Đ ÔN THI Đ I H C 2009 Đ S Mơn : TỐN Kh i : A Th i gian làm : 180 phút không k th i gian phát đ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Câu I (2 m) x + 2x + Kh o sát s bi n thiên v đ th (C) c a hàm s : y = x +1 D a vào đ th (C), tìm m đ phương trình sau có nghi m dương phân bi t: x + x + = (m + 2m + 5)( x + 1) Câu II (2 m) Gi i phương trình: cos 3x cos x − sin 3x sin x = 2+3 x + + y ( y + x) = y (x, y ∈ ) Gi i h phương trình: ( x + 1)( y + x − 2) = y Câu III (2 m) Trong không gian v i h to đ Oxyz,cho hình lăng tr đ ng ABC.A’B’C’ có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0),A’(0; 0; 2) Ch ng minh A’C vng góc v i BC’ Vi t phương trình m t ph ng (ABC’) Vi t phương trình hình chi u vng góc c a đư ng th ng B’C’ m t ph ng (ABC’) Câu IV (2 m) Tính tích phân: I = ∫ dx 2x + + 4x + Cho x,y s th c th a mãn u ki n x2+xy+y2 ≤ Ch ng minh r ng –4 –3 ≤ x2 – xy – 3y2 ≤ +3 PH N T CH N: Thí sinh t ch n câu V.a ho c câu V.b Câu V.a.(2 m) x2 y2 + = Vi t phương trình 12 hypebol (H) có hai đư ng ti m c n y = ±2x có tiêu m tiêu m c a elip (E) 1– Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho elip (E) 100 2– Áp d ng khai tri n nh th c Niuton c a (x + x ) , Ch ng minh r ng 99 1 1 100.C100 − 101.C100 2 2 ( C k n 100 1 + − 199.C100 2 99 198 1 + 200.C100 2 100 199 =0 s t h p ch p k c a n ph n t ) Câu V.b.(2 m) Gi i b t phương trình log x +1 (−2 x) > a góc BAD =600 G i M N l n lư t trung m c a c nh A’D’ A’B’ Ch ng minh r ng AC’ vuông góc v i m t ph ng (BDMN) Tính th tích kh i chóp A.BDMN Cho hình h p đ ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh AB=AD=a , AA’ = –––––––––––––––––––––––––– H t –––––––––––––––––––––––––––– DeThiMau.vn ĐÁP ÁN – THANG ĐI M Đ ÔN THI Đ I H C NĂM 2009 Đ S Mơn : TỐN Kh i : A ( Đáp án – Thang m g m trang ) Câu Ý I N i dung Đi m 2,00 Kh o sát s bi n thiên v đ th c a hàm s (1,00 m) x + 2x + y= = x +1+ x +1 x +1 • TXĐ : \{–1} x + 2x − • S bi n thiên : y’ = − = ; y’=0 ⇔ x =1; x = –3 (x + 1)2 (x + 1)2 B ng bi n thiên : x –∞ –3 –1 +∞ y’ + – – + –4 +∞ +∞ –∞ –∞ C c tr : yCĐ = y(–3) = –4 , yCT = y(1) = • Ti m c n:Ti m c n đ ng x = –1 , Ti m c n xiên y = x +1 • Đ th : 0,50 y -3 -1 I -4 DeThiMau.vn 0,25 x Tìm m đ phương trình sau có nghi m dương phân bi t(1,00 m) x + 2x + Phương trình cho tương đương v i : = m + 2m + x +1 S nghi m c a phương trình cho b ng s giao m c a đ th hàm s x + 2x + v i đư ng th ng y = m + 2m + y= x +1 Phương trình cho có nghi m dương ch : m ≠ −1 < m + 2m + < ⇔ − < m < II 0,25 0,25 0,50 2,00 Gi i phương trình (1,00 m) Phương trình cho tương đương v i : 2+3 2 2+3 ⇔ cos23x + sin23x + 3(cos3xcosx – sin3xsinx) = 2 ⇔ cos4x = cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = ⇔ 4x = ± π + k 2π ⇔ x = ± π +k 0,50 0,50 π 16 Gi i h phương trình (1,00 m) H cho tương đương v i : x2 +1 + y+ x−2 = x2 +1 =1 y ⇔ ⇔ y x + ( y + x − 2) = y + x − = y 0,50 x + x − = x =1 x = −2 ho c ⇔ ⇔ y = y=5 y = 3− x 0,50 III 2,00 Ch ng minh AC’ ⊥ BC’ Vi t phương trình mp(ABC’) (1,00 m) → → • Ta có : C’(0;2;2) , A' C =(0;2;–2) , BC ' = (–2;2;2) → → A' C BC ' = 0.