S GIÁO D C VÀ ÀO T O Tr ng THPT Chuyên V nh Phúc ( có 01 trang) www.VNMATH.com KH O SÁT CH T L NG L N TH 3 N M H C 2013 – 2014 Mơn : Tốn 12 Kh i A,A1B Th i gian: 180 phút (Khơng k giao đ ) I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 m) x + 3 có đ th là ( H ) Câu 1 (2 đi m) Cho hàm s y = x + 2 a) Kh o sát và v đ th ( H ) c a hàm s b) G i d là đ ng th ng đi qua đi m A ( − 2;0 ) và có h s góc k Tìm k đ d c t ( H ) t i hai đi m phân bi t M , N thu c hai nhánh khác nhau c a ( H ) sao cho AM = 2 AN Câu 2 (1 đi m) Gi i ph ng trình: ( tan x + 1) sin 2 x + cos x + = ( cos x + sin x ) sin x ( )( ) x + x + y + y 2 + = 1 Câu 3 (1 đi m) Gi i h ph ng trình: 2 x + − x = y − − y + 5 1 15 x Câu 4 (1 đi m) Tìm tích phân : I = ∫ x dx 25 + 3.15 x + 2.9 x 0 Câu 5 (1 đi m). Cho hình chóp S ABCD có SC ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình thoi có c nh b ng a 3 và · ABC = 1200 . Bi t r ng góc gi a hai m t ph ng ( SAB ) ( ABCD ) b ng 45 0 .Tính theo a th tích kh i chóp S ABCD và kho ng các gi a hai đ ng th ng SA, BD . Câu 6 (1 đi m) Cho các s th c không âm a, b, c tho mãn a + b + c = 3 .Ch ng minh r ng a b c 1 + + 3 ≥ b + 16 c + 16 a + 16 6 II. PH N RIÊNG (3 đi m) Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B) A. Theo ch ng trình Chu n 2 Câu 7a (1 đi m) Trong m t ph ng t a đ Oxy cho hai đ ng tròn ( C1 ) : ( x − 1) + ( y − ) = 4 2 ( C2 ) : ( x − ) + ( y − 3) = 2 c t nhau t i đi m A (1; 4 ) . Vi ( C1 ) , ( C 2 ) l n l t t i M và N sao cho AM = 2 AN t ph ng trình đ Câu 8a (1 m). Trong khơng gian v i h tr c Oxyz cho hai đ ng th ng đi qua A và c t l i ng th ng d1 : x + y − z + 7 = = và − 1 1 x − y z + 1 = = Vi t ph ng trình đ ng th ng D đi qua M ( − 1; 2;0 ) , ⊥ d1 và t o v i d 2 góc 60 0 . −1 − 2 Câu 9a (1 đi m) Gi i ph ng trình: log ( x + 3) − log x − = − 3log 4 2 . B. Theo ch ng trình Nâng cao Câu 7b (1 đi m). Trong m t ph ng t a đ Oxy cho elip ( E ) có hai tiêu m F1 − 3; , F2 3; 0 và đi d 2 : ( ) ( ) 1 qua đi m A 3; L p ph ng trình chính t c c a ( E ) và v i m i đi m M ∈ ( E ) , hãy tính giá tr bi u 2 th c . P = F1 M + F2 M − 3.OM 2 − F1 M F2 M Câu 8b (1 đi m). Trong khơng gian v i h truc to đ Oxyz, cho tam giác vng cân ABC có BA = BC Bi t A ( 5;3; − 1 ) , C ( 2;3; − 4 ) và đi m B n m trong m t ph ng ( Q ) : x + y − z − = 0 . Tìm to đ đi m B Câu 9b (1 đi m) Gi i b t ph ng trình: 15.2 x +1 + ≥ x − + 2 x +1 DeThiMau.vn