SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2007-2008 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề CÂU (2 điểm) a) Chứng minh phương trình x y3 200720082009 khơng có nghiệm ngun b) Cho a 2008 b 2008 c 2008 (1) a 2009 b 2009 c 2009 (2), tính giá trị tổng a 2007 b 2008 c 2009 CÂU (2 điểm) Giải hệ phương trình xy 4x 5y yz 3y 4z zx 5z 3x 1 2 3 CÂU (2 điểm) Cho a, b, c số dương thoả mãn điều kiện a b c Tìm giá trị lớn tổng P a 3 b3 c3 CÂU (2 điểm) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) (R > r) Gọi P điểm cố định (O; r) B điểm (O; R) Đường thẳng qua P vuông góc với PB cắt (O; r) A, đường thẳng PB cắt (O; R) C cắt (O; r) điểm thứ hai D Chứng minh điểm B di chuyển đường trịn (O; R) thì: a) Tổng AB2 + BC2 + CA2 không đổi b) Trung điểm M đoạn thẳng AB luôn thuộc đường tròn cố định CÂU (2 điểm) Xét tam giác ABC có chung cạnh BC cố định có đỉnh A nằm đường thẳng d cố định song song với BC Gọi I điểm nằm tam giác x, y, z khoảng cách từ I đến cạnh BC = a, CA = b, AB = c Đặt a b c P x y z a) Cố định đỉnh A tam giác ABC, xác định vị trí điểm I để P đạt giá trị nhỏ b) Xác định tam giác ABC để P đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ Hết Họ tên thí sinh SBD Chú ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2007-2008 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN (Đề thức, ngày thi: 06 tháng năm 2008) I Một số ý chấm Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp logic Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm Điểm thi tổng điểm thành phần không lm trũn s II Đáp án biểu điểm CU (2 điểm) a) Chứng minh phương trình x y 200720082009 khơng có nghiệm ngun b) Cho a 2008 b 2008 c 2008 (1) a 2009 b 2009 c 2009 (2), tính giá trị tổng a 2007 b 2008 c 2009 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a) Ta có (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) = 200720082009 + 3xy(x + y) Suy (x + y)3 chia hết cho x + y chia hết cho Từ có x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y) x3 0,25 điểm 0,25 điểm Vì + chia hết cho 9, cịn số 200720082009 khơng chia hết phương trình cho khơng có nghiệm ngun 0,25 điểm b) Từ (1) có a 1, b 1, c 1, suy a 2009 a 2008 , b 2009 b 2008 ,c 2009 c 2008 0,25 điểm Do y3 0,25 điểm a 2009 b 2009 c 2009 a 2008 b 2008 c 2008 (3) 0,25 ®iĨm Tõ (1), (2), (3) cã a 2009 a 2008 , b 2009 b 2008 ,c 2009 c 2008 0,25 ®iĨm Từ a 2009 a 2008 a a 1 a 1, a , a2007 = a2008 Tương tự có b2008 = b2008, c2009 = c2008 Do a 2007 b 2008 c 2009 a 2008 b 2008 c 2008 0,25 điểm BÀI (2 điểm) Giải hệ phương trình xy 4x 5y yz 3y 4z zx 5z 3x 1 2 3 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Hướng dẫn chấm thi mơn Tốn năm học 2007-2008 DeThiMau.vn Dễ thấy hệ phương trình nhận (0; 0; 0) làm nghiệm Ngoài ra, ẩn nhận giá trị ẩn cịn lại nhận giá trị Do ta cịn phải tìm nghiệm (x; y; z) với x, y, z khác x 4x 5y Từ (1) (2) có 3xy 4zx 4zx 5yz 3x 5z (4) z 3y 4z Thay (4) vào (3) zx 6.10z x 60 Thay x = 60 vào (4) 5z = 180, z = 36 Thay x = 60 vào (1) 60y 4.60 5y 5y 240 y 48 0,25 điểm Nghiệm (x; y; z) hệ là: (0; 0; 0) (60; 48; 36) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,50 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm BÀI (2 điểm) Cho a, b, c số dương thoả mãn đ/kiện a b c Tìm giá trị lớn tổng a 3 b3 c3 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Ta có a 3 a 