Đề thi khảo sát chất lượng lần thứ 3 năm học 2013-2014 môn Toán 12 (khối A, A1, B) - Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc

Cùng tìm hiểu Đề thi khảo sát chất lượng lần thứ 3 năm học 2013-2014 môn Toán 12 (khối A, A1, B) của Trường THPT chuyên Vĩnh Phúc để biết được những thông tin cơ bản để chuẩn bị tốt cho kì thi sắp tới. Đề thi gồm có hai phần thi là phần chung và phần riêng cùng với phần nâng cao với các câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  Trường THPT Chun Vĩnh Phúc  (Đề có 01 trang)  KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ 3  NĂM HỌC 2013 – 2014  Mơn : Tốn 12­ Khối A,A1­B  Thời gian: 180  phút (Khơng kể giao đề)  I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)  x + 3  Câu 1 (2 điểm) Cho hàm số  y = có đồ thị là ( H )  x + 2  a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( H ) của hàm số.  b) Gọi  d là đương thẳng đi qua điểm A ( - 2;0 )  và có hệ số góc  k  Tìm  k  để  d  cắt ( H ) tại hai điểm phân  biệt  M , N  thuộc hai nhánh khác nhau của ( H ) sao cho  AM = 2 AN   Câu 2 (1 điểm) Giải phương trình: ( tan x + 1) sin 2  x + cos x + = ( cos x + sin x ) sin x   ( )( )  ì x + x + y + y 2  + = 1  ï Câu 3 (1 điểm) Giải hệ  phương trình: í   2  ïỵ x + - x = y - - y + 5  1  15 x  Câu 4 (1 điểm) Tìm tích phân : I = ò  x dx   25 + 3.15 x + 2.9 x  0  Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp  S  ABCD  có SC ^ ( ABCD )  , đáy  ABCD  là hình thoi có cạnh bằng  a  3  và  ·  ABC = 1200 . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng ( SAB )  ( ABCD )  bằng  45 0 .Tính theo  a  thể tích  khối  chóp  S  ABCD và khoảng các giữa hai đường thẳng  SA, BD .  Câu 6 (1 điểm) Cho các số thực không âm  a, b, c thoả mãn  a + b + c = 3 .Chứng minh rằng  a b c  1  + + 3  ³ b + 16 c + 16 a + 16 6  II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)  A. Theo chương trình Chuẩn  2  Câu 7a (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  cho hai đường tròn ( C1 ) : ( x - 1) + ( y - )  = 4  2  ( C2 ) : ( x - ) + ( y - 3)  = 2  cắt nhau tại điểm A (1; 4 ) . Viết phương trình đường thẳng đi qua  A  và cắt lại ( C1 ) , ( C 2  )  lần lượt tại  M  và  N  sao cho  AM = 2 AN   Câu  8a  (1  điểm).  Trong  không  gian  với  hệ  trục  Oxyz  cho  hai  đường  thẳng  d1  :  x + y - z + 7  = = và  - 1 1  x - y z + 1  = =  Viết phương trình đường thẳng D  đi qua M ( - 1; 2;0 ) ,  ^ d1  và tạo với  d 2  góc  60 0 .  -1 - 2  Câu 9a (1 điểm) Giải phương trình:  log ( x + 3) - log x - = - 3log 4  2 .  