Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Vĩnh Phúc lớp 12 THPT năm học 2012-2013 môn: Toán – THPT Chuyên

-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.. -Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN – THPT chuyên Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 02/11/2012   x + 3x + = y − y −   Câu (2,5 điểm) Giải hệ phương trình  y + y + = − z − z    z + 3z + = x − x −  ( x, y , z ∈ ℝ ) Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c, d là các số thực dương Chứng minh 3a bc 2b3d 25 + 3 + 4 ≤ a+b+c ( a + b )( a + b + c + d ) 81( a + b ) ( a + b + c + d ) Câu (2,0 điểm) Giả sử n là số nguyên dương cho 3n + 2n chia hết cho Tìm số dư 2n + 11n + 2012n chia cho Câu (3,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi P là điểm cho trung trực đoạn thẳng CP chia đôi đoạn AD và trung trực đoạn AP chia đôi đoạn CD Gọi Q là trung điểm đoạn thẳng BP a) Chứng minh đường thẳng BP vuông góc với đường thẳng AC b) Chứng minh BP = 4.OE , đó E là trung điểm AC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC Câu (1,0 điểm) Cho m, n ( m > n > ) là các số nguyên dương và A là tập hợp có đúng n phần tử c tập S = {1, 2,3, , m} hợ p Chứng minh n ếu m > ( n − 1) (1 + Cn2 + Cn3 + Cn4 ) thì ta luôn chọn n phần tử đôi phân biệt x1 , x2 , , xn ∈ S cho các tập hợp Ai = {x + y + xi x ∈ A, y ∈ A}, i = 1, n thỏa mãn Aj ∩ Ak = ∅ với j ≠ k và j , k = 1, n -Hết - Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay - Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ………………………………………………….Số báo danh…………… Lop12.net SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN – THPT chuyên HƯỚNG DẪN CHẤM (Gồm 04 trang) Lưu ý chấm bài: -Đáp án trình bày cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có bài làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó -Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo các ý đáp án điểm -Trong bài làm, bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết sai đó không điểm -Học sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau -Trong lời giải câu học sinh không vẽ hình vẽ sai hình không cho điểm -Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn Câu (2,5 điểm) Nội dung Điều kiện: x, y, z ≥ Xét các hàm số f (t ) = t + 3t + 2, g (t ) = − 5t − Khi đó ta có t f ' (t ) = 2t + > 0, g ' (t ) = − − < 0, ∀t > t 5t − 1  1  Mà f (t ) , g (t ) là các hàm số liên tục trên  ; + ∞  suy f (t ) đồng biến trên  ; + ∞  5  5  1  và g (t ) nghịch biến trên  ; + ∞  Không tính tổng quát ta giả sử x = {x, y, z} 5  Khi đó ta có: Nếu x < y ⇒ g ( x ) > g ( y ) ⇒ f ( z ) > f ( x ) ⇒ z > x ⇒ g ( z ) < g ( x ) ⇒ f ( y ) < f ( z ) suy y < z ⇒ g ( y ) > g ( z ) ⇒ f ( x ) > f ( y ) ⇒ x > y , vô lí vì x < y Do x = y , tương tự lí luận trên ta x = z suy x = y = z Thay trở lại hệ ta x + x + = 8 − x − ⇔ x + x + − + x − = (1) x x 1  Đặt h ( x ) = x + x + − + x − 1, x ∈  ; +∞  Dễ thấy hàm số đồng biến trên x 5  Lop12.net Nội dung 1   ; + ∞  và h (1) = ⇒ x = là nghiệm phương trình (1) Vậy nghiệm hệ phương trình đã cho là