Đang tải... (xem toàn văn)
1.Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy cho hình chöõ nhaät ABCD coù ñieåm I (6, 2) laø giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD. Chöùng minh raèng: maët phaúng (P) caét maët caàu (S) [r]
(1)S 1
ĐỀ Ố Ð THI TUY N SINH Ề Ể ĐẠI H C KH I A N M 2009Ọ Ố Ă
Phần chung:
Câu I (2, điểm) Cho hàm số y = x
2x
(1)
1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
2.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O
Câu II (2,0 điểm)
1.Giải phương trình (1 2sin x)cos x (1 2sin x)(1 sin x)
2.Giải phương trình : 2 3x 5x 03
(x R)
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phaân
I (cos x 1)cos xdx
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm của
cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz, ta có (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) 5(y + z)3.
Phần riêng: (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một
đường tròn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường trịn
Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2+2z+10=0
Tính giá trị biểu thức A = z12 + z22
B Theo Chương trình Nâng Cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = đường
thẳng : x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích IAB lớn
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = đường thẳng 1 : x 11 y1 z 96 ; 2 : x 12 y 31 z 12
Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1
cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
(2)Gỉai hệ phương trình : 2
2
2
x xy y
log (x y ) log (xy)
3 81
(x, y R)
K T QUẾ Ả ĐỀ Ố S 1 Phần chung:
Caâu I.
2.Tam giác OAB cân O nên tiếp tuyến song song với hai đường thẳng y = x y = -x Nghĩa là:
f’(x0) = 1
1
1
(2x 3)
0
0
x y
x y
1 : y – = -1(x + 1) y = -x (loại) 2 : y – = -1(x + 2) y = -x – (nhận)
Caâu II.
1.ĐK: sin
x , sinx ≠
1 2sin cos 2sin sin
cos 2sin cos sin 2sin cos sin sin2 cos
Pt x x x x
x x x x x x x x x
1cos 3sin 1s in2 3cos2 cos cos
2 2
x x x x x x
2 2
3 6
x x k hay x x k
2
x k (loại)
18
x k , k Z (nhaän)
2.2 3x 5x 03
, điều kiện :6
x x
Đặt t = 33x 2
t3 = 3x – x =
3
t
3
vaø – 5x = 5t3
3
Phương trình trở thành : 2t 5t3
5t3 2t
15tt 43 4t2 32t 40 0
t = -2 Vậy x = -2
Câu III.
2 2
3
0 0
2 2
2
4 2
1
0 0
cos cos cos cos
cos cos sin cos 2sin sin cos
sin cos
I x xdx xdx xdx
I x xdx x xdx x x xdx
t x dt xdx
Đổi cận: x= t = 0; x =
(3)
1
1
2
0
2 2 2 2
2
0
0 0
2
3
0
2
1
3 15
1 cos2 1 1
cos cos2 sin
2 2 4
8
cos cos
15 t t
I t t dt t
x
I xdx dx dx xdx x x
I x xdx
Câu IV Từ giả thiết toán ta suy SI thẳng góc với mặt phẳng ABCD, gọi J trung điểm BC; E hình chiếu I xuống BC
2a a 3a
IJ
2
SCIJ
2
IJ CH 3a 3a
a
2 2
, CJ=BC a
2
SCIJ
2
3a 1 3a 3a 6a 3a
IE CJ IE SE ,SI
4 CJ 5
,
3
1 3a 3a 15
V a 2a 2a
3 5
Caâu V x(x+y+z) = 3yz y z 3y z
x x x x
Đặt u y 0,v z 0,t u v
x x
. Ta có
2
2
1 3 3 4 2
2
u v t
t uv t t t t t
Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa về 1u31v33 1 u 1v u v 5u v 3
3 2 3
3 3
3 3
2 1 1 1
2 1 6(1 )
1
2 6 2
3
t u v u v u v t t
t u v t t u v uv t
t
t t t t t t t t t
Đúng t Phần riêeng:
A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a 1. I (6; 2); M (1; 5)
: x + y – = 0, E E(m; – m); Gọi N trung điểm AB I trung ñieåm NE N I E
N I E
x 2x x 12 m
y 2y y m m
N (12 – m; m – 1)
MN
= (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; – m – 2) = (m – 6; – m) MN.IE 0
(11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) =
(4) m – = hay 14 – 2m = m = hay m = + m = MN = (5; 0) pt AB laø y =
