Đề thi tuyển sinh đại học năm 2009 môn thi: Toán học; khối A44700

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn thi: TỐN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y  x2 2x  1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc toạ độ O Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình 1  2sin x  cos x  1  2sin x 1  s inx  Giải phương trình 3x    5x   Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I  x  R    cos x  1 cos x.dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:  x  y   x  z 3   x  y  x  z  y  z    y  z  PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng  :x  y   Viết phương trình đường thẳng AB Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 2x  2y  z   mặt cầu S : x  y2  z  2x  4y  6z  11  Chứng minh mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường trịn Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = tính giá trị biểu thức A = |z1|3 + |z2|3 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn  C  : x  y  4x  4y   đường thẳng  : x  my  2m   , với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để  cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  2y  2z   hai đường x 1 y z  x 1 y  z 1 Xác định toạ độ điểm M thuộc đường   ; 2 :   1 2 thẳng 1 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  khoăng cách từ M đến mặt phẳng thẳng 1 : (P) Câu VII.b (1,0 điểm)   log x  y   log  xy  Giải hệ phương trình  2 3x  xy  y  81  x, y  R  -Hết - DeThiMau.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI MƠN TỐN KHỐI A NĂM 2009 Câu I Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số + Tập xác định: x   + y’ = 1  2x  3  0 x   + Tiệm cận x2 1  nên tiệm cận ngang y = x  2x  2 Vì lim Vì lim 3 x   2  x2 x2  ; lim    nên tiệm cận đứng x = 3 2x  x   2x  2 Bảng biến thiên:  2 Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy  0;  cắt Ox (-2; 0)  3 Ta có y '  1 nên phương trình tiếp tuyến x  x (với x   ) là: 2 (2x  3) y - f( x ) = f’( x )(x - x ) DeThiMau.vn y 2x 02  8x  x  (2x  3) (2x  3) Do tiếp tuyến cắt Ox A( 2x 02  8x  ;0) cắt Oy B(0; 2x 02  8x  ) (2x  3) Tam giác OAB cân O  OA  OB (với OA > 0) 2x 02  8x   x A  y B  2x  8x   (2x  3) 2  x  1(L)  (2x  3)   2x   1    x  2 (TM) Với x  2 ta có tiếp tuyến y = x Câu II  5  x    k2  ; x   k2  s inx    6 ĐKXĐ:  2 s inx   x    2l  Phương trình  cosx - 2sinxcosx =  cosx – sin2x = (1 – sinx + 2sinx – 2sin2x) 3+ sinx - sin2x   sinx + cosx = sin2x + = sin2x + - (1 – 2sin2x) cos2x 1 sin x  cos x  sin 2x  cos 2x 2 2  sin x.cos 5 5    cos x.sin  sin 2x.cos  cos 2x.sin 6 3 5      sin  x    sin  2x    3   5   x   2x   m2    x  5    2x    n2        x    m2  x   m2    3x    n2  x     n 2   18 Kết hợp với đkxđ ta có họ nghiệm pt là: x=   2 n n  ฀  18 3 DeThiMau.vn Đkxđ:  5x   x  (*)  2u  u  3x  u  3x  2u  3v  v  (v  0)    Đặt    v   5x 5u  3v  5u  3v   v   5x   15u  64  32u  4u  24   15u  4u  32u  40   (u  2)(15u  26u  20)   u  2  2 15u  26u  20  vô n  '  13  15.20   u  2  x  2 (tm) Vậy phương trình có tập nghiệm S={-2} Câu III   0 I =  cos5 x.dx   cos x.dx     1  Ta có: I2 =  cos x.dx   (1  cos2x).dx =  x  sin 2x   20 2 0   0 Mặt khác xét I1 =  cos5 x.dx   cos x.cosx.dx   1  2sin x =  (1  sin x) d(sin x)   sin x   sin x   5  15 2 Vậy I = I1 – I2 =   15 Câu IV Vì (SBI)và (SCI)vng góc với (ABCD) nên SI  (ABCD) Ta có IB  a 5; BC  a 5; IC  a 2; Hạ IH  BC tính IH  3a ; Trong tam giác vng SIH có SI = IH tan 600  3a 15 SABCD  SAECD  SEBC  2a  a  3a (E trung điểm AB) 1 3a 15 3a 15 V  SABCDSI  3a  3 5 DeThiMau.vn Câu V Từ giả thiết ta có: x2 + xy + xz = 3yz  (x + y)(x + z) = 4yz Đặt a = x + y b = x + z Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 ab = 4yz Mặt khác a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2  2(a  b )  a  b   ab    = 2 (a  b)  2ab   a  b   ab    = (y  z)  2yz   y  z   4yz    = (y  z)  4yz   y  z  2  4(y  z)  y  z   2(y  z) (1) Ta lại có: 3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z)  3(y + z)2 (y + z) = 3(y + z)3 (2) Cộng vế (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu VI a Gọi N điểm đối xứng với M qua I, F điểm đối xứng vơi E qua I Ta có N  DC , F  AB, IE  NE DeThiMau.vn Tính N = (11; 1) Giả sử E = (x; y), ta có:   IE = (x – 6; y – 2); NE = (x – 11; y + 1)   IE NE = x2 – 17x + 66 + y2 – y – = (1) E   x + y – = (2) Giải hệ (1), (2) tìm x1 = 7; x2 = Tương ứng có y1 = 2; y2 = 1  E1 = (7; 2); E2 = (6; 1) Suy F1 = (5; 6), F2 = (6; 5) Từ ta có phương trình đường thẳng AB x – 4y + 19 = y = Mặt cầu có tâm I(1;2;3) bán kính R=5 Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) d(I;(P))  2.1  2.2   4  1  Vì d(I;(P))