Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Phú Thọ lớp 9 THCS năm học 20072008 môn Toán43914

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2007-2008 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề CÂU (2 điểm) a) Chứng minh phương trình x  y3  200720082009 khơng có nghiệm ngun b) Cho a 2008  b 2008  c 2008  (1) a 2009  b 2009  c 2009  (2), tính giá trị tổng a 2007  b 2008  c 2009 CÂU (2 điểm) Giải hệ phương trình  xy   4x  5y    yz   3y  4z   zx   5z  3x  1  2  3 CÂU (2 điểm) Cho a, b, c số dương thoả mãn điều kiện a  b  c  Tìm giá trị lớn tổng P  a 3 b3 c3 CÂU (2 điểm) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) (R > r) Gọi P điểm cố định (O; r) B điểm (O; R) Đường thẳng qua P vuông góc với PB cắt (O; r) A, đường thẳng PB cắt (O; R) C cắt (O; r) điểm thứ hai D Chứng minh điểm B di chuyển đường trịn (O; R) thì: a) Tổng AB2 + BC2 + CA2 không đổi b) Trung điểm M đoạn thẳng AB luôn thuộc đường tròn cố định CÂU (2 điểm) Xét tam giác ABC có chung cạnh BC cố định có đỉnh A nằm đường thẳng d cố định song song với BC Gọi I điểm nằm tam giác x, y, z khoảng cách từ I đến cạnh BC = a, CA = b, AB = c Đặt a b c P   x y z a) Cố định đỉnh A tam giác ABC, xác định vị trí điểm I để P đạt giá trị nhỏ b) Xác định tam giác ABC để P đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ Hết Họ tên thí sinh SBD Chú ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2007-2008 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN (Đề thức, ngày thi: 06 tháng năm 2008) I Một số ý chấm  Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp logic  Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm  Điểm thi tổng điểm thành phần không lm trũn s II Đáp án biểu điểm CU (2 điểm) a) Chứng minh phương trình x  y  200720082009 khơng có nghiệm ngun b) Cho a 2008  b 2008  c 2008  (1) a 2009  b 2009  c 2009  (2), tính giá trị tổng a 2007  b 2008  c 2009 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a) Ta có (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) = 200720082009 + 3xy(x + y) Suy (x + y)3 chia hết cho x + y chia hết cho Từ có x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)  x3 0,25 điểm 0,25 điểm Vì + chia hết cho 9, cịn số 200720082009 khơng chia hết phương trình cho khơng có nghiệm ngun 0,25 điểm b) Từ (1) có a  1, b  1, c  1, suy a 2009  a 2008 , b 2009  b 2008 ,c 2009  c 2008 0,25 điểm Do y3 0,25 điểm a 2009  b 2009  c 2009  a 2008  b 2008  c 2008 (3) 0,25 ®iĨm Tõ (1), (2), (3) cã a 2009  a 2008 , b 2009  b 2008 ,c 2009  c 2008 0,25 ®iĨm Từ a 2009  a 2008  a  a  1   a  1, a  , a2007 = a2008 Tương tự có b2008 = b2008, c2009 = c2008 Do a 2007  b 2008  c 2009  a 2008  b 2008  c 2008  0,25 điểm BÀI (2 điểm) Giải hệ phương trình  xy   4x  5y    yz   3y  4z   zx   5z  3x  1  2  3 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Hướng dẫn chấm thi mơn Tốn năm học 2007-2008 DeThiMau.vn Dễ thấy hệ phương trình nhận (0; 0; 0) làm nghiệm Ngoài ra, ẩn nhận giá trị ẩn cịn lại nhận giá trị Do ta cịn phải tìm nghiệm (x; y; z) với x, y, z khác x 4x  5y Từ (1) (2) có   3xy  4zx  4zx  5yz  3x  5z (4) z 3y  4z Thay (4) vào (3) zx  6.10z  x  60 Thay x = 60 vào (4) 5z = 180, z = 36 Thay x = 60 vào (1) 60y   4.60  5y   5y  240  y  48 0,25 điểm Nghiệm (x; y; z) hệ là: (0; 0; 0) (60; 48; 36) 0,25 điểm 0,25 điểm 0,50 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm BÀI (2 điểm) Cho a, b, c số dương thoả mãn đ/kiện a  b  c  Tìm giá trị lớn tổng a 3 b3 c3 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Ta