www.VNMATH.com ÁP ÁN THANG I M KTCL ƠN THI I H C L N 3 N M H C 20132014 Mơn: TỐN; Kh i A, A 1 ,B (g m 6 trang) Câu Ý 1 N I DUNG I M 2,0 đi m a TX : D = ℝ \ {−2 } 0,25 x + 3 x + 3 x + 3 = 1 , lim + = +∞ , lim − = −∞ x →±∞ x + 2 x →−2 x + 2 x →−2 x + 2 −1 < 0 ∀x ∈ D Chi u bi n thiên: Ta có y ' = 2 ( x + 2 ) BBT : x −∞ 2 +∞ Gi i h n: lim +∞ 0,25 y 1 −∞ Hàm s luôn ngh ch bi n trên D = ℝ \ {−2 } th hàm s có TCN là y = 1 th hàm s có TC là x = − 2 th : th hàm s c t Ox t i đi m A(− 3; 0) 3 th hàm s c t Oy t i m B 0; 2 Nh n xét đ th : đ th hàm s nh n giao đi m I ( − 2;1 ) làm tâm đ i x ng 0,25 6 4 0,25 2 10 O 5 5 10 2 4 6 8 10 b 1 G i M x1 ;1 + , N x2 ;1 + ∈ ( H ) ; x1 ≠ x 2 ≠ −2 x1 + x2 + 2 DeThiMau.vn 0,25 www.VNMATH.com uuuur uuur 1 AM = x1 + 2;1 + ; AN = x 2 + 2;1 + x1 + x2 + 2 d c t ( H ) t i hai m phân bi t M , N thu c hai nhánh khác nhau c a ( H ) sao cho uuuur uuur 0,25 AM = 2 AN ⇔ AM = −2 AN (do A n m gi a hai nhánh c a ( H ) vì A thu c TC ) ta có h ph 1− 2 x1 + = −2 ( x 2 + ) (1 ) ng trình 1 + = −2 + 1 ( 2 ) th x2 + 2 x1 + (1 ) vào ( 2 ) ta đ c 0,25 1 5 = −2 + ⇔ x2 + = − ⇔ x2 = − ⇒ x 1 = −1 ( x2 + ) x2 + 2 5 V y M ( −1; ) ; N − ; −1 ⇒ d ≡ ( AM ) : y = x + ⇒ k = 2 2 ( n u dùng ph ng trình hồnh đ ,và đ nh lý vi ét cho ta k t q t 1,0 đi m π /K cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + hπ ( h ∈ ℤ ) 2 Khi đó ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ( tan x + 1) sin x + − 2sin 2 x + = ( cos x + sin x ) sin x 0,25 ng t trên, h i dài) 0,25 ⇔ ( tan x − 1) sin x + = ( cos x − sin x ) sin x + sin 2 x ⇔ ( tan x − 1) sin 2 x + 3cos x − ( cos x − sin x ) sin x = 0 0,25 ⇔ ( tan x − 1) sin 2 x + ( cos x − sin x ) cos x = 0 ( sin x − cos x ) ( sin − 3cos 2 x ) = 0 ⇔ ( sin x − cos x )( cos x + 1) = 0 π sin x − cos x = 0 x = + k π 4 ⇔ ⇔ cos 2 x = − 1 x = ± π + kπ 2 3 i chi u v i đi u ki n ta có nghi m x = 3 ( 0,25 ( k ∈ ℤ ) )( π + kπ , x = ± ) x + x + y + y 2 + = Gi i h ph ng trình: x + − x = y 2 − − y + K: x ≤ , y ≤ 2 π 3 + kπ ( k ∈ ℤ ) (1 ) 0,25 1,0 đ ( 2 ) Ta th y y + > y = y ≥ y ⇒ y 2 + − y > 0 ∀y ∈ ℝ T (1 ) ta có: x + hàm s ph x2 +1 = f ( t ) = t + t 2 + 1 đ ng bi n trên ℝ (do f ′ ( t ) = + ng trình ( ) ⇔ f ( x ) = f ( − y ) ⇔ x = − y ( 4 ) vào ( 2 ) ta đ c ph ptrình ( ) ⇔ ( y 2 − 1) + (1 − Th y + − y ⇔ x + x 2 + = ( − y ) + ( 4 ) 2 ( − y ) + 1 t t 2 + 1 ) ( ) DeThiMau.vn 0,25 > 0 ∀t ∈ ℝ ng trình y 2 + − − y − + y = 0 ( 5 ) − y + − + y = 0 (3) /K. −3 ≤ y ≤ 2 0,25 www.VNMATH.com 1 ⇔ ( y − 1) y + + − = 0 ⇔ + − y + 3 + y Xét ph y = 1 1 y + + − = (6) + − y + 3 + y ng trình ( 6 ) . 