+ m = MN = (4; 1) pt AB laø x – – 4(y – 5) = x – 4y + 19 =
2.I (1; 2; 3); R = 11 5
d (I; (P)) = 2(1) 2(2) 4
< R = Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C)
Phương trình d qua I, vng góc với (P) : x 2ty 2t z t
Gọi J tâm, r bán kính đường tròn (C) J d J (1 + 2t; – 2t; – t) J (P) 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – + t – = t =
Vậy tâm đường tròn J (3; 0; 2) Bán kính đường trịn r = 2
R IJ 25 9 4
Câu VII.a ’ = -9 = 9i2 phương trình z = z
1 = -1 – 3i hay z = z2 = -1 + 3i
A = z12 + z22 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20
B Theo Chương trình Nâng Cao
Caâu VI.b 1. (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = có tâm I (-2; -2); R = 2
Giả sử cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH ABC, ta có SABC = 12IA.IB.sin AIB = sinAIB
Do SABC lớn sinAIB = AIB vuông I
IH = IA
2 (thoûa IH < R)
1 4m
m
– 8m + 16m2 = m2 + 15m2 – 8m = m = hay m =
15
2.M (-1 + t; t; -9 + 6t) 1; 2 qua A (1; 3; -1) có véctơ phương a
= (2; 1; -2)
AM
= (t – 2; t – 3; 6t – 8) AM a
= (14 – 8t; 14t – 20; – t) Ta coù : d (M, 2) = d (M, (P)) 261t2 792t 612 11t 20
35t2 - 88t + 53 = t = hay t = 53
35
Vaäy M (0; 1; -3) hay M 18 53 3; ; 35 35 35
Caâu VII.b Điều kiện x, y > 0
2
2 2
2
log (x y ) log log (xy) log (2xy)
x xy y
2
2
x y 2xy
x xy y
2
(x y)
xy
x y xy
x y
hay
x
y
(5)S 1
ĐỀ Ố Ð THI TUY N SINH Ề Ể ĐẠI H C KH I A N M 2009Ọ Ố Ă
Phần chung:
Câu I (2, điểm) Cho hàm số y = 2x 3x 2
(1)
1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
2.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O
Câu II (2,0 điểm)
1.Giải phương trình (1 2sin x)cos x (1 2sin x)(1 sin x)
2.Giải phương trình : 2 3x 5x 03
(x R)
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
I (cos x 1)cos xdx
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm của
cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu V (1,0 điểm) Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz, ta có (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) 5(y + z)3.
Phần riêng: (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) giao điểm đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB
2.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một
đường trịn Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường trịn
Câu VII.a (1,0 điểm) Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình: z2+2z+10=0
Tính giá trị biểu thức A = z12 + z22
B Theo Chương trình Nâng Cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = đường
thẳng : x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích IAB lớn
2.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – = đường thẳng 1 : x 11 y1 z 96
; 2 : x y z
2
Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1
cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
(6)Gỉai hệ phương trình : 2
2
2
x xy y
log (x y ) log (xy)
3 81
(x, y R)
K T QUẾ Ả ĐỀ Ố S 1 Phần chung:
Caâu I.
2.Tam giác OAB cân O nên tiếp tuyến song song với hai đường thẳng y = x y = -x Nghĩa là:
f’(x0) = 1
1
1
(2x 3)
0
0
x y
x y
1 : y – = -1(x + 1) y = -x (loại) 2 : y – = -1(x + 2) y = -x – (nhận)
Caâu II.
1.ĐK: sin
x , sinx ≠
1 2sin cos 2sin sin
cos 2sin cos sin 2sin cos sin sin2 cos
Pt x x x x
x x x x x x x x x
1cos 3sin 1s in2 3cos2 cos cos
2 2
x x x x x x
2 2
3 6
x x k hay x x k
2
x k (loại)
18
x k , k Z (nhaän)
2.2 3x 5x 03
, điều kieän :6
x x
Đặt t = 33x 2
t3 = 3x – x =
3
t
3
vaø – 5x = 5t3
3
Phương trình trở thành : 2t 5t3
5t3 2t
15tt 43 4t2 32t 40 0
t = -2 Vaäy x = -2
Caâu III.
