Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.... Gọi I là trung điểm [r]
(1)ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Môn thi : TOÁN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2 điểm)Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Với các giá trị nào m, phương trình x x m có đúng nghiệm thực phân biệt? Câu II (2 điểm) Giải phương trình sin x cos x sin 2x cos 3x 2(cos 4x sin x) xy x 7y Giải hệ phương trình 2 (x, y A ) x y xy 13y 3 ln x dx (x 1) Câu III (1 điểm)Tính tích phân I Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) A 600; tam giác ABC vuông C và BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Câu V (1 điểm) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + PHẦN RIÊNG (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x 2) y và hai đường thẳng 1 : x – y = 0, 2 : x – 7y = Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng 1, 2 và tâm K thuộc đường tròn (C) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức z thoả mãn : z (2 i) 10 và z.z 25 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – = Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC 18 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – = và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ Câu VII.b (1 điểm) x2 1 Tìm các giá trị tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y điểm phân x biệt A, B cho AB = Hết Lop10.com (2) BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I y = 2x4 – 4x2 TXĐ : D = R y’ = 8x – 8x; y’ = x = x = 1; lim (C) y x x y' y + 0 CĐ + + + 1 2 2 CT CT y đồng biến trên (-1; 0); (1; +) 2 y nghịch biến trên (-; -1); (0; 1) y đạt cực đại x = y đạt cực tiểu -2 x = 1 Giao điểm đồ thị với trục tung là (0; 0) y Giao điểm đồ thị với trục hoành là (0; 0); ( ;0) x2x2 – 2 = m 2x2x2 – 2 = 2m (*) (*) là phương trình hoành độ giao điểm (C’) : y = 2x2x2 – 2 và (d): y = 2m Ta có (C’) (C); x - hay x (C’) đđối xứng với (C) qua trục hoành - < x < 1 Theo đồ thị ta thấy ycbt < 2m < < m < Câu II + 1 PT:sinx+cosxsin2x+ cos 3x 2(cos 4x s i n x) 3sin x sin 3x sin x sin 3x cos 3x cos 4x 2 sin 3x cos 3x cos 4x sin 3x cos 3x cos 4x 2 sin sin 3x cos cos 3x cos 4x 6 cos 4x cos 3x 6 4x 3x k2 x k2 4x 3x k2 x k 2 42 xy x 7y x y xy 13y y = hệ vô nghiệm x x 7 y y y hệ x x 13 y y Lop10.com x (C’) x (3) x x ;b= a x x a 2b y y y y y ab7 ab7 Ta có hệ là a b 13 a a 20 Đặt a = x 1 x 4 x 5 y y a hay a 5 Vậy hay x x b3 b 12 3 12 y y x 2 hay x x 4x hay x 5x 12 (VN) y 1 y x 3y x 12y Câu III : 3 3 ln x dx ln x I dx 3 dx 2 (x 1) (x 1) (x 1) 1 dx 3 I1 3 (x 1) (x 1) ln x dx (x 1) I2 Đặt u = lnx du dv dx x dx 1 Chọn v (x 1) x 1 3 3 ln x dx ln dx dx ln 3 I2 ln x 1 x(x 1) x x 1 Vậy : I (1 ln 3) ln Câu IV a BH a 3a a BN ; B ' H BH= , 2 BN 2 goïi CA= x, BA=2x, BC x CA2 BA2 BC BN C H M 2 9a 3a x x 3x x 52 a Ta có: B ' H BB ' 2 11 a 9a a 9a V= x 3 12 52 208 2 B Câu V : (x y)3 4xy (x y)3 (x y) x y (x y) 4xy Lop10.com N A (4) (x y) 1 dấu “=” xảy : x y 2 2 2 (x y ) Ta có : x y 4 2 A x y x y 2(x y ) (x y ) x y 2(x y ) x y2 (x y ) (x y ) 2(x y ) (x y ) 2(x y ) Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ f (t) t 2t 1, t f '(t) t t 2 f (t) f ( ) 16 x y Vậy : A 16 Câu VIa xy x 7y Phương trình phân giác (1, 2) : 5(x y) (x 7y) y 2x :d1 5(x y) x 7y y x : d2 5(x y) x 7y Phương trình hoành độ giao điểm d1 và (C) : (x – 2)2 + (– 2x)2 = 25x2 – 