B. Theo chương trình Nâng cao  Câu 7b (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy  cho elip ( E )  có hai tiêu  điểm F1 -  3; , F2  3; 0  và đi  d 2  :  ( ) ( ) 1ử ổ quaim A ỗ ữ  Lập phương trình chính tắc của ( E )  và với mọi điểm M Ỵ ( E ) , hãy tính giá trị biểu  2 ø  è thức . P = F1 M + F2 M - 3.OM 2  - F1 M  F2 M Câu 8b (1 điểm). Trong khơng gian với hệ truc toạ độ Oxyz, cho tam giác vng cân  ABC  có  BA =  BC   Biết A ( 5;3; - 1 ) , C ( 2;3; - 4 )  và điểm  B nằm trong mặt phẳng ( Q ) : x + y - z - = 0 . Tìm toạ độ điểm  B  Câu 9b (1 điểm) Giải  bất phương trình:  15.2 x +1 + ³ x - + 2 x +1    Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên( lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM  KTCL ƠN THI ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 2013­2014  Mơn: TỐN; Khối A, A 1 ,B (gồm 6 trang)  Câu  Ý  1  NỘI DUNG  ĐIỂ  M  2,0 điểm  a  TXĐ: D = ¡ \ {-2 }  0,25  x + 3  x + 3  x + 3  = 1 ,  lim+ = +Ơ , lim= -Ơ xđƠ x +2 xđ-2 x + 2  x ®-2  x + 2  -1  Chiều biến thiên: Ta có y ' = < "x ẻD ( x +2) BBT: x -Ơ ­  ­2  +¥  Giới hạn:  lim ­ +¥  0,25  y  1  -¥ Hàm số ln nghịch biến trên D = ¡ \ {-2 }  Đồ thị hàm số có TCN là  y = 1  Đồ thị hàm số có TCĐ là  x = - 2  Đồ thị:  Đồ thị hàm số cắt  Ox  tại điểm  A(- 3; 0)  ổ 3ử thhmsct Oy ti im B ỗ ữ è 2 ø  Nhận xét đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm I ( - 2;1 )  làm tâm đối xứng  0,25  6  4  0,25  2  10  O  5  5  10  2  4  6  8  10  b  ỉ ỉ 1  Gọi M ỗ x1 + ữ , N ỗ x2 + ữ ẻ ( H ) x1 x2 ¹ -2  x1 + ø è x2  + 2 ø  è 0,25 uuuur ỉ uuur  ỉ 1  AM = ỗ x1 + 21 + ữ AN = ỗ x2 + 21+ ữ x1 + ứ x2  + 2 ø è è d  cắt ( H ) tại  hai  điểm  phân  biệt  M , N  thuộc  hai  nhánh  khác  nhau  ( H ) sao  cho  uuuur uuur  0,25  AM = 2 AN   Û AM = -2 AN (do  A  nằm giữa hai nhánh của ( H ) vì A thuộc TCĐ )  ì x1 + = -2 ( x 2  + ) (1 ) ï ta có hệ phương trình íï1 + = -2 ổỗ + ửữ ( 2) th (1) vo ( 2 )  ta được è x2  + 2 ø ỵ  x1 + 1- 2  0,25  ỉ 1 5  = -2 ỗ + ữ x2 + = - Û x2 = - Þ x 1  = -1  ( x2 + )  x2  + ø  2  è ỉ 5  Vậy M ( -1; ) N ỗ - -1ữ ị d ( AM ) : y = x + Þ k = 2  è 2  ø ( nếu dùng phương trình hồnh độ ,và định lý vi ét cho ta kết qủ tương tự trên, hơi dài)  1,0 điểm  p Đ/K cos x ¹ 0 Û x ¹ + hp ( h ẻ Â) Khiúphngtrỡnh óchotngngvi ( tan x + 1) sin x + - 2sin 2  x + = ( cos x + sin x ) sin x 0,25  0,25 Û ( tan x - 1) sin x + = ( cos x - sin x ) sin x + sin 2  x Û ( tan x - 1) sin 2  x + 3cos x - ( cos x - sin x ) sin x = 0  0,25 Û ( tan x - 1) sin 2  x + ( cos x - sin x ) cos x = 0  ( sin x - cos x ) ( sin - 3cos 2  x ) = 0  Û ( sin x - cos x )( cos x + 1) = 0  p é ésin x - cos x = 0  ê x = + k p 4  Ûê Ûê ê cos 2 x = - 1  ê x = ± p + kp 2  ë êë 3  Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm x = 3  ( 0,25 ( kẻ Â) p + kp ,x = ± )( p 3  ) ì x + x + y + y 2  + = ï Giải hệ  phương trình: í ïỵ x + - x = y 2  - - y + ĐK:  x £ , y £ 2  + kp ( k ẻ Â) (1) 0,25 1,0 ( 2) Ta thấy  y + > y = y ³ y Þ y 2  + - y > 0 "y Ỵ ¡   Từ (1 )  ta có: x + x + = y + - y Û x + x 2  + = ( - y ) + hàm số f ( t ) = t + t 2  + 1  đồng biến trên ¡ (do f ¢ ( t ) = + phương trình ( ) Û f ( x ) = f ( - y ) Û x = - y t  t 2  + 1  (3)  0,25  > 0 "t Ỵ ¡  ( 4 )  ( 4 )  vào ( 2 )  ta được phương trình y 2  + - - y ptrình ( ) Û ( y 2  - 1) + (1 - - y ) + ( - + y ) = 0  Thế 2  ( - y )  + 1 + y = 0 ( 5 )  Đ/K.  -3 £ y £ 2  0,25 é ù 1  Û ( y - 1) ê y + + ú = 0  Û  + - y + 3 + y úû ëê é y  = 1  ê 1  ê y + + = (6)  êë  + - y + 3 + y Xét phương trình ( 6 ) .  1  xác định và đồng biến trên đoạn [ -3; ]  + - y + 3 +  y 1  g ¢ ( y ) = + + > "y Ỵ ( -3; 2 )  2  - y 1+ - y + y + 3 +  y hàm số g ( y ) = y + 1 + ( ) ( 0,25  ) Mặt khác -2 Ỵ [ - 3; ]  g ( -2 ) = 0  , pt ( ) Û g ( y ) = g ( -2 ) Û y = -2  · y = Þ x = -1 Þ ( x, y ) = ( - 1,1 )  · y = -2 Þ x = Þ ( x, y ) = ( 2, - 2 )  thoả mãn đ/k  thoả mãn đ/k 0,25  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x, y ) = ( -1,1) , ( x, y ) = ( 2, - 2 )  4  1,0 điểm  x  ỉ 5 ư 1 ỗ ữ x 15 ố 3ứ I =ũ x dx = dx x x  x x  ò  25 + 3.15 + 2.9  ỉ 5 ư 0  ỉ 25 ỗ ữ + ỗ ữ + ố ø è 3 ø ì x = Þ t  = 1  x x  5  ï ỉ5ư ỉ5ư Đặt  t = ỗ ữ ị dt = ỗ ữ ln icnớ ố3ứ ố ứ ùợx = 1ị t = 3  I= 5  3  dt  1 ổ = ỗ ữdt ũ ũ ln - ln t + 3t + ln - ln 1  è t + t + 2 ø 0,25  0,25  0,25  5  5  t + 3  ln12 - ln11 2ln + ln - ln11  I  = ln  = = ln - ln t + 1  ln - ln ln - ln 3  1,0 điểm  0,25  ·  = 45 0  Kẻ  SK ^ AB Þ hình chiếu CK ^ AB Þ ( ( SAB ) , ( ABCD ) ) = ( SK , CK ) = SKC · · = 60 Þ CK = CB.sin 60 0  =  3 a  ABC = 120 Þ CBK 2  3 a 2  3 a  Þ SC = CK tan 450  =  (1) , SY ABCD  = AB.BC.sin1200  = (2)  2  2  Từ (1 ) và ( ) Þ VS  ABCD 3 a 3  = SC. SY ABCD  = 4  0,25  0,25  Gọi  O = AC Ç BD.  Vì AC ^ BD , BD ^ SC Þ BD ^ ( SAC )  tại  O   Kẻ  OI ^ SA Þ OI là  đoạn vng góc chung giữa  BD  và  SA  0,25 3a 3 a  × OI AO AO × SC 3a 5 a  2  DAOI : DASC ( g - g ) Þ = Þ OI  = = = = 2  SC AS SA 10 ổ 3aử ỗ ÷ + ( 3 a )  è ø Vậy khoảng cách d ( BD, SA) =  6  0,25  5 a  10  1,0 điểm  Sử dụng kỹ thuật AM­GM ngược dấu ta có  1ỉ a 1ỉ ab ỉ ab ab 1  ỉ ab 2  = a = a a = a ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ç ÷   b + 16 16 è b + 16 ø 16 è b + 23 + 23  ø 16 è 12b ø 16 è 12  ứ Tngttacú b ổ bc ỗb c + 12 16 è 12 c 1  ỉ ca ỗ cữ , ữ 12 ứ ø a + 12 16 è a b c æ ab + bc + ca 2  ö 1  Doúbitoỏnquyvchngminh + + ỗ 3ữ b + 16 c3 + 16 a 3  + 16 16 è 12 ø  6  2 0,25  2  0,25  2  Û ab + bc + ca £ 4 .(*)  Khơng mất tính tổng qt , giả sử  b nằm giữa  a  c   Hiển nhiên ta có a ( b - c )( b - a ) £ 0 Û ab + bc + ca £ a b + bc 2  + abc 0,25  3  1 æ 2 b + a + c + a + c ö = b a + c + ac £ b ( a + c ) = 2b ( a + c )( a + c ) £ ç ÷ = 4  (*) đựoc cm  2è 3  ø  ì a ( b - c )( b - a ) = 0  ï ì a = 0  2  ï a + ac + c 2  = ( a + c )  ï Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi í Û íb = 1  hoặc các hốn vị tương ứng  0,25  ï 2 b = a + c  ïc = 2  ỵ ï ỵ a + b + c = 3  1,0 điểm ( 7.a  2  ) 2  2  ( C1 ) : ( x - 1) + ( y - )  = 4 Þ ( C1 )  có tâm O 1  (1; 2 )  và bán kính  R1  = 2  2  ( C2 ) : ( x - ) + ( y - 3)  = 2  Þ ( C2  )  có tâm O 2  ( 2;3 )  và bán kính  R2  =  2 , A (1; 4 ) .  