x = y = z = Câu (1,5 điểm) Điểm Nội dung 3a bc 2b3 d + 33 + 44 Khi đó áp a+b+c ( a + b )( a + b + c + d ) 81( a + b ) ( a + b + c + d ) dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Đặt P = 2 3(a + b ) 3(a + b ) 2a 2a ≤ + a + b (a + b + c ) a + b (a + b + c ) 33 (a + b + c ) bc b 3c = 33 a + b (a + b + c ) (a + b + c + d ) ( a + b )( a + b + c + d ) ≤ (a + b + c ) b 3c + + a + b (a + b + c ) (a + b + c + d )   b 2d 44 =   81( a + b ) ( a + b + c + d )  3(a + b )  (a + b + c + d ) b 2d ≤ + 3(a + b) 3(a + b + c + d ) Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được: ( a + b ) ( a + b + c ) ( a + b + c + d ) 25 P≤ + + = a+b (a + b + c ) 3(a + b + c + d ) Dấu đẳng thức xảy và a = b = c = d 2b3 d Câu (2,0 điểm) Điểm Nội dung Đặt n = 3q + r ; q, r ∈ ℕ, ≤ r ≤ Khi đó 3n + n = 27 q.3r + 8q.2r ≡ ( −1) 3r + 2r ( mod ) q Do đó để 3n + n ≡ ( mod ) ⇔ ( −1) 3r + 2r ≡ ( mod ) ⇔ q = 2k + 1, r = q Suy n có dạng n = 6k + , chú ý ( a, ) = ⇒ a ≡ 1( mod ) Do đó ta có: +) 2n = 26 k +3 = ( 2k ) ≡ 1( mod ) (1) +) 11n = 116 k +3 = (11k ) 113 ≡ 43 ≡ 1( mod ) (2) 6 +) 2012 n = 2012( k + 3) ( = 20126 k +6k ) 2012 ≡ 39 ≡ 273 ≡ ( mod ) Từ (1), (2) và (3) ta Lop12.net (3) Điểm Nội dung 2n + 11n + 2012n ≡ + + ≡ 1( mod ) Vậy số dư cần tìm là Câu (3,0 điểm) A B Q I O M P E J D C N Điểm Nội dung a) (2,0 điểm) Gọi M, N, I, J theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AD, CD, AP, CP Khi đó NI ⊥ AP, MJ ⊥ CP Do I là trung điểm AP, Q là trung điểm BP nên IQ AB và IQ = AB từ đó suy IQ CN và IQ = CN Suy tứ giác CNIQ là hình bình hành Suy CQ NI Từ đó, NI ⊥ AP nên CQ ⊥ AP (1) Chứng minh tương tự, AQ ⊥ CP (2) Từ (1) và (2) suy P là trực tâm tam giác ACQ suy PQ ⊥ AC hay BP ⊥ AC Do P là trực tâm tam giác AQC nên OA + OC + OQ = OP ⇔ OA + OC + ( ) ( ) OP + OB = OP ⇔ OA + OC + OB = OP ⇔ 4OE = OP − OB ⇔ 4OE = BP ⇒ BP = 4.OE Vậy BP = 4.OE Câu (1,0 điểm) Nội dung { } Xét tập hợp B = x + y − z − t x, y, z , t ∈ A Ta bất đẳng thức sau: B ≤ + Cn2 + Cn3 + Cn4 (1) Lop12.net Điểm Nội dung Thật vậy, ta xét các trường hợp sau: +) Nếu số x, y, z , t thì số các số dạng x + y − z − t +) Nếu số x, y, z , t có đúng số nhau, giả sử x = y = z ≠ t Khi đó x + y − z − t = x − t suy có tối đa Cn2 số x + y − z − t +) Nếu số x, y, z , t có đúng số Khi đó x = y thì có tối đa Cn3 số dạng này, còn x = z thì x + y − z − t = y − t thì có tối đa Cn2 số dạng này và đã xét trên +) Nếu số x, y, z , t đôi khác thì có tối đa Cn4 số x + y − z − t Do đó có nhiều + Cn2 + Cn3 + Cn4 số dạng x + y − z − t Từ đó suy bất đẳng thức (1) Gọi x1 = ∈ S Đặt C1 = S \ {x + x1 x ∈ B} suy C1 ≥ S − B > ( n − ) B > ⇒ ∃x2 = C1 ⇒ x2 > x1 Dễ thấy A1 ∩ A2 = ∅ Tiếp theo đặt C2 = C1 \ {x + x2 x ∈ B} suy C2 ≥ C1 − B > ( n − 3) B > ⇒ ∃x3 = C2 ⇒ x3 > x2 Kiểm tra A2 ∩ A3 = ∅ , A1 ∩ A3 = ∅ Cứ tiếp tục đến bước thứ n , ta đặt Cn −1 = Cn − \ {x + xn − x ∈ B} thì Cn −1 ≥ Cn − − B > ( n − n ) B = ⇒ ∃xn ∈ Cn −1 ⇒ xn > xn −1 Khi đó ta kiểm tra Ai ∩ A j = ∅ với i ≠ j Vậy luôn tồn các phần tử x1 , x2 , , xn ∈ S thỏa mãn yêu cầu bài toán -Hết - Lop12.net Điểm