SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II NĂM HỌC 2014 – 2015 (Đề có 01 trang) Môn : Toán 12; Khối D Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề) Câu 1.(2.0 điểm) Cho hàm số 32 34y x x 1 a). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 . b). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số 1 tiếp xúc với đường tròn 22 : 1 5C x m y m . Câu 2 (1 điểm) Giải bất phương trình ln 1 sin 2 2 2 log 3 0e x x . Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân 2 0 sin 2 .cos 1 cos xx I dx x . Câu 4 (1 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2 .3 x y e x trên đoạn [–2;2]. b) Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh trong số 50 học sinh nói trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào? Câu 5 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 :2 3 1 0;d x y và 2 :4 5 0d x y . Gọi A là giao điểm của 1 d và 2 d . Tìm toạ độ điểm B trên 1 d và toạ độ điểm C trên 2 d sao cho tam giác ABC có trọng tâm 3;5G . Câu 6 (1điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C : 22 x 1 y 1 25 , và các điểm A(7;9), B(0;8) . Tìm tọa độ điểm M thuộc C sao cho biểu thức 2P MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 7 (1 điểm) Cho lăng trụ đều . ' ' 'ABC A B C . Biết rằng góc giữa 'A BC và ABC là 30 0 , tam giác 'A BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C . Câu 8 (1 điểm) Giải phương trình 2 2 4 9 5 6 7 11 0x x x x Câu 9 (1 điểm) Cho các số thực ,,abc thỏa mãn . . 1abc và 14c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Q abc = + + + + + . HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh ; Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 12D- Lần II- Năm học 2014-2015 Câu ý Nội dung Điểm 1 2.0 a 1.0 32 34y x x + Tập xác định: DR + Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 2 2 ' 3 6 , ' 0 0 x y x x y x Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ;2 và 0; , đồng biến trên khoảng 2;0 . 0,25 - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại C (0) 0; 4 Đ x y y Hàm số đạt cực tiểu tại CT ( 2) 2; 0x y y - Giới hạn: lim ; lim xx yy 0,25 - Bảng biến thiên: x -2 0 , y 0 0 y 0 4 0,25 + Đồ thị : Giám khảo và thí sinh tự vẽ 0,25 b 1.0 Đồ thị hàm số (1) có điểm cực tiểu 2;0A , điểm cực đại 0;4B .Phương trình đường thẳng nối hai cực trị của đồ thị hàm số (1) là: :1 24 xy AB :2 4 0AB x y . 0,25 22 : 1 5C x m y m có tâm ;1I m m bán kính 5R 0,25 Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn ;C d I AB R 2 2 2 1 4 5 21 mm 0,25 8 35 2 m m m Vậy 8m hoặc 2m 0,25 2 1.0 Điều kiện: 2 0 30 3 x xx x 0.25 Ta có ln (1 sin ) ln 2 2 22 22 2 2 e log (x 3x) 0 e log (x 3x) 0 2 log (x 3x) 0 0.25 2 2 2 2 2 log (x 3x) 2 x 3x 2 x 3x 4 0 4 x 1 0,25 So điều kiện, bất phương trình có nghiệm : 4 x 3 0 < x 1 0,25 3 1.0 2 22 00 sin2 .cos sinx. os 2 1 cos 1 cos x x c x I dx dx xx 0,25 Đặt sin x cos 1 1 cos 02 1 2 dt dx xt tx xt xt , 0,25 1 2 2 22 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 2 2 ( 2 ) tt I dt dt t dt t t t 0,25 2 2 2( 2 ln ) 2ln2 1 1 2 t tt 0,25 4 1.0 a 0,5 Hàm số 2 .3 x y e x liên tục trên đoạn [–2;2] 22 1 2;2 ' . 3 .2 . 2 3 ' 0 3 2;2 x x x x y e x e x e x x y x 0,25 Ta thấy 2 2 1 1 2 ; 2 ; 2y e y e y e 2 -2;2 -2;2 max 2 ;min 1 2y y e y y e 0,25 b 0,5 Có 3 50 C cách chọn ra 3 học sinh tùy ý từ 50 học sinh nói trên Chọn ra 3 học sinh trong số 50 học sinh trên mà trong nhóm có ít nhất một cặp anh em sinh đôi, nghĩa là trong 3 học sinh được chọn chỉ có 1 cặp anh em sinh đôi số cạnh chọn là 11 4 48 .CC 0,25 Vậy đáp số bài toán là 3 1 1 50 4 48 . 