20x + 16 = (vô nghiệm) Phương trình hoành độ giao điểm d2 và (C) : (x – 25x 80x 64 x = 8 4 Vậy K ; 5 5 2 TH1 : (P) // CD Ta có : AB (3; 1; 2), CD (2; 4;0) (P) có PVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7) R = d (K, 1) = 2)2 (P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 4x 2y 7z 15 TH2 : (P) qua I (1;1;1) là trung điểm CD Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0) (P) có PVT n (2;0;3) (P) :2(x 1) 3(z 1) 2x 3z Lop10.com x + 2 (5) Câu VIb AH 1 36 36 AH.BC 18 BC 4 AH Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = x y 7 1 H: H ; 2 2 x y B(m;m – 4) 2 BC2 7 1 HB m m 2 2 S 11 m 7 2 m m 2 11 5 5 11 Vậy B1 ; C1 ; hay B2 ; C2 ; 2 2 2 2 2 2 AB (4; 1;2); n P (1; 2;2) Pt mặt phẳng (Q) qua A và // (P) : 1(x + 3) – 2(y – 0) + 2(z – 1) = x – 2y + 2z + = Gọi là đường thẳng qua A Gọi H là hình chiếu B xuống mặt phẳng (Q) Ta có : d(B, ) BH; d (B, ) đạt qua A và H x t Pt tham số BH: y 1 2t z 2t Tọa độ H = BH (Q) thỏa hệ phương trình : x t, y 1 2t, z 2t 10 11 H ; ; t 9 9 x 2y 2z qua A (-3; 0;1) và có VTCP a AH 26;11; 2 x y z 1 Pt () : 26 11 2 Câu VII.a Đặt z = x + yi với x, y R thì z – – i = x – + (y – 1)i z – (2 + i)= 10 và z.z 25 2 4x 2y 20 (x2 2)2 (y 1) 10 x y 25 x y 25 y 10 2x x hay x y4 y0 x 8x 15 Vậy z = + 4i hay z = Câu VII.b Pt hoành độ giao điểm đồ thị và đường thẳng là : x m Lop10.com x2 x (6) 2x2 – mx – = (*) (vì x = không là nghiệm (*)) Vì a.c < nên pt luôn có nghiệm phân biệt Do đó đồ thị và đường thẳng luôn có giao điểm phân biệt A, B AB = (xB – xA)2 + [(-xB + m) – (-xA + m)]2 = 16 2(xB – xA)2 = 16 m2 (xB – xA) = m 24 m = 2 Hết ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Môn thi : TOÁN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m = Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình cos5x 2sin 3x cos 2x sin x x(x y 1) Giải hệ phương trình (x, y R) (x y) x dx Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I x e 1 Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Câu V (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A có phương trình là 7x – 2y – = và 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = Gọi I là tâm (C) Xác định A tọa độ điểm M thuộc (C) cho IMO = 300 x2 y2 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : và mặt phẳng (P): x + 2y – 1 1 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt và vuông góc với đường thẳng Câu VII.b (1,0 điểm) Lop10.com (7) Tìm các giá trị tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y x2 x hai điểm x phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung ]BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I m = 0, y = x4 – 2x2 TXĐ : D = R y’ = 4x3 – 4x; y’ = x = x = 1; lim x x y' y + 1 + 0 CĐ + + + y 1 1 CT CT y đồng biến trên (-1; 0); (1; +) y nghịch biến trên (-; -1); (0; 1) y đạt cực đại x = 1 y đạt cực tiểu -1 x = 1 x 1 Giao điểm đồ thị với trục tung là (0; 0) Giao điểm đồ thị với trục hoành là (0; 0); ( ;0) Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và đường thẳng y = -1 là x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1 x4 – (3m + 2)x2 + 3m + = x = 1 hay x2 = 3m + (*) Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và < 0 3m m 3m m Câu II 1) Phương trình tương đương : cos5x (sin 5x sin x) sin x cos5x sin 5x 2sin x cos5x sin 5x sin x sin 5x sin x 2 3 5x x k2 hay 5x x k2 3 2 k2 6x k2 hay 4x