1 − xác đ nh và đ ng bi n trên đo n [ −3; ] + − y + 3 + y 1 + > ∀y ∈ ( −3; 2 ) g ′ ( y ) = + 2 − y 1+ − y + y + 3 + y hàm s g ( y ) = y + 1 + ( ) ( 0,25 ) M t khác −2 ∈ [ − 3; ] g ( −2 ) = 0 , pt ( ) ⇔ g ( y ) = g ( −2 ) ⇔ y = −2 • y = ⇒ x = −1 ⇒ ( x, y ) = ( − 1,1 ) • y = −2 ⇒ x = ⇒ ( x, y ) = ( 2, − 2 ) tho mãn đ/k V y h ph 4 tho mãn đ/k 0,25 ng trình có hai nghi m ( x, y ) = ( −1,1) , ( x, y ) = ( 2, − 2 ) 1,0 đi m x 5 1 x 15 3 I =∫ x dx = dx x x x x ∫ 25 + 3.15 + 2.9 5 0 25 + + 2 3 x = ⇒ t = 1 x x 5 5 5 t t = ⇒ dt = ln i c n 5 3 3 x = 1 ⇒ t = 3 I= 5 3 dt 1 = − dt 2 ∫ ∫ ln − ln t + 3t + ln − ln 1 t + t + 2 0,25 0,25 0,25 5 5 t + 3 ln12 − ln11 2ln + ln − ln11 ln I = = = ln − ln t + 1 ln − ln ln − ln 3 1,0 đi m · = 45 0 K SK ⊥ AB ⇒ hình chi u CK ⊥ AB ⇒ ( ( SAB ) , ( ABCD ) ) = ( SK , CK ) = SKC · · = 60 ⇒ CK = CB.sin 60 0 = 3 a ABC = 120 ⇒ CBK 2 3 a 2 3 a ⇒ SC = CK tan 450 = (1) , S▱ ABCD = AB.BC.sin1200 = (2) 2 2 T (1 ) và ( ) ⇒ VS ABCD 3 a 3 = SC. S▱ ABCD = 4 G i O = AC ∩ BD. Vì AC ⊥ BD , BD ⊥ SC ⇒ BD ⊥ ( SAC ) t i O K OI ⊥ SA ⇒ OI là đo n vng góc chung gi a BD và SA DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com 3a 3 a ⋅ OI AO AO ⋅ SC 3a 5 a 2 DAOI ∼ DASC ( g − g ) ⇒ = ⇒ OI = = = = 2 SC AS SA 5 10 2 3 a + ( 3 a ) 2 V y kho ng cách d ( BD, SA) = 6 0,25 5 a 10 1,0 đi m S d ng k thu t AMGM ng c d u ta có 1 a 1 ab ab ab 1 ab 2 = − = − ≥ − = − a a a a b + 16 16 b + 16 16 b + 23 + 23 16 12b 16 12 T ng t ta có b bc ≥ b − c + 12 16 12 0,25 2 c 1 ca ≥ c − , 3 12 a + 12 16 a b c ab + bc + ca 2 1 Do đó bài tốn quy v ch ng minh + + ≥ 3 − ≥ b + 16 c3 + 16 a 3 + 16 16 12 6 2 0,25 2 ⇔ ab + bc + ca ≤ 4 .(*) Khơng m t tính t ng qt , gi s b n m gi a a c Hi n nhiên ta có a ( b − c )( b − a ) ≤ 0 ⇔ ab + bc + ca ≤ a b + bc 2 + abc 0,25 3 1 2 b + a + c + a + c = b a + c + ac ≤ b ( a + c ) = 2b ( a + c )( a + c ) ≤ = 4 (*) đ oc cm 2 3 a ( b − c )( b − a ) = 0 a = 0 2 a + ac + c 2 = ( a + c ) ⇔ b = 1 ho c các hoán v t ng ng 0,25 D u b ng x y ra khi và ch khi 2 b = a + c c = 2 a + b + c = 3 1,0 đi m ( 7.a ) 2 2 2 ( C1 ) : ( x − 1) + ( y − ) = 4 ⇒ ( C1 ) có tâm O 1 (1; 2 ) và bán kính R1 = 2 2 ( C2 ) : ( x − ) + ( y − 3) = 2 ⇒ ( C2 ) có tâm O 2 ( 2;3 ) và bán kính R2 = 2 , A (1; 4 ) . Gi