= t t 1 Vậy I = e - - 2(1- ln2) = e - + 2ln2 (1 đ) Do vai trò a, b, c bình đẳng nên ta giả thi? ??t < a b c Khi < + a + b + a + c + b + c < + a + b + c Ta có 1 1 1 + + -... c)(1 b c) 1 1 1 Vậy + + + + 1 a b 1 b c 1 c a 2a 2b 2c Câu IV: (1 đ) Từ giả thi? ??t hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD)nên giao tuyến chúng SO (ABCD) VSABCD