k2 3 x k hay x k (k Z) 18 2) Hệ phương trình tương đương : x(x y 1) x(x y) x ĐK : x ≠ 2 x (x y) x (x y) x Đặt t=x(x + y) Hệ trở thành: t x t x t x tx 3 2 x t x (t x) 2tx tx t2 Lop10.com (8) x(x y) x(x y) y 1 y Vậy x2 x 1 x 1 x 3 3 ex ex ex Câu III : I dx dx dx 2 ln e x x x e 1 e 1 1 2 ln(e3 1) ln(e 1) 2 ln(e e 1) Câu IV C/ 2 2 AC 9a 4a 5a AC a BC 5a a 4a BC 2a M H laø hình chieáu cuûa I xuoáng maët ABC Ta coù IH AC IA/ A/ M IH 4a A/ IH I / IC AC AA 3 B 11 4a 4a C VIABC S ABC IH 2a a (đvtt) 32 Tam giaùc A’BC vuoâng taïi B Neân SA’BC= a 52a a H A / 2 Xét tam giác A’BC và IBC, Đáy IC A C S IBC S A/ BC a 3 3 3V 4a 2a 2a Vaäy d(A,IBC) IABC S IBC 2a 5 2 Câu V S = (4x + 3y)(4y + 3x) + 25xy = 16x y2 + 12(x3 + y3) + 34xy = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, vì x, y và x + y = nên t ¼ Khi đó S = 16t2 – 2t + 12 S’ = 32t – ; S’ = t = 16 25 191 S(0) = 12; S(¼) = ;S( )= Vì S liên tục [0; ¼ ] nên : 16 16 25 Max S = x = y = 2 2 2 x x 191 4 Min S = hay 16 y y 4 PHẦN RIÊNG Câu VI.a 1) Gọi đường cao AH : 6x – y – = và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – = A = AH AD A (1;2) M là trung điểm AB B (3; -2) BC qua B và vuông góc với AH BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = x + 6y + = D = BC AD D (0 ; ) Lop10.com (9) D là trung điểm BC C (- 3;- 1) AC qua A (1; 2) có VTCP AC (4; 3) nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 3x – 4y + = x t 2) AB qua A có VTCP AB (1;1; 2) nên có phương trình : y t (t A ) z 2t D AB D (2 – t; + t; 2t) CD (1 t; t ; 2t) Vì C (P) nên : CD //(P) CD n ( P) 5 1(1 t) 1.t 1.2t t Vậy : D ; ; 1 2 2 Câu VI.b (x – 1) + y = Tâm I (1; 0); R = A A Ta có IMO = 300, OIM cân I MOI = 300 OM có hệ số góc k = tg300 = x2 x 0 +k= pt OM : y= vào pt (C) x 2x 3 x= (loại) hay x Vậy M 3 3 ; 2 Cách khác: Ta coù theå giaûi baèng hình hoïc phaúng A A OI=1, IOM IMO 300 , đối xứng ta có điểm đáp án đối xứng với Ox H laø hình chieáu cuûa M xuoáng OX Tam giác OM H là nửa tam giác OI=1 => OH 3 Vaäy M , 2 M1 3 3 OM , HM 3 3 3 3 , M2 , 2 O I H M2 Gọi A = (P) A(-3;1;1) a (1;1; 1) ; n ( P) (1;2; 3) d đđi qua A và có VTCP a d a , n ( P) ( 1;2;1) nên pt d là : x y 1 z 1 1 Câu VII.a Gọi z = x + yi Ta có z – (3 – 4i) = x – + (y + 4)i Vậy z – (3 – 4i) = (x 3) (y 4) (x – 3)2 + (y + 4)2 = Do đđó tập hợp biểu diễn các số phức z mp Oxy là đường tròn tâm I (3; -4) và bán kính R = x2 x 2x m Câu VII.b pt hoành độ giao điểm là : (1) x x2 + x – = x(– 2x + m) (vì x = không là nghiệm (1)) 3x2 + (1 – m)x – = phương trình này có a.c < với m nên có nghiệm phân biệt với m Lop10.com (10) Ycbt S = x1 + x2 = b = m – = m = a SĐT:0977467739 Hết BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THÚC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Môn thi: TOÁN; Khối: A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm): Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x2 2x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân gốc toạ độ O Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình 1 2sin x cos x 1 2sin x 1 s inx Giải phương trình 3x 5x x R Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I cos x 1cos x.dx Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 600 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có: x y x z 3 x y x z y z y z PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm hai đường chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng :x y Viết phương trình đường thẳng AB Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 2y z và mặt cầu S: x y2 z 2x 4y 6z 11 Chứng minh mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức phương trình z2 + 2z + 10 = tính giá trị biểu thức A = |z1|3 + |z2|3 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn C : x y 4x 4y và đường thẳng : x my 2m , với m là tham số thực Gọi I là tâm đường tròn (C) Tìm m để cắt (C) hai điểm phân biệt A và B cho diện tích tam giác IAB lớn Lop10.com (11) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x 2y 2z và hai đường thẳng x 1 y z x 1 y z 1 ; 2 : Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho 1 2 khoảng cách từ M đến đường thẳng và khoăng cách từ M đến mặt phẳng (P) 1 : Câu VII.b (1,0 điểm) log x y log xy Giải hệ phương trình 2 3x xy y 81 x, y R -Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI A NĂM 2009 Câu I Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số + Tập xác định:với x + y’ = 1 2x 3 0, x 3 + Tiệm cận Vì lim x Vì x2 1 nên tiệm cận ngang là : y = 2x 2 lim 3 x 2 x2 x2 ; lim nên tiệm cận đứng là : x = 3 2x x 2x 2 Bảng biến thiên: 2 Vẽ đồ thị: đồ thị cắt Oy 0; và cắt Ox (-2; 0) 3 Lop10.com (12) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân gốc toạ độ O Ta có y ' 1 nên phương trình tiếp tuyến x x (với x ) là: (2x 3) y - f( x ) = f’( x )(x - x ) 2x 02 8x x y (2x 3) (2x 3) Do đó tiếp tuyến cắt Ox A( 2x 02 8x ;0) và cắt Oy B(0; 2x 02 8x ) (2x 3) Tam giác OAB cân O OA OB (với OA > 0) x A y B 2x 02 8x 2x 02 8x (2x 3) x 1(L) (2x 3) 2x 1 x 2 (TM) Với x 2 ta có tiếp tuyến y = x Câu II 1.Giải phương trình : 1 2sin x cos x 1 2sin x 1 s inx Giải : Lop10.com (13) 5 x k2; x k2 s inx 6 ĐKXĐ: 2 s inx x 2l Phương trình cosx - 2sinxcosx = cosx – sin2x = (1 – sinx + 2sinx – 2sin2x) 3+ sinx - sin2x sinx + cosx = sin2x + = sin2x + - (1 – 2sin2x) cos2x 1 sin x cos x sin 2x cos 2x 2 2 sin x.cos 5 5 cos x.sin sin 2x.cos cos 2x.sin 6 3 5 sin x sin 2x 3 5 x 2x m2 x 5 2x n2 x m2 x m2 3x n2 x n 2 18 Kết hợp với đkxđ ta có họ nghiệm pt là: x= 2 n n Z 18 Giải phương trình : 3x 5x Đkxđ: 5x x x R (*) 2u u 3x u 3x 2u 3v v Đặt (v 0) 3 v 5x 5u 3v 5u 3v v 5x 15u 64 32u 4u 24 Lop10.com (14) 15u 4u 32u 40 (u 2)(15u 26u 20) u 2 2 15u 26u 20 vô n ' 13 15.20 u 2 x 2 (tm) Vậy phương trình có tập nghiệm là S={-2} Câu III.Tính tích phân I cos3 x cos x.dx Ta có: 0 I = cos5 x.dx cos x.dx 1 Ta có: I2 = cos x.dx (1 cos2x).dx = x sin 2x 20 2 0 0 Mặt khác xét I1 = cos5 x.dx cos x.cosx.dx 1 2sin x sin x = (1 sin x) d(sin x) sin x 5 15 Vậy I = I1 – I2 = 15 Câu IV.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) 600 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải: Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên SI (ABCD) Ta có IB a 5; BC a 5; IC a 2; Hạ IH BC tính IH 3a ; Trong tam giác vuông SIH có SI = IH tan 600 3a 15 SABCD SAECD SEBC 2a a 3a (E là trung điểm AB) 1 3a 15 3a 15 V SABCDSI 3a 3 5 Lop10.com (15) Câu V.Chứng minh với số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có: 3 x y x z x y x z y z y z Giải: Từ giả thiết ta có: x2 + xy + xz = 3yz (x + y)(x + z) = 4yz Đặt a = x + y và b = x + z Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 và ab = 4yz Mặt khác a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2 2(a b ) a b ab = 2 (a