2 2
3
0 0
2 2
2
4 2
1
0 0
cos cos cos cos
cos cos sin cos 2sin sin cos
sin cos
I x xdx xdx xdx
I x xdx x xdx x x xdx
t x dt xdx
Đổi cận: x= t = 0; x =
(7)
1
1
2
0
2 2 2 2
2
0
0 0
2
3
0
2
1
3 15
1 cos2 1 1
cos cos2 sin
2 2 4
8
cos cos
15 t t
I t t dt t
x
I xdx dx dx xdx x x
I x xdx
Câu IV Từ giả thiết tốn ta suy SI thẳng góc với mặt phẳng ABCD, gọi J trung điểm BC; E hình chiếu I xuống BC
2a a 3a
IJ
2
SCIJ
2
IJ CH 3a 3a
a
2 2
, CJ=BC a
2
SCIJ
2
3a 1 3a 3a 6a 3a
IE CJ IE SE ,SI
4 CJ 5
,
3
1 3a 3a 15
V a 2a 2a
3 5
Caâu V x(x+y+z) = 3yz y z 3y z
x x x x
Đặt u y 0,v z 0,t u v
x x
. Ta có
2
2
1 3 3 4 2
2
u v t
t uv t t t t t
Chia hai vế cho x3 bất đẳng thức cần chứng minh đưa về 1u31v33 1 u 1v u v 5u v 3
3 2 3
3 3
3 3
2 1 1 1
2 1 6(1 )
1
2 6 2
3
t u v u v u v t t
t u v t t u v uv t
t
t t t t t t t t t
Đúng t Phần riêeng:
A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a 1. I (6; 2); M (1; 5)
: x + y – = 0, E E(m; – m); Gọi N trung điểm AB I trung điểm NE N I E
N I E
x 2x x 12 m
y 2y y m m
N (12 – m; m – 1)
MN
= (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; – m – 2) = (m – 6; – m) MN.IE 0
(11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) =
(8) m – = hay 14 – 2m = m = hay m = + m = MN = (5; 0) pt AB laø y =
+ m = MN = (4; 1) pt AB laø x – – 4(y – 5) = x – 4y + 19 =
2.I (1; 2; 3); R = 11 5
d (I; (P)) = 2(1) 2(2) 4
< R = Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C)
Phương trình d qua I, vng góc với (P) : x 2ty 2t z t
Gọi J tâm, r bán kính đường trịn (C) J d J (1 + 2t; – 2t; – t) J (P) 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – + t – = t =
Vậy tâm đường tròn J (3; 0; 2) Bán kính đường trịn r = 2
R IJ 25 9 4
Câu VII.a ’ = -9 = 9i2 phương trình z = z
1 = -1 – 3i hay z = z2 = -1 + 3i
A = z12 + z22 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20
B Theo Chương trình Nâng Cao
Câu VI.b 1. (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = có tâm I (-2; -2); R = 2
Giả sử cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH ABC, ta có SABC = 12IA.IB.sin AIB = sinAIB
Do SABC lớn sinAIB = AIB vuông I
IH = IA
2 (thoûa IH < R)
1 4m
m
– 8m + 16m2 = m2 + 15m2 – 8m = m = hay m =
15
2.M (-1 + t; t; -9 + 6t) 1; 2 qua A (1; 3; -1) có véctơ phương a
= (2; 1; -2)
AM
= (t – 2; t – 3; 6t – 8) AM a
= (14 – 8t; 14t – 20; – t) Ta coù : d (M, 2) = d (M, (P)) 261t2 792t 612 11t 20
35t2 - 88t + 53 = t = hay t = 53
35
Vaäy M (0; 1; -3) hay M 18 53 3; ; 35 35 35
Câu VII.b Điều kiện x, y > 0
2
2 2
2
log (x y ) log log (xy) log (2xy)
x xy y
2
2
x y 2xy
x xy y
2
(x y)
xy
x y xy
x y
hay
x
y
(9)