Giả sử ( MN ) : a ( x - 1) + b ( y - ) = ; a + b 2  > 0  (do  MN  đi qua  A ).Gọi  H1 , H 2  lần lượt  là trung điểm của AM , AN Þ AH1 = AH Û R12 - O1H12 = 4 ( R22 - O2 H 2 2 )  Û R -d (O , ( d )) = ( R 2 -d 2  ìï é 2a + 3b - a - 4 b  ù üï é a + 2b - a - 4b ù ® 4- ê = í2 - ê ú úý a + b2 a + b 2  ïỵ ù ỷ ỷ ỵ 0,25 ( O , ( d ) ) )  2  2  4 ( a - b )  a 2  - 2 ab  Û 4- = Û = Û b 2  + 2ab = 0  a + b2 a + b2 a + b 2  Ã b = , a ị ( d ) : x - = 0  0,25 0,25 ·  2a + b = 0  chọn a = 1, b = -2 Þ ( d ) : x - y + = 0  Vậy có hai đường thẳng thoả mãn là ( d ) : x - = 0  ( d ) : x - y + = 0  0,25 8.a  1,0 điểm  r Giả sử D  có vtcp u D = ( a; b; c ) , a + b + c 2  > 0  r r  D ^ d1 Û u D u1  = Û a - b + c = (1 )  0,25 a - b - 2 c  ( D, d 2 ) = 600 Û cos 600 = 2  + + 4  a + b + c 2  Û ( a - b - 2c ) = 3 ( a + b + c 2 )  ( 2 )  2  Từ (1)  Þ b = a + c thay vào (2) ta được 18c = é a + ( a + c )  + c ù Û a + ac - 2c 2  = 0  ë û 0,25 Û ( a - c )( a + 2c ) = 0  Þ a = c Ú a = - 2 c 9.a  r  x + y - 2  z ·  a = c Þ b = 2 c chọn c = Þ uD = (1; 2;1 )  ta có  D :  = =  1  r  x + y - 2  z ·  a = -2 c Þ b = - c chọn c = -1 Þ uD = ( 2;1; -1 )  ta có  D :  = = - 1  1,0 điểm  0,25 0,25  Đkxđ:  x > 1  1 1  log ( x + 3) - log ( x - 1) = -  log 2  8  2 2  x + 3  Û log ( x + 3) - log ( x - 1) = - log Û log = log 2  2  x - 1  x + 3  Û = 2  Û x + = x - Û x = 5  (thỏa mãn)  x - 1  Vậy phương trình có nghiệm là  x = 5 .  0,25  Phương trình  Û 7.b  0,25  0,25  0,25  1,0 điểm x y 2  + = , a > b > 0  a b 2  ( E )  có hai tiêu  điểm F1 -  3; , F2  ( E ) : ( ) ( 0,25  )  3; 0  Þ c = 3, c = a - b Þ a = b 2  + 3  (1)  0,25  1 ö ổ A ỗ ữ ẻ ( E)ị + 2  = 1 (2)  2 ø a 4 b è Thế (1) vào (2)  ta giải phương trình ẩn  b 2  b = Þ a 2  = Þ ( E ) : x y 2  + = 1  1  2  2  P = ( e + axM ) + ( e - axM ) - ( xM2 + yM2 ) - ( a - e xM  ) = 1  8.b  9.b uuur uuur  Gọi B ( a; b; a + b - ) Ỵ ( P ) Þ AB = ( a - 5; b - 3; a + b - 5) , CB = ( a - 2; b - 3; a + b - 2 ) ,gt Þ  uuur uuur ìï AB.CB = 0  ìï( a - 5)( a - ) + ( b - )( b - 3) + ( a + b - )( a + b - ) = (1)  í uuur uuur  Û í 2 2 2  ïỵ AB = CB  ïỵ( a - 5) + ( b - 3) + ( a + b - ) = ( a - ) + ( b - 3) + ( a + b - )  (2)  ìï6 ( a 2  - 5a + ) = 0  ìa = Ú a = ìa = ìa = 3  Ûí Ûí Ûí Úí ỵb = - a ỵb = ỵb = 1  ïỵ b = - 2 a Từ đó B ( 2;3; - 1 )  B ( 3;1; - 2 )  0,25 0,25  0,25 0,25 0,25  0,25  Đặt x  - = t , ( t > - 1 ) . Khi đó bpt Û 30 ( t + 1) + ³ t + ( t + 1 )  (*)  0,25  TH1  t ³ 0,  thì (*) trỏ thành  Û 30t + 31 ³ 3t + 2  Û 30t + 31 ³ 9t 2  + 12t + 4  Û t 2  - 2t - £ Û -1 £ t £ 3  kết hợp  t ³ 0, nghiệm bpt TH1 là  £ t £ 3  0,25  TH2  -1 < t