Đề thi khảo sát chất lượng lần thứ 2 năm học 2014-2015 trường chuyên Vĩnh Phúc

b Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi.. Tìm tọa độ điểm M thuộc  C sao cho biểu thức PMA2MB đạt giá trị nhỏ nhất..

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II

NĂM HỌC 2014 – 2015

Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề)

Câu 1.(2.0 điểm) Cho hàm số 3 2

y  x x   1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  1

b) Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số  1 tiếp xúc với đường tròn     2 2

C x m  y m  

Câu 2 (1 điểm)Giải bất phương trình ln 1 sin  

2 2

2



Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân

2 0

sin 2 cos

1 cos

x







Câu 4 (1 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:  2 

x

ye x  trên đoạn [–2;2]

b) Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp

anh em sinh đôi Có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh trong số 50 học sinh nói trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào?

Câu 5 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng

1: 2 3 1 0;

d x y  và d2: 4x  y 5 0 Gọi A là giao điểm của d1 và d2 Tìm toạ độ điểm

B trên d1 và toạ độ điểm C trên d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G 3;5

Câu 6 (1điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn  C :

  2 2

x 1  y 1 25, và các điểm A(7;9), B(0;8) Tìm tọa độ điểm M thuộc  C sao cho biểu thức PMA2MB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 7 (1 điểm) Cho lăng trụ đều ABC A B C Biết rằng góc giữa ' ' ' A BC và '  ABC là 

300 , tam giác A BC có diện tích bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ ' ABC A B C ' ' '

Câu 8 (1 điểm) Giải phương trình 2x24x 9 5x 6 7x110

Câu 9 (1 điểm) Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn a b c1 và 1 c 4

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1 2 1 2

Q

HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh ; Số báo danh

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 12D- Lần II- Năm học 2014-2015

y  x3 3x2 4 + Tập xác định: DR

+ Sự biến thiên:

' 3 6 , ' 0

0

x

x

 



Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  ; 2 và  0;  , đồng biến trên

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 0; yCĐ  y(0)  4

Hàm số đạt cực tiểu tại x  2; yCT  y( 2)  0

- Giới hạn: lim ; lim

0,25

- Bảng biến thiên:

,

y  0  0



y



0

4



0,25

Đồ thị hàm số (1) có điểm cực tiểu A   2;0 , điểm cực đại B   0;4 Phương trình đường

thẳng nối hai cực trị của đồ thị hàm số (1) là: : 1

2 4



  AB : 2 x y 4 0

0,25

    2 2

C xm  y m  có tâm I m m  ;  1 bán kính R  5 0,25

Đường thẳng   AB tiếp xúc với đường tròn   C  d I  ;   AB   R

 2 2

5

m m 

3 5

2

m m

m

 



3

x

x





     



0.25

Ta có

ln (1 sin )

ln 2

2 2

2 log (x 3x) 0





0.25

2

log (x 3x) 2 x 3x 2 x 3x 4 0 4 x 1

So điều kiện, bất phương trình có nghiệm :    



0 < x 1

0,25

2

2

Đặt

sin x

1 2

x t

 







   



,

0,25

2

2 2( 2 ln ) 2 ln 2 1

1 2

t

x

ye x  liên tục trên đoạn [–2;2]

 2   2  1  2; 2 

3 2; 2

x

   

   

2

1

e

-2;2 -2;2

maxy y 2 e ; miny y 1 2e

0,25

Có C cách chọn ra 3 học sinh tùy ý từ 50 học sinh nói trên 503

Chọn ra 3 học sinh trong số 50 học sinh trên mà trong nhóm có ít nhất một cặp anh em

sinh đôi, nghĩa là trong 3 học sinh được chọn chỉ có 1 cặp anh em sinh đôisố cạnh

chọn là 1 1

4 48

C C

0,25

Vậy đáp số bài toán là 3 1 1

50 4 48 19408

C C C  (cách)

0,25

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2 3 1 0 1  1;1

A

1

2 1

; 3

t

B d B t  

G là trọng tâm tam giác ABC

1 3 3

2 1

5 4 1

3

t s

t

s

 





     







Giải hệ này ta được

61 61 43

( ; )

5 5 55

( ; )

 C có tâm I(1;1) và bán kính R = 5 Ta thấy IA10;IB5 2A B, nằm ngoài đường

Gọi E J, lần lượt là trung điểm của IA IE,   5

E 4;5 ; J ;3

2

 

B

A

J

I

M

E

F

Gọi F là trung điểm của IM Tam giác IME cân tại IEFMJ

Ta có PMA2MB2EF2MB2MJMB2BJ

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BJ (Vì B nằm ngoài đường tròn

(C); J nằm trong đường tròn  C )

0,25

Do đó P nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của đường tròn  C và đoạn thẳng BJ

BJ có phương trình 2x  y 8 0

Tọa độ giao điểm của BJ và  C là nghiệm của hệ

x 1

x 5

 





  







0,25

Vì M thuộc đoạn JB nên1 5

2

M

x

  M 1;6

Gọi H là trung điểm của BC AA'H

AA' BC

BC







 Tam giác AA'H vuông tại H 0

' 90

AHA

   AHA' là góc giữa hai mặt phẳng

A BC và (ABC) '   AHA'300

0,25

A’

C’

B’

C

A

Đặt   3 0

c

2

A BC

Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là ' ' '

2

' ' '

3 64 3

a a

0,25

  2

2x 4x 9 5x 6 7x110 1

x

x x

 

  



1 2x 2x 4 x 2 5x6  x 3 7x11 0

0,25

 

 

2

2

2 0 2

2 3

x x

x x

   





0,25

Ta có  2 1

2

x x

 



  

 (thỏa mãn )

0,25

2

3

x



 3

 vô nghiệm

Vậy nghiệm của  1 là 1

2

x x

 



 

Từ giả thiết 1 c 4 Þ 0< ab£ 1

Ta chứng minh được: 1 2 1 2 2

1 a + 1 b £ 1 ab

Thât vậy ta có

-0,25

 ** đúng nên  * đúng

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

1

a b ab





 



Áp dụng  * ta có 2 1 2 2 1 2

c Q

0,25

1 1

c

f c

+ + trên  1;4

Ta có:

( )

2 2

4 3

( )

f c

 đồng biến trên  1;4

0,25

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

1 2 4

4 1

1 2

a b c

c abc

a b

a b



  

   

     

  

Vậy ax 141

85

m P = đạt được khi

1 2 4 1 2 4

a b

c

a b

c

  



 





   



 



0,25

Lưu ý khi chấm bài:

-Đáp án chỉ trình bày một cách nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bướcđó

-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm

-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó

không được điểm

-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau

-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

-Hết -