3 Suy a 3 Tương tự Do L¹i cã Do Suy a 3 a7 Tõ (1) vµ (2) cã b7 0,25 điểm c7 a b c 21 a 3 b3 c3 (1) a2 1 b2 c2 a ,b ,c 2 2 2 a b c 3 abc a b2 c2 21 a b c 21 a b c 45 2 (2) 4 b3 0,25 điểm c3 0,25 điểm 0,25 ®iĨm 0,25 ®iĨm 0,25 điểm 0,25 ®iĨm a 3 b3 c3 Khi a = b = c = đẳng thức xẩy a b c VËy Pmax 0,25 điểm BI (1 điểm) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) (R > r) Gọi P điểm cố định (O; r) B điểm (O; R) Đường thẳng qua P vuông góc với PB cắt (O; r) A, đường thẳng PB cắt (O; R) C cắt (O; r) điểm thứ hai D Chứng minh điểm B di chuyển đường tròn (O; R) th×: a) Tỉng AB2 + BC2 + CA2 không đổi b) Trung điểm M đoạn thẳng AB luôn thuộc đường tròn cố định P N BIỂU ĐIỂM Hướng dẫn chấm thi mơn Tốn năm học 2007-2008 DeThiMau.vn a) Ta có T = AB2 + BC2 + CA2 = (AP2 + PB2) + (2CP + PD)2 + ((PA2 + (PD + CD)2) = AP2 + PB2 + 4CP2 + CP PD +PD2 + PA2 + PD2 + 2PD.CD + CD2 = 2AP2 + 2PD2 + 6CP2 +6.CP PD = 8r2 + PC(PC + PD) = 8r2 + PC CD (1) 0,50 ®iĨm Gọi E, F giao điểm tia CO (O; r) với E nằm C O Khi ®ã cã CP CD = CE CF = (R - r)(R + r) = R2 - r2 (2) 0,25 ®iĨm Thay (2) vào (1) T = 8r2 + 6(R2 - r2) = 6R2 + 2r2 (không đổi) 0,25 điểm A A F O O M I K E B P D C B P D C Chó ý: Trong hai ý a) vµ b) lµm ý nµo tríc cịng ®ỵc b) Gọi I trung điểm OC, K trung điểm OP, ta có: 2.IK = CP IK // CP; 2.OM = BD OM // BD 0,50 điểm Vì CP = BD nên IK = OM, IK = OM, IKMO hình bình hành Suy R KM = IO = 0,25 điểm Vì P O cố định nên K cố định Do đó, điểm B di chuyển đường R trịn (O; R) M ln ln thuộc đường trũn (K; ) cố định 0,25 điểm BI (2 điểm) Xét tam giác ABC có chung cạnh BC cố định có đỉnh A nằm đường thẳng d cố định song song với BC Gọi I điểm nằm tam giác x, y, z khoảng cách từ I đến cạnh BC = a, CA = b, AB = c Đặt a b c P x y z a) Cố định đỉnh A tam giác ABC, xác định vị trí điểm I để P đạt giá trị nhỏ b) Xác định tam giác ABC để P đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ ®ã ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Hướng dẫn chấm thi mơn Tốn năm học 2007-2008 DeThiMau.vn a) Ta có S(ABC) S(IBC) S(ICA) S(IAB) 1 ax by cz 2 ax by cz Suy ax + by + cz số không phụ thuộc vào vị trí điểm I Ta có a b c x y y z z x ax by cz a b c2 ab bc ca x z x y z y x z y a b c2 2ab 2bc 2ca a b c 0,50 điểm 0,50 điểm Dấu đẳng thức xảy x = y = z, nghĩa I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi a b c Pmin 2S(ABC) 0,50 điểm D d A A y z I x B C b) Từ đề suy tam giác xét có diện tích khơng đổi Lấy D đối xứng với C qua d Đường thẳng BD cắt d A/ Khi tam giác có cạnh BC đỉnh A thuộc d, ta có b c CA AB DA AB BD Dấu đẳng thức có A trùng với A/, tam giác ABC cân A 0,25 điểm Gọi h khoảng cách từ d đến BC, ta có h khơng đổi Khi tính Pmin a2 a h 2S(ABC) Hết Hướng dẫn chấm thi mơn Tốn năm học 2007-2008 DeThiMau.vn 0,25 điểm ... VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2007-2008 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN (Đề thức, ngày thi: 06 tháng năm 2008) I Một số ý chấm Hướng dẫn chấm thi dựa vào... Do y3 0,25 điểm a 20 09 b 20 09 c 20 09 a 2008 b 2008 c 2008 (3) 0,25 ®iĨm Tõ (1), (2), (3) cã a 20 09 a 2008 , b 20 09 b 2008 ,c 20 09 c 2008 0,25 ®iĨm Từ a 20 09 a 2008 a a ... chia hết cho 9, cịn số 200720082 0 09 khơng chia hết phương trình cho khơng có nghiệm ngun 0,25 điểm b) Từ (1) có a 1, b 1, c 1, suy a 20 09 a 2008 , b 20 09 b 2008 ,c 20 09 c 2008 0,25