b) 2ab a b ab = (y z) 2yz y z 4yz = (y z) 4yz y z 2 4(y z) y z 2(y z) (1) Ta lại có: 3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z) 3(y + z)2 (y + z) = 3(y + z)3 (2) Cộng vế (1) và (2) ta có điều phải chứng minh Câu VI a 1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm hai đường chéo AC và BD Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng :x y Viết phương trình đường thẳng AB Giải: Gọi N là điểm đối xứng với M qua I, F là điểm đối xứng vơi E qua I Lop10.com (16) Ta có N DC , F AB, IE NE Tính N = (11; 1) Giả sử E = (x; y), ta có: IE = (x – 6; y – 2); NE = (x – 11; y + 1) IE NE = x2 – 17x + 66 + y2 – y – = (1) E x + y – = (2) Giải hệ (1), (2) tìm x1 = 7; x2 = Tương ứng có y1 = 2; y2 = 1 E1 = (7; 2); E2 = (6; 1) Suy F1 = (5; 6), F2 = (6; 5) Từ đó ta có phương trình đường thẳng AB là x – 4y + 19 = y = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng S: x P : 2x 2y z và mặt cầu y z 2x 4y 6z 11 Chứng minh mặt phẳng (P) cặt mặt cầu (S) theo đường tròn Xác 2 định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn đó Giải: Mặt cầu có tâm I(1;2;3) bán kính R=5 Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) là d(I;(P)) 2.1 2.2 4 1 Vì d(I;(P)) <R nên (P) cắt (S) theo đường tròn Gọi H là hình chiếu I trên (P) thì H là giao mp(P) với đường thẳng qua I, vuông góc với (P) Dễ dàng tìm H= (3;0;2) Bán kính đường tròn là: R IH Câu VII a Phương trình: z2 + 2z + 10 = Ta có: ' = (-1)2 – 10 = -9 = (3i)2 nên phương trình có hai nghiệm là: z1 = -1 – 3i và z2 = -1 + 3i Lop10.com (17) z1 = (-1) + (-3) = 10 Suy 2 z = (-1) + (3) = 10 2 Vậy A = z1 + z 10 10 20 Chương trình nâng cao Câu VI b Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn C : x y 4x 4y và đường thẳng : x my 2m , với m là tham số thực Gọi I là tâm đường tròn (C) Tìm m để cắt (C) hai điểm phân biệt A và B cho diện tích tam giác IAB lớn Giải: (C) : (x 2) (y 2) ( 2) Đường tròn (C) có tâm I(-2;-2); bán kính R : x my 2m Gọi H là hình chiếu I trên Để cắt đường tròn (C) điểm A,B phân biệt thì: IH<R Khi đó SIAB IH HA IA R IH.AB IH.HA 1 2 2 SIAB max IH HA (hiển nhiên IH < R) 4m m 1 4m m 8m 16m m m 15m 8m m 15 Vậy, có giá trị m thỏa mãn yêu cầu là: m = và m = 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng 15 P : x 2y 2z và hai đường thẳng x 1 y z x 1 y z 1 ; 2 : Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 cho khoảng cách 1 2 từ M đến đường thẳng và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Giải: Giả sử M(a;b;c) là điểm cần tìm a b c a b Vì M 1 nên: 1 c 6b Khoảng cách từ M đến mp (P) là: a 2b 2c 11b 20 d d(M;(P)) 2 (2) 1 : Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc với , ta có: Lop10.com (18) n (Q) u 2 (2;1; 2) (Q) : 2(x a) 1(y b) 2(z c) Hay (Q): 2x y 2z 9b 16 Gọi H là giao điểm (Q) và Tọa độ H là nghiệm hpt: 2x y 2z 9b 16 x 1 y z 1 2 H(2b 3; b 4; 2b 3) MH (3b 4) (2b 4) (4b 6) 29b 88b 68 Yêu cầu bài toán trở thành: MH d (11b 20) 261b 792b 612 121b 440b 400 29b 88b 68 140b 352b 212 35b 88b 53 b b 53 35 18 53 Vậy có điểm thoả mãn là: M(0;1;-3) và M ; ; 35 35 35 Câu VII b log x y log xy Giải hệ phương trình x, y R x xy y 81 3 Giải: x y2 Điều kiện xy xy Viết lại hệ dạng: log (x y ) log (2xy) x xy y2 3 3 x y 2xy 2 x xy y x y (x y) (x; y)(2; 2);(2; 2): thỏa mãn x x xy y Hết GV: Đặng Ngọc Liên-SĐT: 0977467739 Trường THPT Ngọc Hồi KonTum Lop10.com (19)