Ðề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2009 môn thi: Toán (khối D)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M 2; 0 là trung điểm của cạnh AB.. Viết phương trình đường thẳng AC.[r]

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Môn thi: Toán (khối D) (Thời gian làm bài: 180 phút) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m = Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình cos5x  2sin 3x cos 2x  sin x   x(x  y  1)   Giải hệ phương trình  (x, y  R) (x  y)2     x Câu III (1,0 điểm) dx e 1 Tính tích phân I   x Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M là trung điểm đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Câu V (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A có phương trình là 7x – 2y – = và 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z – (3 – 4i)= B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Lop10.com Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = Gọi I là tâm (C) Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) cho IMO = 300 x2 y2 z Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :   và mặt phẳng 1 1 (P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt và vuông góc với đường thẳng  Câu VII.b (1,0 điểm) x2  x  Tìm các giá trị tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y  x hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung - BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I m = 0, y = x4 – 2x2 TXĐ : D = R y’ = 4x – 4x; y’ =  x =  x = 1; lim   x  x y' y  + 1  + 0  CĐ + + + y 1 1 CT CT y đồng biến trên (-1; 0); (1; +) y nghịch biến trên (-; -1); (0; 1) y đạt cực đại x = 1 y đạt cực tiểu -1 x = 1 x 1 Giao điểm đồ thị với trục tung là (0; 0) Giao điểm đồ thị với trục hoành là (0; 0); ( ;0) Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) và đường thẳng y = -1 là x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1  x4 – (3m + 2)x2 + 3m + =  x = 1 hay x2 = 3m + (*) Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ và phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 và <  0  3m     m     3m    m  Câu II 1) Phương trình tương đương : cos5x  (sin 5x  sin x)  sin x   cos5x  sin 5x  sin x   cos5x  sin 5x  sin x  sin   5x   sin x 2 3      5x  x  k2 hay  5x    x  k2 3   2  6x   k2 hay 4x     k2    k2 3  Lop10.com  x      k hay x    k (k  Z) 18 2) Hệ phương trình tương đương :  x(x  y  1)   x(x  y)  x   ĐK : x ≠   2 2 x (x  y)  x  (x  y)     x2 Đặt t=x(x + y) Hệ trở thành:  t  x  tx 3  t  x   t   x       2 x   t  x   (t  x)  2tx   tx  t2    x(x  y)   x(x  y)   y 1 y Vậy     x2  x 1  x 1  x  3 3  ex  ex ex dx   dx  dx  2  ln e x  1 x x   e 1 1 e 1 Câu III : I    2  ln(e3  1)  ln(e  1)  2  ln(e  e  1) Câu IV AC  9a  4a  5a  AC  a BC  5a  a  4a  BC  2a M H laø hình chieáu cuûa I xuoáng maët ABC Ta coù IH  AC IA/ A/ M IH 4a A/      IH  I / IC AC AA 3 B 11 4a 4a VIABC  S ABC IH  2a  a   (đvtt) 32 Tam giaùc A’BC vuoâng taïi B Neân SA’BC= a 52a  a H A / 2 Xét tam giác A’BC và IBC, Đáy IC  A C  S IBC  S A/ BC  a 3 3 3V 4a 2a 2a Vaäy d(A,IBC)  IABC    S IBC 2a 5 Câu V C/ C S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2 y2 + 12(x3 + y3) + 34xy = 16x2 y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2 y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2 y2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, vì x, y  và x + y = nên  t  ¼ Khi đó S = 16t2 – 2t + 12 S’ = 32t – ; S’ =  t = 16 25 191 S(0) = 12; S(¼) = ;S( )= Vì S liên tục [0; ¼ ] nên : 16 16 Lop10.com 25 x = y = 2   2 2  x   x  191 4 Min S =  hay    16 y  y    4 Max S = PHẦN RIÊNG Câu VI.a 1) Gọi đường cao AH : 6x – y – = và đường trung tuyến AD : 7x – 2y – = A = AH  AD  A (1;2) M là trung điểm AB  B (3; -2) BC qua B và vuông góc với AH  BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) =  x + 6y + = D = BC  AD  D (0 ;  ) D là trung điểm BC  C (- 3; - 1)  AC qua A (1; 2) có VTCP AC  (4; 3) nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) =  3x – 4y + = x   t   2) AB qua A có VTCP AB  (1;1; 2) nên có phương trình :  y   t (t  ) z  2t  D  AB  D (2 – t; + t; 2t)    CD  (1  t; t ; 2t) Vì C  (P) nên : CD //(P)  CD  n (P ) 5   1(1  t)  1.t  1.2t   t   Vậy : D  ; ;  1 2  Câu VI.b (x – 1)2 + y2 = Tâm I (1; 0); R = Ta có IMO = 300, OIM cân I  MOI = 300  OM có hệ số góc k =  tg300 =  x x2 +k=  pt OM : y= vào pt (C)  x  2x  0 3  x= (loại) hay x  Vậy M 3 3  ;   2 Cách khác: Ta coù theå giaûi baèng hình hoïc phaúng OI=1, IOM  IMO  300 , đối xứng ta có điểm đáp án đối xứng với Ox H laø hình chieáu cuûa M xuoáng OX Tam giác OM H là nửa tam giác 3 3 OI=1 => OH   OM  , HM   3 M1 O I H M2 Lop10.com 3 3 3 3 Vaäy M  , , M2  ,   2  2 Gọi A =   (P)  A(-3;1;1)   a   (1;1; 1) ; n ( P)  (1;2; 3)    d qua A và có VTCP a d   a  , n ( P)   ( 1;2;1) nên pt d là : x  y 1 z 1   1 Câu VII.a Gọi z = x + yi Ta có z – (3 – 4i) = x – + (y + 4)i Vậy z – (3 – 4i) =  (x  3)2  (y  4)2   (x – 3)2 + (y + 4)2 = Do đó tập hợp biểu diễn các số phức z mp Oxy là đường tròn tâm I (3; -4) và bán kính R = x2  x   2x  m (1) x  x2 + x – = x(– 2x + m) (vì x = không là nghiệm (1))  3x2 + (1 – m)x – = phương trình này có a.c < với m nên có nghiệm phân biệt với m b Ycbt  S = x1 + x2 =  =  m – =  m = a Câu VII.b pt hoành độ giao điểm là : Người giải đề: PHẠM HỒNG DANH - TRẦN VĂN TOÀN (Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn, TP.HCM) Lop10.com