có  a  3    a  3  Suy a 3  Tương tự Do L¹i cã Do Suy a 3 a7 Tõ (1) vµ (2) cã b7 0,25 điểm c7 a  b  c  21 a 3 b3 c3  (1) a2 1 b2  c2  a ,b ,c 2 2 2 a b c 3 abc a  b2  c2     21 a  b  c  21 a  b  c  45 2    (2) 4 b3  0,25 điểm c3  0,25 điểm 0,25 ®iĨm 0,25 ®iĨm 0,25 điểm 0,25 ®iĨm a 3 b3 c3  Khi a = b = c = đẳng thức xẩy a b  c  VËy Pmax  0,25 điểm BI (1 điểm) Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) (R > r) Gọi P điểm cố định (O; r) B điểm (O; R) Đường thẳng qua P vuông góc với PB cắt (O; r) A, đường thẳng PB cắt (O; R) C cắt (O; r) điểm thứ hai D Chứng minh điểm B di chuyển đường tròn (O; R) th×: a) Tỉng AB2 + BC2 + CA2 không đổi b) Trung điểm M đoạn thẳng AB luôn thuộc đường tròn cố định P N BIỂU ĐIỂM Hướng dẫn chấm thi mơn Tốn năm học 2007-2008 DeThiMau.vn a) Ta có T = AB2 + BC2 + CA2 = (AP2 + PB2) + (2CP + PD)2 + ((PA2 + (PD + CD)2) = AP2 + PB2 + 4CP2 + CP PD +PD2 + PA2 + PD2 + 2PD.CD + CD2 = 2AP2 + 2PD2 + 6CP2 +6.CP PD = 8r2 + PC(PC + PD) = 8r2 + PC CD (1) 0,50 ®iĨm Gọi E, F giao điểm tia CO (O; r) với E nằm C O Khi ®ã cã CP CD = CE CF = (R - r)(R + r) = R2 - r2 (2) 0,25 ®iĨm Thay (2) vào (1) T = 8r2 + 6(R2 - r2) = 6R2 + 2r2 (không đổi) 0,25 điểm A A F O O M I K E B P D C B P D C Chó ý: Trong hai ý a) vµ b) lµm ý nµo tr­íc cịng ®­ỵc b) Gọi I trung điểm OC, K trung điểm OP, ta có: 2.IK = CP IK // CP; 2.OM = BD OM // BD 0,50 điểm Vì CP = BD nên IK = OM, IK = OM, IKMO hình bình hành Suy R KM = IO = 0,25 điểm Vì P O cố định nên K cố định Do đó, điểm B di chuyển đường R trịn (O; R) M ln ln thuộc đường trũn (K; ) cố định 0,25 điểm BI (2 điểm) Xét tam giác ABC có chung cạnh BC cố định có đỉnh A nằm đường thẳng d cố định song song với BC Gọi I điểm nằm tam giác x, y, z khoảng cách từ I đến cạnh BC = a, CA = b, AB = c Đặt a b c P   x y z a) Cố định đỉnh A tam giác ABC, xác định vị trí điểm I để P đạt giá trị nhỏ b) Xác định tam giác ABC để P đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ ®ã ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Hướng dẫn chấm thi mơn Tốn năm học 2007-2008 DeThiMau.vn a) Ta có S(ABC)  S(IBC)  S(ICA)  S(IAB) 1  ax  by  cz 2 ax  by  cz  Suy ax + by + cz số không phụ thuộc vào vị trí điểm I Ta có a b c x y y z z x  ax  by  cz       a  b  c2  ab     bc     ca    x z x y z y x z y  a  b  c2  2ab  2bc  2ca   a  b  c  0,50 điểm 0,50 điểm Dấu đẳng thức xảy x = y = z, nghĩa I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi a  b  c  Pmin  2S(ABC) 0,50 điểm D d A A y z I x B C b) Từ đề suy tam giác xét có diện tích khơng đổi Lấy D đối xứng với C qua d Đường thẳng BD cắt d A/ Khi tam giác có cạnh BC đỉnh A thuộc d, ta có b  c  CA  AB  DA  AB  BD Dấu đẳng thức có A trùng với A/, tam giác ABC cân A 0,25 điểm Gọi h khoảng cách từ d đến BC, ta có h khơng đổi Khi tính Pmin  a2 a  h    2S(ABC)     Hết Hướng dẫn chấm thi mơn Tốn năm học 2007-2008 DeThiMau.vn 0,25 điểm ... VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2007-2008 HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN (Đề thức, ngày thi: 06 tháng năm 2008) I Một số ý chấm  Hướng dẫn chấm thi dựa vào... Do y3 0,25 điểm a 20 09  b 20 09  c 20 09  a 2008  b 2008  c 2008 (3) 0,25 ®iĨm Tõ (1), (2), (3) cã a 20 09  a 2008 , b 20 09  b 2008 ,c 20 09  c 2008 0,25 ®iĨm Từ a 20 09  a 2008  a  a ... chia hết cho 9, cịn số 200720082 0 09 khơng chia hết phương trình cho khơng có nghiệm ngun 0,25 điểm b) Từ (1) có a  1, b  1, c  1, suy a 20 09  a 2008 , b 20 09  b 2008 ,c 20 09  c 2008 0,25