(–2)+2.2+(–2).2 = ⇒ A’C ⊥ BC’ 0,50 • Vì A’C ⊥ BC’ , A’C ⊥ AB nên A’C ⊥ (ABC’) → → Vectơ pháp n c a m t ph ng (ABC’) n = AC =(0;2;–2) Phương trình m t ph ng (ABC’) : 0.(x–0) + 2(y–0) –2(z–0) = ⇔ y – z = (1,00 m) → 0,50 → Ta có B'C ' = BC =(–2;2;0) G i (α) m t ph ng ch a B’C’ vuông góc v i m t ph ng (ABC’) hình chi u vng góc c a B’C’ (ABC’) 0,25 giao n c a (α) (ABC’) → → Vectơ pháp n c a (α) nα =[ B'C ' DeThiMau.vn → ; n ] = (–4;–4;–4) 0,25 Phương trình c a (α): 1(x–0)+1.(y–2)+1.(z–2) = ⇔ x + y + z – = x + y + z − = Phương trình hình chi u c a B’C’ (ABC’) : y−z =0 IV 0,25 0,25 2,00 Tính tích phân (1,00 m) t −1 Đ t t = 4x + ⇒ x = ⇒ dx = tdt 5 tdt dt =∫ − Ta có ∫ (t + 1) t + (t + 1)2 0,25 0,50 = ln(t + 1) + = ln − t + 1 12 0,25 Ch ng minh: – –3 ≤ x2 – xy – 3y2 ≤ –3 (1,00 m) Đ t A = x + xy + y ,B == x – xy –3 y N u y = B= x ⇒ ≤ B ≤ x − xy − y t2 −t −3 x N u y ≠0 đ t t = ta đư c B = A = A y x + xy + y t + t +1 t2 −t −3 = m ⇔ (m–1)t2 + (m+1)t + m + = (1) t + t +1 Phương trình (1) có nghi m ch m = ho c − − 48 − + 48 ≤m≤ ∆ = (m+1)2 – 4(m–1)(m+3) ≥ ⇔ 3 Vì ≤ A ≤ nên –3– ≤ B ≤ –3+ 0,25 0,25 Xét phương trình V.a 0,50 2,00 (1,00 m) x2 y2 (E): + = có hai tiêu m F1(– 10 ;0) , F2( 10 ;0) 12 Vì (H) có tiêu m v i (E) nên phương trình c a (H) có d ng: x2 y2 − =1 a2 b2 Vì (H) có tiêu m v i (E) nên (1) a2 + b2 = c2 = 10 Vì (H) có hai đư ng ti m c n y = ±2x nên b = 2a (2) T (1) (2) suy a2 = , b2 = x2 y2 Phương trình c a (H) : − =1 Áp d ng khai tri n nh th c Niutơn , ch ng minh đ ng th c (1,00 m) 99 100 Ta có : x100 ( x + 1)100 = C100 x 100 + C100 x101 + + C100 x 199 + C100 x 200 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 L y đ o hàm v ta suy : 100 100 100[x( x + 1)] (1 + x) = 100 C100 x 99 + 101C100 x 100 + + 200 C100 x 199 Thay x= – ta suy B = 0,50 0,25 DeThiMau.vn V.b 2,00 Gi i b t phương trình (1,00 m) Đi u ki n –1 < x < B t phương trình cho tương đương v i : –2x < ( x + 1) ⇔ x + x + > 0,25 0,25 0,25 ⇔ x –2+ K t h p v i u ki n ta đư c –2+ < x < 0,25 Ch ng minh AC’ ⊥ (BDMN) Tính VA.BDMN (1,00 m ) S D' M A' N B' C' A D O C B 0,25 G i O tâm c a đáy ABCD, S m đ i x ng c a A qua A’ Khi S,M,D th ng hàng M trung m c a SD; S,N,B th ng hàng N trung m c a SB T hai tam giác đ ng d ng SAO ACC’ ta suy AC’ ⊥ SO (1) Vì BD ⊥ AC , BD ⊥ AA’ ⇒ BD ⊥ (ACC’A’) ⇒ BD ⊥ AC’ (2) 0,25 T (1) (2) suy AC’ ⊥ (BDMN) a 3a 3 1 Ta có: VA.BDMN = VS.ABD = SA.SABD = a = 0,50 4 4 16 ========== H t ============ DeThiMau.vn ... C100 x 19 9 + C100 x 200 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 L y đ o hàm v ta suy : 10 0 10 0 10 0[x( x + 1) ] (1 + x) = 10 0 C100 x 99 + 10 1C100 x 10 0 + + 200 C100 x 19 9 Thay x= – ta suy B = 0,50 0,25 DeThiMau.vn... T (1) (2) suy a2 = , b2 = x2 y2 Phương trình c a (H) : − =1 Áp d ng khai tri n nh th c Niutơn , ch ng minh đ ng th c (1, 00 m) 99 10 0 Ta có : x100 ( x + 1) 100 = C100 x 10 0 + C100 x1 01 + + C100... M Đ ÔN THI Đ I H C NĂM 2009 Đ S Môn : TOÁN Kh i : A ( Đáp án – Thang m g m trang ) Câu Ý I N i dung Đi m 2,00 Kh o sát s bi n thi? ?n v đ th c a hàm s (1, 00 m) x + 2x + y= = x +1+ x +1 x +1 • TXĐ