19408C C C (cách) 0,25 5 1,0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2 3 1 0 1 1;1 4 5 0 1 x y x A x y y 0,25 1 21 ; 3 t B d B t ) ; 2 ;5 4C d C s s 0,25 G là trọng tâm tam giác ABC 1 3 3 21 5 4 1 3 5 3 ts t s 0,25 Giải hệ này ta được 61 61 43 ( ; ) 7 7 7 5 5 55 ( ; ) 7 7 7 tB sC 0,25 6 1,0 C có tâm I(1;1) và bán kính R = 5. Ta thấy 10; 5 2 ,IA IB A B nằm ngoài đường tròn C 0,25 Gọi ,EJ lần lượt là trung điểm của ,IA IE 5 E 4;5 ;J ;3 2 . B A J I M E F Gọi F là trung điểm của IM. Tam giác IME cân tại I EF MJ Ta có 2 2 2 2 2P MA MB EF MB MJ MB BJ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BJ (Vì B nằm ngoài đường tròn (C); J nằm trong đường tròn C ). 0,25 Do đó P nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của đường tròn C và đoạn thẳng BJ. BJ có phương trình 2x y 8 0 . Tọa độ giao điểm của BJ và C là nghiệm của hệ 22 x1 2x y 8 0 y6 x5 x 1 y 1 25 y2 0,25 .Vì M thuộc đoạn JB nên 5 1 2 M x 1;6M Vậy 1;6M 0,25 7 . 1,0 Gọi H là trung điểm của BC AA'H AA' BC AH BC BC Tam giác AA'H vuông tại H 0 ' 90AHA 'AHA là góc giữa hai mặt phẳng 'A BC và (ABC) 0 ' 30AHA . 0,25 A’ B H C’ B’ C A Đặt 0 3 0' 2 os30 a AH AB a a AH A H a c 0,25 2 ' 8 ' . 16 16 4 A BC S A H BC a a 0,25 Thể tích khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C là 2 . ' ' ' 3 64 3 '. . 8 3 2 4 8 ABC A B C ABC aa V AA S 0,25 8 1,0 2 2 4 9 5 6 7 11 0 1x x x x Điều kiện 5 6 0 6 7 11 0 5 x x x 2 1 2 2 4 2 5 6 3 7 11 0x x x x x x 0,25 22 2 2 22 2 2 0 2 5 6 3 7 11 2 0 2 11 23 2 5 6 3 7 11 x x x x xx x x x x xx x x x x 0,25 Ta có 1 2 2 x x (thỏa mãn ) 0,25 6 1 1 1 1 1 1 2 6 6 6 5 2 5 6 3 7 11 6 13 2 2 3 3 5 5 5 55 x x x x x 3 vô nghiệm Vậy nghiệm của 1 là 1 2 x x 0,25 9 1,0 Từ giả thiết 14c 01abÞ < £ Ta chứng minh được: 22 1 1 2 1 1 1a b ab +£ + + + * . Thât. vậy ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 3 2 3 2 2 2 2 22 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 . 1 2 1 . 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ** a b ab a b a b ab ab a a b b ab a b a b ab a b ab a b a b a b ab a b + £ Û + + + £ + + + + + Û + + + + + £ + + + Û + + £ + + Û - ³ - 0,25 ** đúng nên * đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 ab ab Áp dụng * ta có 22 2 1 2 1 1 1 1 1 c Q ab c c c £ + = + + + + + . 0,25 Xét hàm ( ) 2 21 11 c fc cc =+ ++ trên 1;4 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 2 2 43 2 2 2 2 22 2 2 2 11 2 2 1 2. 2 0 1;4 1 1 1 1 1 1 c c c c c c c f c c c c c c c c - + + - - + ¢ = - = = ³ " Î + + + + + + ()fc đồng biến trên 1;4 ( ) ( ) 8 1 141 141 4 5 17 85 85 f c f QÞ £ = + = Þ £ 0,25 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 4 4 1 1 2 1 4 ab c c abc ab ab ab c Vậy 141 ax 85 mP= đạt được khi 1 2 4 1 2 4 ab c ab c 0,25 Lưu ý khi chấm bài: -Đáp án chỉ trình bày một cách nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bướcđó. -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm. -Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. -Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau. -Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Hết . + * . Thât. vậy ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 3 2 3 2 2 2 2 22 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 . 1 2 1 . 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ** a b ab a b a b ab ab a a b b ab a b a b ab a b ab. Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN THỨ II NĂM HỌC 20 14 – 20 15 (Đề có 01 trang) Môn : Toán 12; Khối D Thời gian: 180 phút (Không kể giao đề) Câu 1. (2. 0. 1 2 2 22 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 2 2 ( 2 ) tt I dt dt t dt t t t 0 ,25 2 2 2( 2 ln ) 2ln2 1 1 2 t tt 0 ,25 4 1.0 a 0,5 Hàm số 2 .3 x y