s ( MN ) : a ( x − 1) + b ( y − ) = ; a + b 2 > 0 (do MN đi qua A ).G i H1 , H 2 l n l t là trung đi m c a AM , AN ⇒ AH1 = AH ⇔ R12 − O1 H12 = 4 ( R22 − O2 H 2 2 ) ⇔ R −d 2 (O , ( d )) = ( R 2 −d 2 2a + 3b − a − 4 b a + 2b − a − 4b → 4− = 2 − a + b2 a + b 2 ( O , ( d ) ) ) 2 0,25 2 4 ( a − b ) a 2 − 2 ab ⇔ 4− = − ⇔ = ⇔ b 2 + 2ab = 0 a + b2 a + b2 a + b 2 • b = , a ≠ ⇒ ( d ) : x − = 0 0,25 0,25 • 2a + b = 0 ch n a = 1, b = −2 ⇒ ( d ) : x − y + = 0 V y có hai đ ng th ng tho mãn là ( d ) : x − = 0 DeThiMau.vn ( d ) : x − y + = 0 0,25 8.a www.VNMATH.com 1,0 đi m r Gi s D có vtcp uD = ( a; b; c ) , a + b + c 2 > 0 r r D ⊥ d1 ⇔ u D u1 = ⇔ a − b + c = (1 ) 0,25 a − b − 2 c ( D, d 2 ) = 600 ⇔ cos 600 = + + 4 a + b + c T (1) ⇒ b = a + c thay vào (2) ta đ ⇔ ( a − b − 2c ) = 3 ( a + b + c 2 ) ( 2 ) 2 2 2 c 18c = a + ( a + c ) + c ⇔ a + ac − 2c 2 = 0 ⇔ ( a − c )( a + 2c ) = 0 ⇒ a = c ∨ a = − 2 c 9.a x + y − 2 z r = = • a = c ⇒ b = 2 c ch n c = ⇒ uD = (1; 2;1 ) ta có D : 1 r x + y − 2 z • a = −2 c ⇒ b = − c ch n c = −1 ⇒ uD = ( 2;1; −1 ) ta có D : = = − 1 1,0 đi m kxđ: x > 1 1 1 log ( x + 3) − log ( x − 1) = − log 2 8 2 2 x + 3 ⇔ log ( x + 3) − log ( x − 1) = − log ⇔ log = log 2 2 x − 1 x + 3 ⇔ = 2 ⇔ x + = x − ⇔ x = 5 (th a mãn) x − 1 V y ph ng trình có nghi m là x = 5 . Ph 7.b 0,25 0,25 0,25 ng trình ⇔ 0,25 0,25 0,25 1,0 đi m ( E ) : x y 2 + = , a > b > 0 a b 2 0,25 ( ) ( ( E ) có hai tiêu m F1 − 3; , F2 ) 3; 0 ⇒ c = 3, c = a − b ⇒ a = b 2 + 3 (1) 0,25 1 1 A 3; ∈ ( E ) ⇒ + 2 = 1 (2) 2 a 4 b ng trình n b 2 đ Th (1) vào (2) ta gi i ph c b = ⇒ a 2 = ⇒ ( E ) : 2 P = ( e + axM ) + ( e − axM ) − ( xM2 + yM2 ) − ( a − e xM ) = 1 8.b 0,25 x y 2 + = 1 1 2 uuur uuur G i B ( a; b; a + b − ) ∈ ( P ) ⇒ AB = ( a − 5; b − 3; a + b − 5) , CB = ( a − 2; b − 3; a + b − 2 ) ,gt ⇒ uuur uuur AB.CB = 0 ( a − 5)( a − ) + ( b − )( b − 3) + ( a + b − )( a + b − ) = (1) uuur uuur ⇔ 2 2 2 AB = CB ( a − 5) + ( b − 3) + ( a + b − ) = ( a − ) + ( b − 3) + ( a + b − ) (2) 6 ( a 2 − 5a + ) = 0 a = ∨ a = a = a = 3 ⇔ ⇔ ⇔ ∨ b = − a b = b = 1 b = − 2 a T đó B ( 2;3; − 1 ) ho c B ( 3;1; − 2 ) 9.b DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com t − = t , ( t > − 1 ) . Khi đó bpt ⇔ 30 ( t + 1) + ≥ t + ( t + 1 ) (*) x TH1 t ≥ 0, thì (*) tr thành ⇔ 30t + 31 ≥ 3t + 2 ⇔ 30t + 31 ≥ 9t 2 + 12t + 4 ⇔ t 2 − 2t − ≤ ⇔ −1 ≤ t ≤ 3 k t h p t ≥ 0, nghi m bpt TH1 là ≤ t ≤ 3 TH2 −1 < t